环面的F-Theory模型构建方法

文摘

我们将讨论最近全球F-theory肠道的结构模型和解释如何利用复曲面的几何计算在这个框架。引入全球F-theory内脏的基本性质后,我们给一个独立的审查复曲面的几何和介绍构建所需的所有工具和分析全球F-theory模型。我们将解释如何系统地获得大量类的紧凑的比丘四倍支持F-theory勇气使用软件包触须。

1。介绍

尽管它已经存在了相当长一段时间(1),F-theory最近收到了很多新的关注作为一个设置在大统一理论(内脏)可以从弦理论构思。开始(2- - - - - -4的现象学F-theory勇气已经成为一个活跃的研究领域。基本的想法是,肠道是本地化理论seven-brane在一个三维基础歧管的F-theory紧化椭圆纤维比丘四倍)。肠膜和计组的位置确定的变性椭圆纤维化。手性物质在肠道内曲线梁膜,计增强时,和坐在汤川耦合点。对于许多现象学的应用程序,它能充分考虑场论生活在肠道膜不指定全球F-theory紧化的细节。然而,通量,单值或一致性约束,如蝌蚪取消不能解决在一个纯粹的本地设置。这些问题在文献中最近收到了很多关注[5- - - - - -25]。因此,它是有趣的,看看是否可以嵌入当地F-theory肠道上的紧化比丘四倍。最著名的例子的紧凑比丘导管超曲面或完成十字路口在复曲面的环境空间。因此自然寻找比丘四倍在这类的例子。处方构造椭圆纤维比丘四倍完成十字路口在六维环面的环境空间已在6,8]。之前,在F-theory已经完成十字路口比丘四倍的上下文中使用F-theory坑底隆起IIB型弦理论(26- - - - - -28]。类似的建筑也被讨论了(10]。例子所示,这的确是可以在这个框架中构建可行的F-theory胆量。

的建设6)非常适合于系统的搜索的类模型。这是有趣的有几个原因:一个目标是找到特别好的F-theory紧化的例子。即使著名的例子已经能够把F-theory模型,通常得到的不仅仅是之一。最小F-theory内脏,通常只需要很少的汤川分和少量模组成的曲线。这是在大多数已知的全球模型不满意。一个相关的问题处理的genericity F-theory勇气。几何配置用于构建这样的模型通常是很特殊的,和一个可能想知道多久他们可以实现在椭圆纤维四倍。从建模的角度,它是有用的有一些easy-to-check几何条件可以选择合适的模型从一个大的几何图形。这将是在文本中讨论更多的细节。从数学的角度来看这可能是有趣的比丘四倍)获得部分分类。

本文讨论了复曲面的几何和F-theory勇气选择主题。本文的组织结构如下:在部分2,我们回忆起建设全球F-theory模型并讨论我们希望实施的基本要求。节3,我们回顾几个概念在复曲面的几何要求为了执行F-theory计算。几何图形的处理通常非常复杂,通常,一个必须依靠电脑支持为了能够做显式计算。因此,我们将讨论如何实现这样的计算使用现有软件如触须(29日]。我们将主要集中在应用程序上下文中的复曲面的几何F-theory模型构建。为一个更完整的画卷在这个巨大F-theory现象学的话题,我们参考其他评论文章,如30.- - - - - -32]。为更广泛的讨论复曲面的几何,我们建议(33- - - - - -35]。

2。全球F-Theory模型

2.1。设置

在本节中,我们介绍了基本概念和概念用于全球F-theory模型。在本文其余的部分中,我们将解释技术是计算在这个框架所必需的。下面介绍更多细节的数量,我们将原来的论文或最近的评论文章32]。

在[6),它提出了构建比丘四倍,适合F-theory模型构建,作为完整的十字路口两个超曲面在六维复曲面的环境空间。超曲面方程有如下结构: 第一个方程只取决于齐次坐标三维的基础椭圆纤维比丘的四倍。在这里,我们有挑出一个坐标,表明的因子定义了一个seven-brane支持一种直觉理论的介绍(2- - - - - -4]。第二个方程(2。1)定义了一个维尔斯特拉斯模型,那些六维环境空间的坐标描述环纤维。对于这种类型的椭圆形纤维形成,是泰特形式定义如下: 的的部分,在那里歧管的规范包基地。此外,和可以被视为部分和,分别。

关于F-theory模型的信息编码在泰特方程(2。2)。为了有一个非凡的计组肠膜上面的椭圆纤维化必须退化。计组是由奇点的结构。椭圆纤维化变成了奇异的零轨迹判别。定义多项式,和,判别是由以下表达式: 根据Kodaira的分类(36和泰特的算法37计集团)可以推断的分解特性关于。考虑,例如,- - -模型,分解是这样的 的年代是一些适当的线包的部分至少有一项独立的。

在F-theory肠道模型中,手性物质定位曲线上,一个1级增强计集团的出现。在模型,里面的曲线是在下列位点: 的关系曲线模型是在 汤川耦合产生点,增强肠道奇点有等级2。在模型,汤川点坐在 在情况下,我们有以下汤川耦合: 给出一个完整的十字路口比丘四倍的形式(2。1),全球关系曲线和汤川点的表达式定义并可以显式计算。拥有一个全球F-theory紧化,我们可以另外计算霍奇数和欧拉数比丘的四倍。后者进入D3-tadpole取消状态, 在哪里表示fourform通量和的数量是膜。

2.2。在F-Theory几何数据模型

到目前为止,我们已经总结了全球F-theory肠道的基本结构。在本节中,我们将讨论哪些属性编码的肠道模型流形几何图形的基础比丘的四倍。我们不会去深入的现象学F-theory勇气,而是专注于基本的几何性质应满足为了获得一个可行的肠道模型。

2.2.1。基管汇

因为肠道膜是一个三维的除数基地廖吗,大量的信息可以提取的几何模型。基地是一个非负弯多方面的复杂的三维。在我们的设置中,它将得到的超曲面环面的环境空间。注意,范诺三倍不是一个好的选择由于缺乏一个解耦的限制(38]。节3,我们将讨论系统建设的基础集合管使用复曲面的几何。为了有一个良好定义的模型,我们必须确保是满秩。比丘三倍相比,集合管底部F-theory内脏可能继承的奇异点周围的空间。因此,检查的规律性必须实现的。

有找到一个合适的基础歧管,下一步是确定因数能够支持肠道模型。最有前途的候选人F-theory模型构建del Pezzo表面。这些是范诺双重的(见,例如,39])。但是请注意,德尔Pezzos不是唯一F-theory肠道模型建设的可能性。参见[40最近的讨论。有几个动机关注del Pezzo因子。在当地F-theory内脏,德尔Pezzo属性确保解耦的存在限制(3,4]。为▽Pezzos肠道模型、事实意味着一些强大的消失定理打破后禁止外来物质标准模型计组(4]。

我们可以确定候选人del Pezzo因数通过他们的拓扑数据。假设基本歧管是嵌在环面的环境空间复曲面的因数。的给同源性为基础的环境空间。在此设置中,指定的超曲面是一个除数,我们将通过滥用符号也叫,给出的线性组合。的总陈氏示性类特定的因子后,在周围的空间限制(更多细节,请参阅部分3所示。3) 为了应用这个公式,我们必须知道的交叉环。我们将讨论部分3所示。3,这可以从交叉环获得的环境空间。

一个因子的必要条件是是它必须有以下拓扑数据: 在哪里全纯欧拉示性数和吗托德表示类。在上面的方程中集成了四冲程(代表因子)相当于计算交点。由于德尔Pezzos范诺双重的,我们有一个进一步的必要条件:的十字路口与曲线必须是积极的。在环面的设置,我们只能检查这个曲线是诱导因子的环境空间。在这种情况下,条件 为了使这些计算,我们需要知道的同源性基础环面的因子及其交叉数字。

在当地F-theory勇气,德尔Pezzo财产足以保证解耦的存在限制。对于全球气候模型,进一步检查。重力将测量自由度的质量比参数化变得很小。普朗克质量规模和质量肠道理论相关的几何和在以下方式: 因此,一个 有两种方法可以实现一个小值,现在通常被称为物理和数学解耦限制。在物理分离极限下,的体积膜是有限的,而。的数学解耦限制有限体积的。两种限制可能不是等同的,他们可能是由优化不同卡勒参数实现。的卷和可以确定在卡勒环境的复曲面的各种限制 为了使卷是积极的,我们必须找到一个Kahler锥的基础,根据定义,可以写成与。数学和物理分离的存在限制了可以推导出的模依赖这些卷。

廖发现合适的基地,我们也可以研究曲线和汤川耦合问题。曲线类可以表示的曲线的复曲面的因数的环境空间。属的曲线可以计算使用的第一个陈氏示性类曲线和三重相交的数字 在这里,我们假设是不可约的。在这个表达式得到扩张欧拉数是通过交叉产品如下: 属的重要曲线给我们模曲线的数量的信息。因为这些模必须稳定,物质属低的曲线从现象学的角度来看是可取的。在一般情况下,方程可以表示为类指定汤川点的复曲面的因数。汤川点的数量然后由以下给出交叉产品: 为了占标准模型汤川耦合,只有少量的汤川点是必要的。

2.2.2。四倍

给定一个基地廖,我们可以构造一个比丘四倍这是一个椭圆纤维化。正如在下一节中所描述的那样,可以系统地使用复曲面的几何。然而,并不是所有的全球F-theory模型的可取的特点是自动在这个建筑。主要的需求是,它是一个完整的两个超曲面的交点。此外,这些超曲面必须有一个特定的结构(2。1)。为了能够使用强大的数学工具,我们,而且,必须要求存在一个nef-partition (cf部分3所示。2这是兼容椭圆纤维化。当这个基本要求是满意的,我们可以工程师肠道模型。这样做是在两个步骤:首先,我们要确定肠道除数,给出的方程在在比丘四倍。第二步是对肠道组。这相当于明确实施分解条件等(2。4泰特)模型。这意味着我们必须删除所有这些单项(2。2),不满足分解约束。这相当于固定模的复杂结构。

最近,一直活跃在文献中讨论如何在全球范围内定义通量F-theory模型(6- - - - - -8,11,15,16,20.,21,25]。在F-theory,模型建立通量输入几个关键时刻。计沿着物质通量曲线是必要的为了产生手性物质。打破肠道组织的标准模型评估集团可以通过打开通量。此外,在F-theory勇气,我们需要全球s为了禁止维度4质子衰变运营商。在F-theory勇气需要为了获得手性物质(13,41]。一个通用全球fourform通量的描述是失踪。在[42),一个辅助建设涉及光谱覆盖,因式分解是用来描述通量本地附近的肠道膜。它已被证明在14- - - - - -16),在某些情况下,捕获的信息的光谱覆盖可以编码在泰特模型,因此,全球。然而,这种情况不需要11]。在[14),它已经表明,光谱覆盖全球因式分解是一般定义为“泰特限制模型”。这是通过实施一个全球性的对称的椭圆形纤维形成。泰特的模型中,这是通过设置。

3所示。从复曲面的几何形状的原料和技术

在前面的小节中,我们引入了大量的编码的重要信息F-theory肠道模型的几何基本歧管和比丘四倍。在本节中,我们将提供工具来计算它们。这些计算所需的输入数据可以通过使用复曲面的几何图形。后的基本定义,我们将讨论如何描述超曲面和完整的十字路口超曲面的复曲面的环境空间。然后,我们将解释如何获得交叉环和卡勒锥,或双重约束,Mori锥。最后,我们将讨论如何使用计算机程序触须(29日在复曲面的几何计算。这个讨论的复曲面的几何一直在与一个视图向应用程序编译F-theory模型构建。这决不是一个详尽的描述这个庞大主题汇集了代数几何和组合。

3.1。复曲面的品种

我们开始通过定义一个复曲面的品种的维度正如以下商: 在哪里是一个有限交换群,描述了一个代数的作用环面,是一组特殊的哪个告诉我们哪个组合坐标是不允许同时消失。最简单的例子是,那里的动作片是由,,特殊设置,是微不足道的。因此,众所周知:。

关键事实复曲面的几何是几何数据的复曲面的不同可以被描述的组合双锥和多面体的双整数格。关于复曲面的不同的信息编码在一个球迷,这是一个强烈凸多面锥合理,集合所有的面孔和十字路口的双锥也属于风扇。“强烈凸”意味着所有的锥风扇有一个顶点在原点,和“理性”意味着射线跨锥通过晶格的点。我们表示所有的集合维锥。为了定义风扇,我们使用一个复曲面的品种包含一个环面作为一个稠密子集的行动延伸到开放。由于通过坐标,一个定义了字符组和单参数的子组。和可以确定的整数格同构。给定的一个点的角色。这是一个全纯函数和下降有理函数的复曲面的品种。对于每一个,被定义为为。风扇和它的锥上定义真正的扩展的。的晶格由于组成双吗,在那里是标量的产品。

的对常规的单项点阵编码数据,晶格捕获有关因子的信息。定义的因数可以分解的不可约因数:。这些因子主要因子,即亚纯函数的因子对应于两极或零和杆的订单/ 0。系数是独一无二的,存在一个地图吗与。因此,有一个向量对于每一个不可约除数。的一维锥的原始的发电机吗(即。,rays) in the fan。的凸包定义了一个多面体。在当地,我们可以把因数,在那里被认为是当地的一个部分的线包。被称为复曲面的因子。存在线性关系转化为线性复曲面的因子之间的关系。

为了使接触定义(3所示。1),我们认为随着全球齐次坐标。如果所有非零的坐标与描述环上的同一点如果为如上所述。自生活在一个维格,他们满足线性关系。如果不跨格,有一个有限阿贝尔群这样。识别的作用必须添加到齐次坐标之间的识别来自环行动。在介绍了风扇,我们也能够指定特殊设置它告诉我们在齐次坐标是不允许同时消失:坐标的一个子集允许同时消失当且仅当存在一个锥吗包含所有相应的射线。更准确地说,特殊集的集以最小的指标集的光线毫无锥,包含:。这相当于声明相应的因子相交于。一起把碎片,我们到达定义(3所示。1)。

有两个重要属性的粉丝转化为关键属性的复曲面的不同吗。首先,紧凑当且仅当风扇是完整的,也就是说,如果球迷的支持涵盖了格:。其次,是是非奇异当且仅当所有锥都是单纯和基础,这意味着所有锥吗是由晶格的一个子集的基础。奇点可以删除,恪尽职守,取而代之的是奇异点年代。所有的奇异点复曲面的品种可以解决一系列席。这些对应于细分的粉丝。为了彻底解决所有奇点,必须找到一个最大的三角迷。在许多情况下,它是足以找到一个最大三角的多面体。

最后,我们强调均匀权重的重要性。一般来说,将会有一个完整的矩阵,称为权重矩阵的行编码行动。因为每一个对应于一个不可约除数,权重矩阵的列定义一个相同的因子。在物理语言权重是σ决定测量的线性模型,定义了复曲面的品种。注意,权重包含恢复的所有信息- - -晶格。与权重矩阵作为输入,可以用触须。

3.2。超曲面和完整的十字路口

在定义复曲面的品种,我们继续讨论超曲面的超曲面和完整的十字路口复曲面的品种。超曲面方程的非平凡的线包。这些包可以恢复的信息从他们的转换功能。在这种情况下,我们引入卡地亚因数和Weil因子的概念。一个卡地亚因子,根据定义,通过理性的方程和定期转换功能重叠的两个坐标补丁。卡地亚除数类确定皮卡德集团全包。Weil因数是有限的正式的不可约品种的余维数1。复曲面的品种,Chow组模线性等价是生成的不变的不可约因数模的主要因数,。Weil因子的形式如果存在一个是卡地亚为每一个最大的圆锥这样所有射线。如果是光滑的,那么所有Weil因数是卡地亚。如果紧凑和卡地亚,那么是由全球部分当且仅当吗为和。如果是这种情况,是一种强凸函数的支持。,我们可以定义一个多面体。这是一个凸晶格多面体的格子点提供全球的线包吗对应因子。是由全球部分当且仅当吗凸包的吗。此外,当且仅当充足吗是维与顶点为和为。最后,被称为基点当且仅当有空吗对所有。基本自由是一个定义的超曲面的充分条件常规:贝尔蒂尼定理的奇异点基本轨迹和继承的奇异点周围的空间。缺乏基本的点暗示在每一个点可以变形的票据交换所,因此,一般避免了奇异点的环境空间。因此,一个基本自由是常规的。然而,我们强调,基础点自由不是规律的必要条件。

超曲面方程或完整的十字路口是线包的部分由以下Laurent多项式: 在一个仿射补丁,当地部分是一个普通函数。给定一个多面体,我们可以定义极地多面体通过。它可以显示(43超曲面的比丘条件要求)是极,在那里凸包的吗中定义的部分3所示。1。极地多面体又是一个晶格的晶格多面体多面体叫做反射。为反射性的多面体霍奇数字,存在一个组合公式(43] 在哪里和是一双双重的面孔和。此外,一脸的格子点数量吗,是其内部晶格点的数量。

在我们讨论F-theory模型的建立,我们也遇到十字路口比丘。极地对反身晶格多面体的概念可以归纳如下: 在这里,比丘的余维数,定义方程的部分。的分解格子多胞形成一笔闵可夫斯基(闵可夫斯基两组定义如下:)是双nef(数值有效)分区反身多面体的顶点这样的凸壳各自的顶点只有相交在原点。nef-property意味着线包相关的限制因子N-lattice指向指定的任何代数曲线的变化都是非负的。存在一个组合公式霍奇数字(44在触须)已执行。

弦理论在许多应用程序,尤其是在F-theory,比丘的纤维化结构多方面的极大的兴趣。为比丘可以描述的复曲面的几何、纤维化结构可以从晶格多面体的几何推导。如果我们正在寻找复曲面的纤维形成纤维比丘的低维度,我们必须寻找反身subpolytopes适当的尺寸。给定一个基地和纤维,从环面的纤维化下射的环境空间对应地图的粉丝和,在那里是一个格同态每个锥吗,有一个蛋筒包含的形象。晶格纤维的内核在。纤维多胞形然后定义如下:。为了保证投影的存在,一个人必须找到一个三角的和扩展的三角测量。对于每一个选择三角,相对应的齐次坐标的射线可以解释为坐标的纤维。

3.3。交叉环和Mori锥

两项进一步的数据是必要的在许多弦理论计算是十字路口的复曲面的因子和Mori锥,卡勒的双锥。卡勒内锥等卷(2.15)是积极的。因此,F-theory模型的上下文中,需要构建Kahler锥为了表述一个解耦限制。

让我们开始讨论交叉环。对于一个紧凑的复曲面的品种十字路口环的形式。这两个理想被划分出考虑线性和非线性因子之间的关系。线性关系的形式,在那里形成一套M-lattice基向量。用非线性关系,那里的的形式。他们来自特殊设置中定义的部分3所示。1,决定了齐次坐标是不允许在同一时间消失。如前所述,这样当射线的集合不包含在一个锥。非线性关系生成的理想叫做Stanley-Reisner理想。因此,交叉环是非奇异的复曲面的不同有以下形式: 交叉环的定义适用于是非奇异环面的品种,但是这可能是广义的情况是单纯的射影。这意味着复曲面的不同可能是单数,但是,所有的锥的粉丝是单纯的。这种情况下可能的职业,r为例,如果我们选择一个nonmaximal多面体的三角测量。在这种情况下,交叉数据值。计算Stanley-Reisner是非奇异的理想情况下,你必须找到一个最大的三角迷或多面体。为了得到交点数,我们仍然需要修复一个规范化:最大单形锥跨越的,我们解决交叉对应数字的因数,在那里晶格的体积吗(即。,the geometric volume divided by the volume基本单纯形)。如果是非奇异,体积是1。使用交叉环,一个可以计算的总陈氏示性类切丛的由以下公式给出:。

到目前为止,我们只讨论了交叉环复曲面的品种。然而在许多应用程序中,我们更需要超曲面的交点编号为因子的因子在。在这里,我们可以利用公式的限制与超曲面的交点形成因子交叉形式 这使我们能够计算的交叉环的交叉环。在(3所示。5)限制计算的理想上和生成的理想。通过添加指定的超曲面的陈氏示性类是。

为了能够计算节中定义的所有量2。2,我们错过了一个主要成份:Mori锥。根据定义,Mori锥是卡勒的双锥。我们需要的信息Kahler锥为了能够计算因子的卷。根据定义,卷将积极在卡勒锥。Mori锥是生成的,在那里如果风扇是单纯的。否则,Mori发电机可以更大的数量。Mori锥然后定义如下:。Mori圆锥的计算,我们还需要一个最大的三角测量。考虑到这样一个三角,Mori发电机可以确定如下(45:每一对维单形这有一个共同的维单形。然后,找到独特的线性关系与,那里的是最小的整数系数的分非负。Mori发电机然后最小整数的每一个可以表示为正整数线性组合。有一个等效算法来确定Mori发电机由于Oda和公园(46)已实现在触须的未释放的版本47]。注意,关系定义的理想在(3所示。5)。组装Mori向量为矩阵,矩阵的列编码卡勒的值参数的不平等。解决这些不平等收益率的基础卡勒的锥,卡勒的形式可以写成与。注意,这个处方计算卡勒锥环面的品种。通常认为,这是一个很好的近似的Kahler锥超曲面。

3.4。复曲面的计算使用触须和其他软件

在弦理论中,F-theory我们处理紧比丘三倍和四倍。廖F-theory模型建筑,基地是一个四维的超曲面环面的环境空间。四倍完成十字路口在六维复曲面的空间。相关的晶格多面体住在四——六维整数格,通常有大量的点。一般是不可能做的计算没有电脑的支持。存在几个软件包用于特定方面的复曲面的几何图形。在本节中,我们将主要关注项目触须(29日]。在此之前,让我们提及其他一些有用的程序:舒伯特Katz和Strømme枫包交点的计算理论。TOPCOM [48)计算点配置的剖分。单数(49)是一个功能强大的计算机代数程序优化等计算多项式环十字路口戒指。最近除了cohomCalg [50),可以计算线bundle-valued上同调类复曲面的品种。

现在让我们讨论一些触须的特点及应用29日],它代表“分析晶格多面体包”。它由几个项目。(我)poly.x计算的数据点阵多胞形及其双重如果多胞形反射性。输入可以是点的权重矩阵或M-lattice或N-lattice多面体。除了多胞形数据,poly.x计算霍奇的数量相关的比丘超曲面,纤维化,信息和其他数据。poly.x扩展了一些特性,包括多面体的方面的信息,数据范诺品种和conifold比丘。在[51,52),该扩展的触须已经被用于寻找新的比丘与小导管是通过conifold转换从已知的比丘三倍)。选项的全套触须可获得poly.x-h和poly.x-x长选项。(2)这个项目nef.x可用于完成十字路口比丘。需要相同的输入poly.x和计算多胞形数据,nef分区,霍奇数字以及纤维化的信息。有几个扩展选项,包括最著名的数据戈伦斯坦锥(cf。53]在复曲面的几何定义和建设)晶格。(3)cws.x创建重量系统的尺寸和重量相结合系统的多面体中指定的输入。(iv)class.x分类反身多面体的寻找subpolytopes牛顿多面体重系统有关。

除了最近F-theory建模应用程序,我们将在下一节中,讨论触须被用于许多其他上下文。数据库生成比丘三倍的列出所有473 800 776反身多面体在四维空间(54]。在弦理论的景观问题,多面体的统计数据也感兴趣的(55]。最近的一些扩展我们将在下面提到的触须已经用于(13,24,56]。

3.5。应用程序F-Theory勇气

在本节中,我们使连接F-theory模型构建和讨论如何计算部分中讨论2。2可以显式地进行。这里讨论的方法用于(13,24]。我们的目标是系统建设的大型类全球F-theory模型的例子。第一步是多方面的建设基地。在[13),我们获得一套系统地构造权重矩阵的几何图形相关的点和曲线法诺超曲面在恪尽职守。在[24),我们已大大延长这类模型通过定义超曲面环面的环境空间的一个子集所描述的473 800 776反身多面体在四维空间(54]。具体地说,我们限制自己配置,N-lattice多面体最多有9分。例如,作为一个可以检查在[57),有1088个这样的多面体。我们用触须的复曲面的数据恢复环境空间,被认为是所有非负弯超曲面在这些环境空间。为了能够执行计算部分中概述2。2我们必须计算交叉环和Mori锥。我们取得了通过使用一个扩展的版本poly.x(47]。以下附加功能已经实现:处理non-Calabi-Yau超曲面通过指定超曲面度作为输入参数,计算最大剖分的晶格多面体、计算Mori锥和Stanley-Reisner理想,和计算的交叉环与奇异的帮助。通过这些数据,我们可以确定del Pezzo因数,检查解耦的存在限制,计算物质的拓扑特性曲线和汤川点。在[24),我们分析了一个总数569 674基地集合管。由此产生的几何图形可在[58]。

计算下一个步骤是构造比丘四倍这是一个椭圆纤维化基础。的复曲面的数据通过扩展的权重矩阵吗。示意图,这看起来如下: 在这里,表示关联的权重矩阵的条目。的条目在扩展的权重矩阵必须选择以这样一种方式,纤维坐标的部分和,分别。这些条目的四倍体重矩阵包含关于超曲面的信息度的基础。不是每个扩展重量系统将导致比丘四倍的形式(2。1)。可以使用计算nef.x。会出现几个问题:首先,可能没有nef分区,和,因此,我们的方法不工作。第二个概念问题是相对应的多胞形扩展重量系统并不总是反射性。许多组合的工具用于触须只是有效反射性的多面体。即使一个比丘四倍)可能有一个相当不错的,我们无法应用我们的技术。技术性质的第三个问题是:由于四倍多面体的复杂性可能达到一个软件的触须导致数值溢出。569年674扩展重量系统中讨论(24),我们发现只有27 345反身四倍多面体至少有一个nef分区。此外,有18 632反身多面体没有nef分区,381 232 nonreflexive多面体,142 470例数值溢出。

发现一个反身四倍多面体至少有一个nef分区是不够的有一个很好的全球F-theory模型。如果我们进一步需求的基础至少有一个del Pezzo除数数学或物理分离极限,四倍的数量显著减少。此外,我们还应该增加一些约束规律的基础。要求卡地亚留下16 011好的模型。实施基础点的更强的标准自由,我们下降到7386模型。关注这些7 386良好的几何图形,我们应用约束,nef分区应符合椭圆纤维化。此信息可以提取的输出nef.x。这进一步减少了几何图形的数量到3978年。

发现了一个很好的比丘四倍,我们可以构造一个肠道模型在每个(del Pezzo)除数。复曲面的描述如何对泰特模型特定的肠道组织已在6]。泰特形式(2。2)意味着出现在包含的单项。我们可以隔离这些单项通过确定顶点在相对应的泰特模型中的坐标。所有包含的单项然后在以下设置:

,,(26)是双重的,表示包含的多面体顶点。的多项式然后由以下表达式: 现在,我们可以删除所有的单项不满足分解约束(2。4泰特)的算法。为了执行这个计算,我们必须确定纤维坐标和肠道协调权重矩阵内的四倍。我们有这个过程适用于每一个del Pezzo因子在3978年的“好”的四倍的几何图形。注意,上述过程可以摧毁多面体的自反性,这发生在约30%的例子。为模型,我们发现11 275种不同模型(因为程序已经应用到所有del Pezzo因数在给定基本几何并非所有这些模型可能有一个解耦限制)与反身多面体勇气,有10 832。限制肠道模型(14)还可以沿着相同的路线。事实证明,限制不放任何进一步限制多胞形的自反性。

4所示。前景

在本文中,我们讨论了如何使用复曲面的几何构造大量的几何图形,可以支持全球F-theory勇气。使用这种技术,我们可以显示基本一致性约束的数量大大减少可能的模型。然而,由于计算的限制,我们没有完全成功的系统清单中所有可能的F-theory模型类的几何图形。这样的努力将需要大量的我们正在使用的计算机程序的变化。它实际上是相当显著的,我们可以利用触须比丘四倍和non-Calabi-Yau三倍,因为这超出了最初的设计要求。

让我们提出一个推荐列表扩展触须为了提高当前问题的适用性在数学和物理和使它更容易为用户。触须的最初目的是为多面体解决分类问题。多年来,它已被调整和扩展,以适用于特定的问题。许多的基本例程实现应对一些特殊问题可以用在更一般的情况下,但不能很容易访问。因此,一个更好的模块化的软件是必要的为了灵活访问这些基本例程。触须的另一个问题是,一个人必须指定等参数和边界点的数量在一个多面体在给定尺寸的编译程序。是实际已完全动态维度为了处理精度根据手头的问题不用重新编译。

根本性的改变是远离多面体的描述,而是使用射线表示锥的完整的数据。这是必要的,如果一个人想要对付non-reflexive多面体。进一步扩展已部分实现包括剖分、交叉环,甚至Picard-Fuchs运营商镜面对称计算所需的计算为触须。最终目标是一种有效的和通用的程序,可用于各种环面的计算无需依赖商业软件。最后,详细文档的所有特性的触须会很有帮助(59]。

至于寻找F-theory模型,扩展版的触须将希望帮助克服nonreflexivity溢出,我们遇到的问题(24]。除了寻找新物理的示例应用程序,也可能尝试比丘四倍的部分分类。列举所有环面的比丘四倍)可能是遥不可及甚至是不可能的,但寻找所有的模型类型(2。1),一个至少可以给施工的药方:把每个473 800 776反身多面体在四维空间,所有非负弯超曲面不是比丘。然后,构造四倍的椭圆纤维化对这些基础集合管。一个粗略的估计表明,这个过程将产生四倍的几何图形。

确认

2010年10月,m . Kreuzer问j·克纳普是本文的合著者。遗憾的是,他在11月26日去世,2010年,这项工作还在早期阶段。j·克纳普与他感谢多年的合作,以及为他不断的支持和鼓励。作者要感谢她的合作者清明节Chen Christoph Mayrhofer, Nils-Ole沃利斯(一个令人愉快的和富有成效的合作项目13,24本文是基于。此外,她在纸上感谢伊曼纽尔Scheidegger宝贵的意见。这项工作已经被世界第一的国际研究中心支持倡议(WPI倡议),下边了,日本。

引用

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