一个简单的介绍Grobner基在弦现象学方法gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

我给一个基本介绍的关键算法应用在最近计算代数几何的主题字符串现象学。我开始用一个简单的算法本身的描述,然后给3物理学使用它的例子。我描述如何使用它来获取限制流量参数,如何简化方程描述真空4 d字符串模型,最后它如何可以用来计算的真空空间电弱MSSM的部门。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

目前大量的兴趣计算代数几何的方法应用到字符串现象学和理论物理学的分支学科密切相关。最近的工作的一些例子,请参见[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba6gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba8gydF4y2Ba,gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba18gydF4y2Ba,gydF4y2Ba21gydF4y2Ba,gydF4y2Ba22gydF4y2Ba)和引用。这些论文利用先进的算法技术交换代数研究的范围广泛的主题包括全球超对称规范理论的各个方面(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba6gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),发现通量真空在弦现象学(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba16gydF4y2Ba),研究其模型建立在光滑的比丘在非标准嵌入gydF4y2Ba17gydF4y2Ba,gydF4y2Ba18gydF4y2Ba),和更多的除了gydF4y2Ba19gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba23gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

尽管广泛的物理问题已被解决在这种背景下,正在使用的计算工具都是基础,最后,在相同的算法。Buchberger算法(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba,gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)是一次借这些方法他们的力量和速度限制step-placing界限问题,可以处理的大小。最近在这个领域的推动,在某种程度上,通过免费的出现,有效的实现这个算法(gydF4y2Ba26gydF4y2Ba,gydF4y2Ba27gydF4y2Ba]。还提供了一些接口之间的交换代数程序(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba和数学gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba,gydF4y2Ba28gydF4y2Ba),与gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]尤其针对物理学家的需要。本文的目的是给出一个基本介绍Buchberger算法和其最近的一些应用程序。gydF4y2Ba

为了给一个想法的一个简单的算法可以使如此多的可能,我将Buchberger算法,然后显示它可能适用于物理3基本示例。首先,我将描述如何使用它来获取限制流量参数在四维的描述字符串现象学模型是必要的和足够的特定类型的真空存在的(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。其次,我将描述如何Buchberger算法可以用来简化方程描述的真空系统使找到最小值更容易处理的问题(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。最后,我将描述如何可以使用相同的简单的算法来计算超对称真空空间几何的电弱部门MSSM [gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

本文的其余部分的结构如下。节gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我把几页解释算法和我们需要的一些数学概念。后三个部分,然后描述上述三个例子。最后,我将做一些最后的评论Buchberger算法的通用性和可伸缩性。gydF4y2Ba

2。一点点的交换代数gydF4y2Ba

两页的简单的数学就足以达到所有的物理目标在介绍中提到的。首先我们定义一个多项式环的概念。在本文中,我们将调用物理领域的系统研究gydF4y2Ba和任何参数,如流量参数,gydF4y2Ba。多项式环gydF4y2Ba和gydF4y2Ba然后简单的无限集的多项式字段和参数和无限集的多项式参数,分别。gydF4y2Ba

我们需要另一个数学概念是单项的排序。这仅仅是一个明确的声明任何单项是否正式比任何其他单项。我们可能表示在特定的情况下说gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba在田野和单项参数。说什么是很重要的gydF4y2Ba不gydF4y2Ba这个的含义。我们并不是说我们正在采取单项这样的变量值gydF4y2Ba数值大于单项吗gydF4y2Ba。我们说,正式的订购,gydF4y2Ba以前被认为是吗gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

对于我们的目的,我们需要一种特殊类型的单项的排序称为消除排序。这意味着我们正式订购单项具有以下属性:gydF4y2Ba 在单词这只是说如果最大的单项gydF4y2Ba根据我们的订购,gydF4y2Ba,不依赖gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba不依赖于领域。其中的单项订购类所有单项字段是比所有这些没有这样的成分。gydF4y2Ba

鉴于这种单项序的概念,我们现在可以给出我们需要的一个算法使用Buchberger算法(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba,gydF4y2Ba25gydF4y2Ba]。Buchberger算法作为输入一组多项式。这些可能被认为是一个简单的多项式方程组的设置所有的多项式为零。算法返回一组新的多项式,当想到方程组以同样的方式,有相同的解集作为输入。然而,输出系统,我们会看到有几个额外的有用的属性。gydF4y2Ba

Buchberger算法gydF4y2Ba
(1)gydF4y2Ba从一组多项式称之为组开始gydF4y2Ba。gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba选择一个与上述消除房地产单项订购。gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba对于任何一双多项式gydF4y2Ba,gydF4y2Ba乘以单项,形式不同,取消主要单项的单项排序:gydF4y2Ba (4)gydF4y2Ba进行多项式长除法gydF4y2Ba关于gydF4y2Ba;也就是说,形式gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba是一个单项gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba取消一个单项gydF4y2Ba。重复,直到没有进一步降低是可能的。调用结果gydF4y2Ba。gydF4y2Ba(5)gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba,然后再考虑下。如果gydF4y2Ba,然后添加gydF4y2Ba来gydF4y2Ba并返回到步骤(3)。gydF4y2Ba

算法终止时gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba多项式可形成减少到0。最后一组多项式的称为Grobner基。gydF4y2Ba

正如上面提到的,结果集的多项式有几个不错的属性。特性通常作为定义多项式长除法对这组新的多项式总是给了相同的回答并不重要,下订单,我们把这个多项式除以。gydF4y2Ba

然而,对我们来说,重要的一点关于我们Grobner基gydF4y2Ba是所谓的消除财产。所有多项式的集合gydF4y2Ba它只依赖于参数,gydF4y2Ba,给出了一套完整的方程gydF4y2Ba存在的必要和充分的方程组的解我们开始。这是如此的原因其实是非常简单的。我们取消订购说任何单项有一个字段是大于任何单项只由参数。回顾Buchberger算法的步骤(3)我们看到,我们一再取消掉的主要条款polynomials-those包含领域我们可以。因此,如果可以重新安排我们的初始方程表达式不取决于字段gydF4y2Ba,那么Buchberger算法将为我们做这个。显然,虽然我们已经解释了gydF4y2Ba作为参数,gydF4y2Ba字段在上面,这就是我们需要的部分gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,这不是必要的。Buchberger算法可以用来消除任何多余的设置的变量从一个问题,在我们所描述的方式。gydF4y2Ba

这就完成了所有的数学,我们需要为我们的整个的讨论,我们现在可以继续运用我们所学到的东西。gydF4y2Ba

3所示。约束gydF4y2Ba

第一个物理问题我们希望答案是这样的。给定一个四维gydF4y2Ba超引力描述通量紧化,限制流量参数是必要的和足够的存在的一种特殊的真空吗?这个问题可以问,回答gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba),为任何类型的真空,但在具体的利益和简洁让我们限制自己超对称闵可夫斯基空间的简单例子。gydF4y2Ba

这是一个典型的系统的过电压,来自[gydF4y2Ba29日gydF4y2Ba]。它描述了一个nongeometric IIB型弦理论的紧化gydF4y2Ba 这个系统有一些已知的限制它的参数对于容许真空的存在是必要的。例如,这些来自蝌蚪取消条件:gydF4y2Ba

我们也有相同的帽子和检查约束切换。在这个例子中,字段,我们已经打电话gydF4y2Ba,都是gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,其他的都是一个“通量”参数,或一个gydF4y2Ba在我们的符号。gydF4y2Ba

总的来说,必须满足的方程是否存在是一个超对称闵可夫斯基真空gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,上述限制流量参数。提取一组约束仅仅涉及的参数存在的必要且充分的解决这些方程,我们只是按照前一节中概述的过程。gydF4y2Ba

我们可以执行这个计算非常Stringvacua [gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba),事实上,本例中为用户提供的帮助系统。结果如下:gydF4y2Ba

读者会注意到,结果是一个有点冗长的方程组。原则上必须找到量化解决这些表情,一个明显的丢番图问题,因此它可能会问为什么这种结果是任何使用。事实上,知识的限制流量参数是非常有用的原因。gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba首先,我们注意到,而这一过程的完整的结果往往是复杂的,一些约束可以给我们简单的关于系统的信息。在当前的情况下,例如,它可以看出gydF4y2Ba需要一个超对称闵可夫斯基真空的存在。gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba其次,如果一个是扫描一系列通量参数和数值解的方程找到空间,一个可以加快一个通量的分析首先用任意给定的一组参数为我们获得的约束。如果约束条件不满意,那么空间不存在,是没有意义的数字上寻找一个解决方案。这是一个耗时的数值的过程会给不确定的结果(没有发现解决方案)快速分析结论(不存在解决方案)。gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba最后,知识这样的约束可以大大加快代数方法发现真空(所概述的那些gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

4所示。简化方程的空间gydF4y2Ba

另一个使用我们学到的数学部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba是所谓的“分割工具”用于工作,如(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。物理概念是简单的。考虑试图解决方程gydF4y2Ba找到空间,包括那些自发打破超对称性,一些超引力理论。这些方程往往极其复杂。查看为什么这是如此的一个方法是,方程包含一个转折点的潜力gydF4y2Ba很多gydF4y2Ba的信息。他们不仅描述孤立的最小值的潜在感兴趣的也行最大值,各种各样的鞍点,等等。一个有用的工具,因此,将是一个算法,需要这样的一个系统作为输入,并返回一系列不同的方程,每个单独描述更少的转折点。因为每个独立的方程系统将包含更少的信息,人们可能会认为他们更容易解决。这将是有益的选择一个部门的这些方程的物理的兴趣。我们将在这里所做的选择,,Stringvacua等项目实施(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba),是分手的方程根据他们如何打破supersymmetry-that是转折点,据gydF4y2Ba当评估在这些位点上消失。gydF4y2Ba

包的能力,如Stringvacua不得不以这种方式分手方程是基于以下分割工具(参见[gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba为一套漂亮的更详细的笔记这种数学技术)。说的一个gydF4y2Ba方面的理论gydF4y2Ba。然后我们可以把方程描述的潜在转折点分成两块:gydF4y2Ba

第一个表达式是一组方程容易解决,一般来说,比gydF4y2Ba一个人。我们可以使用gydF4y2Ba术语来简化方程的转折点的潜力。另一方面,表达式(gydF4y2Ba4.2gydF4y2Ba)甚至不是一组包含一个不等式方程组。我们可以转换(gydF4y2Ba4.2gydF4y2Ba)到一个系统涉及平等利用纯粹的数学节中我们学习了gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

考虑以下方程组,包括一个哑变量gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

第二个方程(gydF4y2Ba4.3gydF4y2Ba)有解当且仅当gydF4y2Ba,只需gydF4y2Ba。如果gydF4y2Ba,那么方程减少gydF4y2Ba这显然没有解决方案。方程(gydF4y2Ba4.3gydF4y2Ba),然后,有一个解决方案时的等式和不等式(gydF4y2Ba4.2gydF4y2Ba)做的。不幸的是他们还依赖于一个额外的、不必要的,变量-gydF4y2Ba。这不是一个问题,我们已经知道如何删除不需要的变量从我们的方程。我们可以简单地消除它们,因为我们做了部分的字段gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。这将留给我们一个必要且充分的方程组gydF4y2Ba和gydF4y2Ba解决方案(gydF4y2Ba4.3gydF4y2Ba),因此(gydF4y2Ba4.2gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

所以我们可以把方程的转折点可能为两个简单的系统。一个描述的转折点gydF4y2Ba的gydF4y2Ba和其他,这些的gydF4y2Ba。我们当然可以执行这样一个分裂很多次gydF4y2Ba词!事实上,使用额外的技术从算法代数几何gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba,gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba33gydF4y2Ba),本质上是基于相同的技巧,可以走得更远。可以把方程拐点到组成部分获得一组为每个单独的轨迹方程。因为我们知道,gydF4y2Ba条款在每个非零,这些分类是根据他们如何打破超对称性。研究者感兴趣的某种类型的破坏因此可以选择感兴趣的方程描述真空和扔掉一切。gydF4y2Ba

上述方程的分裂过程的真空系统可以很简单在Stringvacua进行。可以找到许多例子Mathematica帮助文件中有包(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。在这里,让我们考虑陪集m理论紧化的例子gydF4y2Ba。卡勒和过电压的陪集,gydF4y2Ba结构,提出了在gydF4y2Ba34gydF4y2Ba]gydF4y2Ba 即使这样,相对简单,模型结果的潜力相当大的规模。定义gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba

找到这个潜在的转折点我们天真地需要八个不同的衍生品(gydF4y2Ba4.5gydF4y2Ba)和解决结果集intercoupled方程的八个变量。这显然是非常困难的。使用本节中所述的技术,然而,Stringvacua可以单独的真空空间对我们来说轻松的部分。考虑,例如,真空中孤立的领域和空间的所有真实的部分gydF4y2Ba术语是零,虚数部分消失。找到这些,包告诉我们,我们只需要解决方程gydF4y2Ba

因为他们只描述的一个小子集的所有潜能的转折点,这些方程非常形式和可能非常简单解决。对于这个特定的例子身体接受的转折点,结果是一个很容易确定saddle-something曾经发现了它的位置。gydF4y2Ba

5。真空空间的几何gydF4y2Ba

最后一个例子是我们能做的简单技术中引入部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我们将展示如何计算一个全局的真空空间超对称规范理论。这是一个著名的结果(见[gydF4y2Ba35gydF4y2Ba),引用其中)的超对称真空空间这样一个理论,计组gydF4y2Ba,可以被描述为全纯计的空间不变的运营商(gio)建立起来的gydF4y2Ba产品——字段配置。这个空间是什么样子的?考虑一个空间,它的坐标确定gio的理论。如果没有规中不变的运营商的关系,那么这个空间将真空空间。然而,经常有关系,因为方式gio构建的领域。例如,如果我们有三个指标不变的运营商gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba构建的领域gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,然后我们有关系gydF4y2Ba。如果我们把这些gio建成的gydF4y2Ba产品——字段配置,然后将会有进一步的关系。的真空空间理论定义的子空间解这些方程描述之间的关系判断不变的运营商,一次gydF4y2Ba平面度已经考虑。gydF4y2Ba

我们如何计算出这样的事?全球超对称的全纯表不变的运营商规范理论给出的字段gydF4y2Ba

在这里gydF4y2Ba是我们gio,gydF4y2Ba字段定义的功能。让我们写gydF4y2Ba方面的理论gydF4y2Ba。考虑以下方程组:gydF4y2Ba 每当这些方程的解决方案gydF4y2Ba是由函数的字段的正确方法,当这些字段配置使用吗gydF4y2Ba产品——。然而,根据本讨论,我们希望只是方程式的gio来描述我们的真空空间。在前面,我们可以消除不必要的变量问题,在这种情况下,字段gydF4y2Ba使用的算法部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba获得方程描述真空空间。gydF4y2Ba

作为一个简单的例子,让我们的电弱部门MSSM [gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)(右手中微子)。考虑到左手轻子的字段内容,gydF4y2Ba,右手轻子,gydF4y2Ba和gydF4y2Ba希格斯玻色子,两gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,一个可以构建基本gio表gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。指数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba运行3个口味,和指数gydF4y2Ba标签的基本gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

计算gydF4y2Ba方面我们需要过电压。让我们以最一般renormalizable形式是兼容的对称性理论和R-paritygydF4y2Ba 在这里gydF4y2Ba不变的张量吗gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba常系数。gydF4y2Ba

我们现在只是按照程序概述了本节的开始。我们计算gydF4y2Ba条款通过衍生品的过电压,我们标签表不变的运营商gydF4y2Ba来gydF4y2Ba,我们的形式(gydF4y2Ba5。2gydF4y2Ba),然后我们只是运行消除算法给出了部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

结果是,在简化,由六个二次方程6变量。这是一个简单的描述一个仿射版本的一个著名的代数品种的维罗纳人表面(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]。这样的结果可以做些什么?第一次观察到我们可以使这真空空间不是一个比丘。这意味着,例如,可以肯定地说,是不可能的工程师这一理论通过将单个D3膜在奇点比丘歧管,无需进入模型建立的任何细节。gydF4y2Ba

其次可以研究这样的真空空间,希望研究结果暗示的结构理论的能源来源。我们学习了在这一节中,例如,我们可以“projectivize”(假装gio齐次坐标射影空间而不是平坦空间坐标)和学习结果的霍奇钻石。超对称的结构场理论告诉我们,这个霍奇钻石应该是依靠4任意整数,但没有在低能量下,阻止我们与任何这样的整数建立理论。有趣的是,在电弱理论的情况下,这些整数都是0或1:gydF4y2Ba

这个结构是否确实是一个提示一些高能量的前期或只是反映了简单的理论是有争议的。然而,这个例子展示的想法寻找这样的证据的新物理真空空间结构。我们还应该添加在这里,类似的技术可以用来显示SQCD的真空空间是一个比丘()gydF4y2Ba6gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba8gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

6。最后的评论gydF4y2Ba

最后我们将几个点是一个警告,与其他更乐观。第一点,我们将是我们应该小心以免上述讨论让算法我们已经描述听起来像一个全能的工具。一如既往,抓住。在这种情况下它是算法的尺度的复杂性问题。“最坏情况”上界为多项式的程度gydF4y2Ba减少gydF4y2BaGrobner基可以在[gydF4y2Ba36gydF4y2Ba]。如果gydF4y2Ba发现的最大程度在你原始方程组,那么这个绑定吗gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba是变量的数量。这gydF4y2Ba坏的情况下gydF4y2Ba因此绑定扩展双自由度的数量呈指数级增长。这些非常高度多项式都表明这个问题变得非常复杂,因此计算量。尽管如此,身体有用的情况下可以使用该算法快速分析,证明了本文和引用。这个比例意味着一个不太可能获得通过将多一个快得多的电脑上的问题。一个好一点(gydF4y2Ba6.1gydF4y2Ba),如果你能找到一种方法,使用物理洞察力,简化问题研究中,那么您可以实现可以提高双指数。这样一块物理洞察力的应用这些方法的重点之一找到通量真空(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

我们完成了评论的方法计算交换代数我们这里讨论非常多才多艺。我们已经能够执行三种非常不同的任务只是利用一个算法在一个非常简单的方式。这些方法的效用问题的文献中,在一个用户友好的方式及其实现Stringvacua意味着他们可能尝试在任何给定的问题很少的开支由研究人员的时间和精力。更多的技术领域的算法交换代数可以应用到物理系统比这里描述或者物理文献中。因此,我们可以认为这个问题只会增加在未来的重要性。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

作者是由STFC和宾夕法尼亚大学要感谢慷慨的款待,而其中一些文件被写。除了他要感谢2008年维也纳ESI研讨会的组织者“数学挑战在弦现象学,”,这些笔记是建立第一次的谈话。作者想衷心感谢他的合作者提供基于本文的各种项目。这些包括劳拉安德森,丹尼尔·格雷森Amihay Hanany,杨辉,安东Ilderton,毗瑟奴Jejjala,安德烈•卢卡斯Noppadol Mekareeya, Nelson和布兰特。gydF4y2Ba

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