计算卡西米尔能量的一种具有截止指数函数的全局方法:以标量场为例

摘要

采用一种带截止指数函数的全局方法，求解了球壳存在时无质量标量场的卡西米尔能量。提出的方法从数学上定义良好，利用两个调节器，一个使贝塞尔函数阶数和有限，另一个正则化包含贝塞尔函数零点的积分。这个过程确保了在计算卡西米尔能量时的一致的数学处理，并允许在考虑非平凡对称时对正则化过程有一个主要的理解。特别地，我们确定了标量场的卡西米尔能量，显示了各种散度。我们分别考虑了球壳的内外区域的贡献，得到的结果与文献中已知的结果是一致的，这证实了所提方法的一致性。选择标量场是由于它在物理量自旋方面的简单性。

1.介绍

自1948年这篇开创性论文发表以来的几十年里，卡西米尔效应的相关性不断增强[1荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔。这个效应是指当两块板相互靠近时，它们之间出现的吸引力。卡西米尔是第一个预测并解释电磁场的真空量子涨落变化效应的人。

目前，卡西米尔效应已被应用到各种量子场和几何图形中，它作为一种由基流形变化引起的相对论量子场零点能量波动而产生的效应得到了更广泛的理解。当我们看到应用Casimir效应的大范围时，这种解释可以得到证实:BRS对称规范场的研究[2，在希格斯场中[3.，在超对称领域[4，在超重力理论中[5，6，在超字符串中[7，在Maxwell-Chern-Simons油田[8，在相对论弦中[9，在m理论中[10，在宇宙学中[11，在非交换时空中[12]，以及其他文献[13，14]，检讨文章[15- - - - - -17和教科书[18- - - - - -23］．

在目前的工作中，基流形的意义是，场受到的限制是由于球体的存在，边界条件发生。我们要强调的一点是，一旦计算卡西米尔效应涉及到处理无限大的量，我们需要使用一个适当定义的正则化过程。已经提出了许多不同的正则化方法，我们可以引用其中的一些:求和模式方法-利用一般截止函数[1，指数截止函数[24，25]、环保功能[26- - - - - -30.]、通过多次散射实现的绿色函数[31]、指数函数及截止参数[32，33， ζ函数[34- - - - - -40， Abel-Plana公式[21，41，或分裂点[42- - - - - -44];格林函数法-利用点分裂[45- - - - - -48，施温格源理论[49- - - - - -51，或ζ函数[52];统计方法-使用路径积分形式主义[53，或绿色功能[54];举一些例子。这些方法的区别在于用于计算卡西米尔能量的方法，很明显，物理结果必须独立于调节器或为它们所用的方法。但文献表明，在那里发现的结果显示了它们之间的分歧。

一般来说，得到卡西米尔效应的方法有两种:局部过程和全局过程。在局部过程中，我们的意思是，真空能的变化表达式明确地依赖于基流形的变量，只有在计算的最后一步，对这些变量进行积分。另一方面，在全局中，我们从真空能量的表达式开始，其中没有时空变量，因为它们已经被积分了。

在目前的工作中，我们假装详述了一种全球方法[55，56，用于计算卡西米尔能量。在这个方法中，数学上很好地定义了一开始，我们提出在截止指数函数中使用两个调节器，并且我们证明了这种正则化方法是一个适用于计算非平凡对称情况下的卡西米尔效应，特别是球对称。

使用标量场,我们可以避免固有的复杂性带来的向量电磁场的性质,由于其结构简单,标量场通常成为一个有效的工具,用于现场礼仪的调查在这些例子:在动力卡西米尔效应57，在有限温度下卡西米尔效应中[58，59，以及在重力场存在时的卡西米尔效应[60，61，其中[62- - - - - -64］．

本文的组织方式如下:在第一部分进行详细介绍2要使用的方法，以及为什么我们需要两个截止参数来获得正则表达式的卡西米尔能量，这是一个一致的数学处理的起点。部分3.展示了对球壳的内部和外部区域的贡献的计算。我们在Section中分析4并将结果与文献进行了比较，并做了一些考虑。

2.提出了两参数全局过程

出发点是将给定边界条件下的真空能与参考真空能之差定义为卡西米尔能的表达式。当我们考虑有球壳存在的标量场时，真空能是 在哪里为模态频率。它们是在边界条件作用于场时得到的。在没有边界条件的情况下，频率取一些值，我们将其命名为这就产生了真空参考能量 所以卡西米尔能量是．由具有半径的球壳形成的边界条件是

卡西米尔能量将通过模态和辐角定理(也称为辐角原理[65- - - - - -67])。这个定理将解析函数的零点和极点的和作为轮廓积分给出。这条轮廓线是一条曲线，它包含了包含零点和极点的复平面的内部区域[65- - - - - -67］．在本例中，我们感兴趣的是匹配条件的根函数(2．3）.下面的方程适合作为根函数 在哪里 当我们应用辐角定理并进行一些处理时，我们得到 在上面的方程中，对数的参数必须包含所有根函数的乘积。计算时所采用的等高线由[68根据图1．

减法过程(重正化)，定义为，如图所示2．

真空能量(2．1)中考虑边界条件的参考能量可用于(2．2）.当我们求半径的极限时将无穷。这一程序是合理的，但Boyer已经阐明了[69，70］．毕竟，我们得到了卡西米尔能量 在哪里．我们可以从上面看到我们使用了两个指数函数，其中一个是带积分号的函数，， ()，源于辐角定理，另一个是函数， ()，在总结式下面签名．现在，把这两项发展结合起来(2．7)可以重写为 其中和已被考虑在内。其他的极限将在可能的剩余分歧消除后的适当时刻采取。

3.球壳的卡西米尔效应:标量场的情况

我们现在重写(2．8)，以便将捐款按区域划分为,在那里 贡献是由于内部模式和 为外部模态的贡献。可以看出，上述贡献的写法是这样的是从总结性上分离出来的吗．这样做的目的是明确我们将关注的术语，并考虑到已经取得的一些进展[55］．

3．1.内部模式

现在，我们继续计算(3．1)，第一步是对贝塞尔函数进行德拜展开式［71，72］．当考虑大阶时，德拜展开给出了精确的结果以及更大的参数，这也使得对结果表达式进行分析处理成为可能。所以,我们有 在哪里和条款是由 与定义[37］ 的贡献(3．7)和(3．8)合成了德拜展开的零级项。贡献(3．5)源于角动量的小值，其价值已由[37］ 的贡献(3．6) (3．8)，采用欧拉-麦克劳林公式计算，余数[73- - - - - -75，这些数据是由[55］ 收集条款(3.14)， (3．15)， (3.16)和(3.17),我们得到 (3．4),对应于,我们获得 因此，考虑球形结构的标量场由于内部模态的能量是

表达式(3．20)无疑地表明需要第二个正则指数函数，，以使散度的一致数学处理成为可能。两个散度的对数(3．15)和(3.16)，源于总结上．这种类型的分歧已经在[76]，但只有在这里建立的过程中，这种丢弃才会被完全证明为适当的正规化，允许(3.16)，以明确的方式对待。

3．2．外部模式

外部模态的贡献是(3．2）.我们以与前一小节类似的方式进行计算。所以, 在哪里和 以下定义[37]： 在哪里由(3.10) (3．13),分别。(这个词3.28)在数值上由[37］ 其他捐款是按照前一分节中详细说明的类似程序计算的: 收集条款后(3．32)和(3.33),我们有 贡献(3.22),与，当我们重复计算时 聚集在一起(3.34)和(3.35)，我们得到了由外部模态对球形结构标量场能量的总贡献 我们的下一个任务是确定参考能量，并按照(3．3)和(3.21）.

4.正规化的结果

计算参考能量，我们得到 加号指的是哪里负号是和

现在，我们可以把内部的(3．20)及外部(3.36)，考虑到(4．1)，得到了由于存在有半径的球壳而导致的标量场的卡西米尔效应 这个结果是没有发散的，因为我们得到了一个精确的消去的项，这依赖于截止参数。方程(4．3)与[37，通过ζ函数法，在[77，它使用格林函数形式主义和维度解析扩展(在本参考中，起点是力的表达式)。

5.结论

我们在这项工作的目的是显示在计算卡西米尔能量中出现的每个发散项的形式和性质，并证明所提出的方法在数学上是一致的，它与文献中存在的结果是一致的。

为此，我们对标量场显式地证明了(3．20)， (3.36)和(4．1)作为边界几何特性的函数，如果我们重写假设无量纲参数的发散部分,昏暗的,所以 这里的加号是指下标而负号指的是下标,曲率。在(5．1)，是一个体积,是一个区域吗和是截止参数。如我们所见，(5．1)解释了为什么需要两个调节器来得到一个明确定义的标量场卡西米尔能量表达式。当我们考虑电磁场时，也是同样的情况(见[55])。结果(5．1)同意[78，除了由于由于球壳的相对自能，，但没有出现在那里。

我们这项工作的目的是确认(2．7)在我们假设场的非平凡对称时很有效。实际上，该方法成功地证明了标量场卡西米尔能量表达式中出现的各种散度的消去。此外，本文给出的计算结果与文献中存在的结果吻合良好。此外，正如作者在[79- - - - - -81，对量子场论的更好理解无疑涉及到理解这些无穷大的必要性。

承认

作者感谢Ludmila Oliveira H. Cavalcante博士(DEDU-UEFS)对英语修订的宝贵帮助。

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