(超)Poincaré代数的半简单扩展

摘要

在任意维数下，给出了Poincaré代数的半简单张量扩展．证明了这种扩展是-维洛伦兹代数(1)和-维反德西特(AdS)代数所以(构造了该扩展的超对称半简单推广维度。证明了这种推广是四维Lorentz代数so(3,1)与正辛代数osp(1,4)(超ads代数)的直接和。

1.介绍

在报纸上[1- - - - - -7生成旋转的Poincaré代数和翻译在维度,

通过二阶张量生成器得到了扩展以下列方式:

在哪里是某个常数(注意，为了避免对反对称指标求和时的重复计数，我们采用如下示例所示的规则:

在哪里是结构常数，等等。)

这样的扩展具有常识，因为它与常见的Poincaré代数(1.1)．此外，在极限代数(1.2)得到交换理想的半直和，以及Poincaré代数(1.1)．

值得注意的是，在此扩展下Poincaré代数的动量平方Casimir算符不再是Casimir算符，并通过添加与角动量线性相关的项将其推广

在哪里．因此，扩展代数的不可约表示(1.2)必须包含质量不同的场[4，8］．这种非通勤动量的扩展也与论文的观点有一些共同之处[9- - - - - -11和非交换几何思想[12］．

有趣的是，尽管代数(1.2)不是半简的，因此有一个简并的卡坦-杀戮度张量，但存在另一个非简并不变张量对应于二次卡西米尔算子(1.4)，其中矩阵是矩阵的逆：．

还有其他的二次卡西米尔算子

注意卡西米尔算子(1.6)，依赖于列维-奇维塔张量，只适合于维度。

它也被证明对于尺寸扩展的Poincaré代数(1.2)允许以下超对称泛化:

在超翻译生成器的帮助下．在(1.7）是电荷共轭矩阵，是常数吗,在那里是狄拉克矩阵。在这种超对称推广下，二次Casimir算子(1.4)修改为以下形式:

而其余二次卡西米尔算子的形式(1.5), (1.6)保持不变。

在本文中，我们提出了另一种可能的半单张量扩张-维Poincaré代数(1.1的直接和维洛伦兹代数和-维反德西特代数．的情况下我们为这个扩展给出了一个超对称的推广，它是四维洛伦兹代数的直接和和orthosymplectic代数(super-AdS代数)。在极限下，这个超对称广义扩展可以得到李超代数(1.2), (1.7)．

让我们注意到，引入(超)Poincaré代数的半简单扩展对于模型的构建是非常重要的，因为它更容易处理非简并时空对称性。

2.Semi-Simple张量的扩展

我们扩展Poincaré代数(1.1)维数通过张量生成器以下列方式:

在哪里和是一些常数。这个李代数，当量和取为同态核的生成子，与一般的洛伦兹代数同态。值得注意的是李代数(2.1)是semi-simple与Poincaré代数(1.1)和扩展Poincaré代数(1.2)．

扩展的李代数(2.1)有下列二次卡西米尔算子:

注意极限代数(2.1)趋向于代数(1.2)和二次卡西米尔算子(2.2), (2.3)和(2.4)变成(1.4), (1.5)和(1.6),分别。

对称张量

与任意常数和是伴随表示不变的吗

反过来，如果我们要求二阶逆变对称张量伴随表示的不变性，那么我们得到(2.5)(请参阅[6])。

半单代数(2.1）

有非退化的卡坦杀戮度规张量吗

哪一个对伴随表示是不变的

借助反度规张量：我们可以构造一个二次卡西米尔算子，它的表达式如下:2.2)和(2.3)：

它对应于特定常数的选择和在(2.5)．

扩展的Poincaré代数(2.1)可以重写为该形式

其中度规张量具有以下非零分量:

发电机的

形成洛伦兹代数，发电机

形成了代数(注意这一点我们得到了反德西特代数)。代数(2．11)- (2．13)是直和的-维洛伦兹代数和-维反德西特代数。

二次卡西米尔算子，,代数(2．11)- (2．13)用运算符表示（2.2)，（2.3),（2.4)，方法如下:

3.超对称泛化

在的情况下扩展的Poincaré代数(2.1)承认以下超对称推广:

在哪里是超翻译生成器。

在这样的推广下，Casimir算子(2.2)的修正方法是在超翻译生成器中加入一个二次项

而其余的二次卡西米尔算子的形式(2.3)和(2.4)没有改变。在(3.2）也是半简单扩展超代数的生成器集合(2.1), (3.1)．

张

是伴随表示不变的吗

在哪里是数量的格拉斯曼平价吗．在(3.4）和是任意常数和非零元素的矩阵吗等于矩阵的元素随后从(2.3)．再次，通过要求二阶逆变张量伴随表示的不变性，我们来到结构(3.4)(请参阅[6])。

半单李超代数(2.1） (3.1)具有非简并的卡坦杀戮度规张量(见关系)要求寄出)。一个)，它相对于共伴随表示是不变的

用反度规张量，

我们可以构造二次卡西米尔算子(见A.11)。一个)，它以卡西米尔运算符(2.3)和(3.2)：

它满足特定常数的选择和在(3.4)．

在扩展超代数(2.1), (3.1)可以以关系的形式重写(2．11)- (2．13)及下列各项:

在哪里

发电机的（2.15)形成洛伦兹代数和发电机（2.16)，形成正辛代数．我们看到超代数(2．11)- (2．13), (3.8)- (3.10)是直和给出了四维Lorentz代数和四维super-AdS代数。

在这种情况下，卡西米尔算子(2．17)的修正方法是在超翻译生成器中加入一个二次项

而二次卡西米尔算子(2．18)和(2.19)没有改变。

4.结论

因此，我们提出了Poincaré代数在任意维数上的半简单二阶张量扩张还有super-Poincaré代数维度。这是非常重要的，因为在模型的构建过程中，处理非简并时空对称性更加方便。我们还构造了半简单扩展Poincaré和超Poincaré代数的二次Casimir算子。

在这些扩展代数的基础上发展这些模型是很有趣的。这个方向的工作正在进行中。

附录

A. Lie Superalgerbra的性质

生成器的排列关系李超代数的

结构常数有格拉斯曼平价吗

对称性:

服从雅可比恒等式

的象征表示量的循环排列，,．在关系中(. 1)- (各)每个索引取格拉斯曼偶数或者格拉斯曼奇数．的关系(. 1)有以下组件:

李超代数具有卡坦致死度规张量

哪些组件

作为关系的结果(a .)和(各)低指标张量

具有下列对称性:

对于半单李超代数，卡坦消度张量是非简并的，因此存在逆张量，

在这种情况下，由于对称特性(A.9),数量

是卡西米尔算子吗

致谢

作者对j·a·德·阿兹卡拉加的宝贵评论表示感谢。他们非常感谢裁判员提出的建设性意见。其中一名提交人(V.A.S.)感谢Abdus Salam ICTP联合会和联合会计划办公室的行政部门在完成这项工作的里雅斯特给予的热情款待。va.s的研究部分得到了乌克兰国家科学院和俄罗斯基础研究基金(批准号:)的资助。38/50 - 2008。

参考文献

A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky，和E. Sokatchev，“复调和解析的规范场几何- i: Kähler和自对偶Yang-Mills案例”，上的物理第185卷第1期1，页1 - 21,1988。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev，“复调和解析的规范场几何- ii: hyper-Kähler案例”，上的物理第185卷第1期1，页22-45,1988。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
D. canemi和R. Jackiw，“线性引力的标尺不变公式”，物理评论快报，第69卷，第2期2，第233-236页，1992。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
D. V. Soroka和V. A. Soroka，“Poincaré代数的张量扩展”，B物理快报号，第607卷。3-4页，302 - 305,2005。视图:出版商的网站|谷歌学者
S. A. Duplij, D. V. Soroka，和V. A. Soroka，“集中扩展公式中线性引力的费米子概化”，哈尔科夫国立大学学报，物理系列，原子核，粒子，场，第664卷，第2期。2/27，页12-16,2005。视图:谷歌学者
S. A. Duplij, D. V. Soroka，和V. A. Soroka，“线性引力的特殊费米子概括”，浙江大学学报:自然科学版，第7卷，第5期4，页629-632,2006。视图:出版商的网站|谷歌学者
S. Bonanos和J. Gomis，《关于伽利略和Poincaré代数的chevley - eilenberg上同系性的注释》，物理学报A，第42卷，第2期14、文章编号145206,10页，2009。视图:出版商的网站|谷歌学者
D. V. Soroka和V. A. Soroka，“由不同质量组成的多重体”，原子科学与技术问题，第3卷，第2期。1，页76-78,2007。视图:谷歌学者
h·s·斯奈德，《量子化时空》物理评论，第71卷，第71期1，第38-41页，1947。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
杨承南，《关于量子化时空》，物理评论第72卷第2期9，页874,1947。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学
V. V.赫鲁晓夫和A. N.列兹诺夫，“量子时空中运动学可观测物的相对论不变李代数”，重力宇宙学，第9卷，第5期。3，页159-162,2003。视图:谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
A. cones， <非交换微分几何>出版物Mathématiques de L'IHÉS第62期1，第41-144页，1985。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学

高能物理进展

摘要