求模糊数非单调函数的解析方法

摘要

本文提出了一种新的求解独立模糊数的连续非单调函数的解析方法。这种方法是基于参数的-cut表示模糊数，并允许将参数不确定性纳入数学模型。

1.介绍

本文是对我们之前工作的继续研究[1］．在[1，我们提出了一种实用的解析方法来计算独立模糊数的连续单调函数，该方法基于可拓原理的另一种表述[2］．在本文中，我们将这种方法推广到一般的、独立模糊数的非单调函数。对于理论背景，我们假设读者熟悉Sections2和4从[1］．

2.预赛

在本文的其余部分，我们将使用两个典型的工程模糊数，三角模糊数和高斯模糊数。定义如下。

定义1。的三角模糊数(TFN的)3.］由隶属函数定义在哪里表示最常见的值，表示左手,和表示右手传播的．如果，则称为TFN对称的．它的轻易进行由(2关于：

定义2。的高斯模糊数(GFN) [3.］由隶属函数定义在哪里表示模态值, 表示左手,和表示右手标准差的．如果，称为GFN对称的．它的轻易进行导致

3.分析方法

为求独立模糊数的连续非单调函数，作者在[4，5]建议将极值点作为常数分布纳入计算。然而，这是不够的，并可能导致错误的结果，正如[6］．更具体地说，区间边界的所有排列，，也必须考虑极值点的分量。

基本上，我们的分析方法可以分为两部分取决于单调性:一般部分和延伸部分。

3．1.通用部分

如果函数都是非单调的吗，时，可得到如下解析解:(1）评价函数对所有的的区间边界的排列，．例如,如果,然后计算（2）评价函数对所有的区间边界的组合，，由极值点组成，．例如,如果和,然后计算（3）如果对某些，计算相应的．（4）在同一个图中绘制所有候选解决方案。（5）最后，从模态点开始在，构造由的可能候选解构成的最大包络线在凸的条件下。

这一般我们的方法的一部分需要一个总的最大值和最小功能评估。它可以被看作是一个分析的版本水平区间算法［6］．

例1。这个函数与应对两个模糊数进行评估和．自这个函数两者都是非单调的吗和在域有一个(全局)极值为．因此，应该应用我们方法的一般部分。解决方案候选是我们可以从图中看出他们的情节1从模态点开始，最大包络线的左分支，由灰色区域表示，由为,通过为,通过为，其中值对应于两者的交点和和价值到交点和．另一方面，它的右分支完全是由．因此,轻易进行的是与，，,的隶属函数收益率

３．２．扩展部分

令连续函数是(严格地)单调递增的，，(严格地)单调递减，单调,，，而非单调，，在兴趣领域，与．则可得到解析解:(1）评价函数为，,，，包括所有的区间边界的排列，,，，来计算候选的单调解．（2）评价函数为，,，，包括所有的区间边界的排列，,，，来计算候选的单调解．（3）评价函数为，,，，包括所有区间边界的组合，，由极值点组成，，来计算候选的非单调解．（4）评价函数为，,，，包括所有区间边界的组合，极值点的分量，，来计算候选的非单调解．（5）在同一个图中绘制所有候选解决方案。(6）最后，从模态点开始在，构造由的可能候选解构成的最大包络线在凸的条件下。

这扩展我们的方法的一部分需要总的功能评估。

例2。现在,这个函数与将对示例中的两个模糊数进行评估1．自这个函数非单调的有一个(全局)极值为并且(严格地)单调递增在域．因此，应该应用我们方法的扩展部分。单调解的候选是和，的非单调候选解是和，我们可以从图中看出他们的情节2从模态点开始，最大包络的左分支由为并通过为，其中值对应于它们的交点。另一方面，它的右分支完全是由．因此,轻易进行的是与，，,的隶属函数收益率

4.工程应用

为了在更实际的情况下说明解析方法，我们考虑一个由有质量的块组成的单自由度线性系统如图所示，在光滑的表面上移动3.．该块通过具有弹簧常数的线性弹簧与墙壁相连．该系统由下列常系数线性齐次二阶常微分方程控制[7]：在这里, 表示固有频率的系统。(的通解22)是由在哪里和表示初始条件。

我们假设和都是不确定的，用模糊数来描述。更具体地说，不确定的初始位置由(对称)三角模糊数建模和不确定的固有频率由(对称)高斯模糊数此外,我们假设．我们感兴趣的是一个周期后质量的不确定位置(）.

自是否(严格地)单调递增和非在域具有无限个局部极值，．因此，应该应用我们方法的扩展部分。单调解的候选是和，非单调解的候选而另一方面，美国人则是和，

我们可以从图中看出他们的情节4最大包络的左分支是由右边的分支是．因此,轻易进行的是自在(32)是不可逆的，则不可能给出隶属函数的解析表达式．然而,-cuts和隶属函数都是模糊数的等价表示。(32)如图所示5．

5.结论

我们从[1到一般的、独立模糊数的非单调函数。它是基于-切公式的可拓原理，并允许将参数不确定性纳入数学模型。

在进一步的研究活动中，相互依赖的影响可能是一个调查的主题。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

本文由德国研究基金会(DFG)和汉堡理工大学(TUHH)资助的“开放获取出版”项目资助。

参考文献

A. Seibel和J. Schlattmann，“一种求解模糊数单调函数的扩展解析方法”，模糊系统的研究进展， 2014年，第892363号，9页，2014。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
J. J. Buckley和Y. X. Qu，“关于使用 $α$ -削减来评估模糊方程，”模糊集与系统第38卷第2期3，页309-312,1990。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
m·汉斯应用模糊算法:工程应用导论，施普林格，柏林，德国，2005。视图:出版商的网站
董伟民，“计算模糊变量函数的顶点法”，模糊集与系统，第24卷，第2期1，第65-78页，1987。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
J. Fortin, D. Dubois，和H. Fargier，“渐进数及其在模糊区间分析中的应用”，模糊系统学报，第16卷，第5期。2，页388 - 402,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
K. L. Wood, K. N. Otto, E. K. Antonsson，《模糊参数的工程设计计算》，模糊集与系统号，第52卷。1，第1 - 20页，1992。视图:出版商的网站|谷歌学者
D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall和J. Bonet，工程力学2:材料力学，施普林格，柏林，德国，2011。

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