修复不一致的模糊偏好矩阵使用多目标算法

文摘

本文提出一种方法使用多目标粒子群优化(PSO)的方法来提高一致性矩阵在层次分析法(AHP),称为PSOMOF。这种方法的目的是为了优化两个目标相互冲突,同时提高一致性矩阵。他们是一致的比率(CR)和偏差最小化矩阵。本研究着重于模糊偏好矩阵作为一个比较矩阵AHP模型。一些不一致矩阵修复成功通过这个方法是一致的。这种方法提供了一些替代一致矩阵作为解决方案。

1。介绍

层次分析法的一个重要问题在比较矩阵的一致性。在多准则决策(指标),决策者(DMs)揭示他们的意见选择一些决定的选择由比较矩阵(1]。然而,的比较矩阵确定为不一致不能作为判断。与此同时,一致性是很难获得,当评估大量的标准。

有两种模型的比较矩阵乘法偏好关系1)和模糊偏好关系2,3]。元素比较矩阵乘法偏好关系的声明它定义了替代的优势在,在那里和。模糊偏好关系矩阵元素比较说明,它定义了偏好的选择在,在那里和。本研究着重于模糊偏好关系。

模糊偏好关系的一致性的问题也得到了研究者的关注。徐和王4)提出了一个修正的方法通过使用线性规划模型为添加剂生成优先级权重区间模糊偏好关系。徐和陈5]提出的方法满足元素,它是不完整的模糊偏好群体决策基于添加剂传递一致性和辅助价值积累成一组辅助关系。本研究扩展了徐et al。6),推导出一个函数添加剂之间的传递性模糊偏好及其相应的优先级向量。徐et al。7)算法通过消除周期长度为3的有向图的不完全互惠偏好关系并将它转换成一个顺序一致性。刘等人。8)提出了一个方法来解决模糊偏好矩阵的不完备也修复不一致偏好矩阵。这种方法计算最小平方误差的不完整的模糊偏好关系及其优先级权重向量满足缺失值和生成一致性模糊偏好,一个是最接近原始的一个修改。陈等人。9)提出了一种群体决策的方法使用不完整的基于加性一致性的模糊偏好。Chiclana et al。10)提出了函数方程模型的基本一致性强度的偏好互惠偏好关系。夏et al。11)提高了一致性通过几何一致性指数完全和不完全模糊偏好。

研究利用群体智慧也用于解决等不一致的比较矩阵算法相结合田口方法(12]。它改善了先前的研究使用遗传算法(13)解决不一致的比较矩阵。两个研究使用相同的目标函数来解决这个问题,也就是说,求和CR和偏差矩阵。虽然成功metaheuristic为了解决这个问题,实现metaheuristic的变化,很少进行。Girsang et al。14,15)也已经实现了蚁群优化(ACO)方法在我们先前的研究来解决这个问题,不同的目标函数,使用杨et al。12和林等。13]。在[14),除了修复率不一致,算法用于提高最小偏差矩阵,在[15)算法用于提高最小比例一致。它变成了一个有前途的研究要考虑的两个目标函数使用群体智慧。Girsang et al。16]还与多目标算法实现方法;然而,它只关注修复乘法偏好矩阵。

2。相关工作

2.1。在AHP一致的比率

不一致是一个简单的例子描述如下。决策者(DM)的意见比和比。这种情况下的一致的逻辑应该比。相反,如果DM表示,这将是不一致的比。在层次分析法中,决策者的意见反映在一个比较矩阵。一个元素比较矩阵可以反映主观意见暴露强度的偏好和感觉。在一个模糊偏好矩阵,矩阵的元素比较,可以表示为,刻度值(),,,。矩阵模糊偏好关系可以描述如下:

测量比较矩阵乘法的一致性,Saaty定义一致的比率(CR)。他建议CR在乘法偏好矩阵的阈值是0.1。CR的定义是 在哪里和分别是矩阵的特征值和特征向量。此外,CI是一致性指数;代表数量标准或大小的矩阵,RI(随机一致性指标)是随机生成的平均指数权重。国际扶轮的值在每个尺寸矩阵描述表1。CR小于0.1可以归类为一致矩阵。完美的一致性时获得最大特征值等于数量标准()。

Herrera-Viedma et al。17)提出了一些定义,揭示了模糊偏好矩阵的一致性。他们表明,添加剂一致性是更合适的定义模糊偏好矩阵的一致性程度。关系矩阵如果元素矩阵可以满足(是一致的5)和(6): 在哪里

徐和Da (18)提出了确定模糊偏好矩阵乘法的一致性。他们用徐的(19)方法确定CI乘法偏好矩阵。假设是乘法偏好矩阵的元素。徐(19)定义的CI (7)。这个方程是源于(3)。通过了解每个标准的体重和元素的矩阵,CI可以获得: 在哪里元素矩阵乘法偏好矩阵和吗是每个标准的重量。确定置信区间模糊偏好矩阵,(4,18)与假设转换使用,在那里是元素矩阵的模糊偏好矩阵。因此,他们提出了确定CI在

2.2。偏差矩阵

而一致的比率是修理,修改原始矩阵自动生成偏差矩阵。理想情况下,修改后的矩阵保持接近他们的原始矩阵来维持原判决。这意味着最小偏差矩阵是丰富。有一些方法来代表偏差,如不同指数()[13),和。差异指数(Di)被定义为真正的区别在两个基因型相同的基因值。其他偏差定义为和,这是表示 在哪里是原来的矩阵(];是修改后的矩阵),而矩阵的大小。

在乘法偏好矩阵,不同指数(Di)通常被用来衡量两个矩阵之间的距离。然而,在模糊偏好矩阵,和被认为是更适当的偏差矩阵来表示。自从价值偏好将0.51到1或0到0.49,该部门每个基因在迪不会显著不同。因此,两个矩阵的差异也不显著。因此,在这项研究中,而不是使用Di,被用来定义的偏差矩阵偏好模糊矩阵。

2.3。粒子群优化

进行算法首先提出了肯尼迪和埃伯哈特(20.]。它是基于随机优化的社会行为中观察到动物或昆虫如鸟成群结队,鱼教育和动物放牧。在算法中,每个粒子群代表移动搜索最优解的解决方案。每一个粒子也广播邻居粒子的当前位置。每个粒子的位置调整根据其速度和最好的位置发现了迄今为止。一个粒子开始移动速度从当前位置,到下一个位置,如(11)。速度是受三个因素的影响:(一)以前的速度之前,(b)最好的粒子的位置之前,(c)最好的群粒子的位置。它可以表示为(12): 在哪里重量控制的收敛速度,加速度体重认知元素,社会的重量参数和随机数的范围(]。

3所示。该方法

3.1。PSOMOF算法

在算法中,每个粒子寻求最好的位置通过移动搜索空间。算法可以表示一个元素的位置比较矩阵。如前一节所示,编码矩阵元素的位置只能从编码下三角矩阵。如果矩阵被确定为一个矛盾矩阵和需要修理,然后矩阵的刻度值应与新值被改变。高效,整个元素的比较矩阵可以表示为下三角矩阵。因此,算法的位置应该改变只能代表的下三角矩阵。当改变每个节点的值是一致的,它也改变了速度一致的比率(CR)和偏差矩阵。我们使用在这个方法中代表偏差矩阵。改变每个节点的值意味着改变粒子的位置。PSO的位置是影响粒子历史最佳位置(本地最佳)和成群的最佳位置(全球最佳)。解决方案(新值位置)执行追逐一致率。然而,正如前面提到的,没有一个解决方案可以实现CR和最小的在同一时间。PSOMOF算法通过构造nondominated解决方案描述之间的关系和CR算法。1显示PSOMOF算法的轮廓。在这种方法中,有三个步骤,每个步骤使用算法得到结果矩阵:(1)最小化 一步。首先,每个粒子(有200个粒子)随机生成它的位置和速度。粒子的位置意味着粒子生成随机修改矩阵的候选人。元素矩阵可以表示只有连续的下三角矩阵元素。粒子的速度意味着粒子生成的值增加/减少粒子的位置。每个粒子的初始位置设置初始状态相同。每个粒子的初始速度设置随机但低于0.1。最好的粒子被定义为历史,被定义为所有粒子的最佳位置。最初,从第一位置粒子生成,而来自所有粒子的最佳位置从第一位置生成。在接下来的迭代中,根据前面的速度信息,,和一些变量(),每个粒子的速度更新中描述(12)。设置变量的值,进行了一些实验和新职位将根据更新的速度,获得所述(11)。评价适应度函数的最小化。然而,如果一个粒子比之前更糟,还是,更新将会取消。适应度函数的结果也更新新的历史最好每个粒子的位置()和新所有粒子作为一个群体的最佳位置()。这个过程会一直重复,直到迭代达到最大。(2)最小化CR的一步。这几乎是一样的步骤()。如果步骤()最小化作为适应度函数,然后一步()最小化CR作为适应度函数。(3)获得一组Nondominated CR - 解决方案的步骤。也是一样的过程最小化。然而,过程增加了一些各种CRs,逐渐减少直到到达CRmin。

3.2。编码和分数的原始元素矩阵

可以组装的编码矩阵矩阵中所有元素。然而,由于模糊偏好矩阵的元素(FPM)有这样的关系和、编码节点只能编码矩阵的下三角元素节点:

方程(13)显示矩阵与及其编码顺序选择行,行FPM的下三角矩阵的元素。编码的元素数量可以确定。获得一致矩阵,当然,每个元素的值矩阵应该更改为一个新值。新值选择值的几个候选人。候选人元素生成使用原来的分数值。如果原始元素是超过0.5,候选人将在0.5和1之间;如果原始元素小于0.5,候选人将在0到0.5之间;如果原始元素是0.5(中立),候选人仍然是0.5,或原始数据不应该分数。这种方法使得候选人元素不会改变判断趋势但只会改变判断重量。候选人元素的数量是基于分数因子()。例如,如果,然后将候选人。假设矩阵,是一种原始元素节点,矩阵的大小;因此,旅行的节点序列,,可以被定义为

每个元素的起源,是分数成几个候选人元素,在那里代表候选人的索引元素,中描述 在哪里;。

表2显示了原始元素及其候选人分数如果的结果= 0.01。有50名候选人来源元素的替代品。

这些分数元素可以作为候选节点通过粒子在PSOMOF旅行。粒子将从候选人的候选人的下一个节点一个节点。然而,粒子可能保留了原始元素。

3.3。确定置信区间模糊偏好矩阵

确定模糊偏好矩阵使用CI (8)改变(7)是不适合的。转换使用操作是不合适的,因为它可以超过阈值矩阵乘法的元素。例如,假设和。通过将上面的公式,将19。的值超过9,这是矩阵乘法的阈值的元素。因此,在这项研究中,我们使用一个方法将模糊偏好()到乘法偏好(),引入了Herrera-Viedma et al。17)来确定所示的乘性一致性

因此,如果模糊偏好矩阵的元素,它可以转化为元素的矩阵乘法。这个变换值不是高于9的最大尺度。通过使用(16),提出了一种新的公式来确定,如所示

证明这个公式,一致的比率的一个示例矩阵所示(13)确定。这个示例矩阵选择从徐et al。6]。根据(5),显然,矩阵可以验证一致矩阵。相反,矩阵被确定为一个不一致矩阵当它是由(4)和(7)。然而,如果(4)和(18),CR将0.05,因此将一致矩阵的结果(5)。因此,在本研究中,(18)是用于定义CI值。

4所示。实验结果

4.1。参数设置

表3显示的参数设置提出和比较方法。不一致矩阵可以取自现实生活应用程序需要决策者的意见比较若干标准得到一些替代品。一旦认定为不一致矩阵,PSOMOF能够被用来修复不一致矩阵。看到提出的方法修复的性能不一致的矩阵,有15个不一致的模糊偏好矩阵,需要修理,如表所示4。一些矩阵来自其他报纸,但一些矩阵是随机创建的。

4.2。生成Nondominated解决方案

正如上面提到的,这个方法有两个目标,即最佳CR和偏差矩阵。这两个目标相互冲突。当CR最低(好一致的比率),它会导致最高最严重的偏差,反之亦然。然而,为了得到可接受的矩阵,修改矩阵的CR有限低于0.1。它使解决方案包括一些关系(“CR-deviation”),可以确定为nondominated解决方案。方程(19个),(19 b)和(19摄氏度)显示PSOMOF的性能得到最好的CR -为,分别。原点矩阵(19个)可以转化为修改后的矩阵有最好的CR (19 b),(19摄氏度),分别为:CR = 0.319 CR = 0.003,= 0.161 CR = 0.099,= 0.073

PSOMOF将方法分为三个步骤。这些都是找到最优偏差,优化CR,和最优偏差与CR的特定值,图1显示了收敛过程寻找最佳的偏差,而图2显示过程收敛,找到最佳的CR。他们都是在进行。

在获得最小CR和执行的第三步PSOMOF得到nondominated CR-deviation节点。通过使用PSOMOF,对于每一个CR,可以获得最佳的偏差。这个方法从而成功地生成一些节点的解决方案。图3显示了帕累托图,描述了CR和偏差的关系矩阵。样本矩阵的模糊偏好矩阵,,,,。它清楚地表明,他们将会相互矛盾。在矩阵的情况下,当最小化,CR最大化。同样地,当CR是最小化,是最大化。

4.3。与其他方法相比

评估PSOMOF的性能,本研究采用指标分析(21,22]。性能是由帕累托图10次。然后帕累托图和帕累托图的两个算法相比,NSGA-2 [23]和MOPSO [24]。帕累托最优设置是由合并所有的帕累托图的算法(PSOMOF、NSGA-2 MOPSO)到一个帕累托解。nondominated解决方案为每个生成算法通过执行每个算法一次样品不一致矩阵(,,,,)。有三个指标来衡量nondominated解决方案通过使用该方法的性能。假设一组nondominated解决方案。

度规。这个指标衡量结果nondominated集解决方案的平均距离的帕累托最优的解决方案。更好的值应该是较低的。它可以被定义为描述

度规。这个指标措施的数量分布nondominated被邻居参数覆盖的解决方案。一个更大的显示出更好的性能。可以被定义为

度规。这个指标措施nondominated集的程度。大范围的值应该被nondominated覆盖解决方案。更大的是更好的。可以被定义为

比较结果如表所示5。这表明PSOMOF指标是最小的矩阵MOPSO和NSGA-2相比。这些结果表明,大部分的帕累托图PSOMOF更接近帕累托最优的前两种算法(NSGA-2和MOPSO)。为度规,PSOMOF结果大于除外的其他算法。这表明该方法的解决方案是比两种算法分布。在度规,该算法相比也优于NSGA-2 MOPSO。该方法返回nondominated进一步解决方案比其他的两个算法。PSOMOF,对于这个结果,该方法可以声称为更好的算法相比,这两个算法(NSGA-2和MOPSO)。

5。结论

介绍了一项研究,利用多目标算法解决不一致在AHP模糊偏好矩阵,称为PSOMOF。有两个目标(一致的比率和偏差矩阵)考虑整流矩阵以保持一致。然而,在这个过程中他们是相互矛盾的。因此,该算法提供了一些nondominated解决方案可接受的一致性矩阵也满意。PSOMOF的过程分为三个部分,每个部分应用算法的过程。15不一致的性能,比较矩阵提出了修复的方法。除了修复不一致的比较矩阵,该方法还可以生成一些nondominated解决方案可分为最优解决方案。这个结果显示了PSO算法的潜力在AHP方法解决不一致的比较矩阵。其他智能算法也可以用来解决这个问题。此外,这种方法可能是一个潜在的方法与其他方法结合metaheuristic(混合)提高结果的质量。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢匿名审稿人的宝贵的意见和建议在纸上。这部分工作是支持台湾科学技术部,合同most103 - 2221 - e - 197 - 034,大多数104 - 2221 - e - 197 - 005,和100年NSC - 2218 - e - 006 - 028 - my3。

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