以凸包为几何模型的模糊聚类

摘要

本文提出了一种新的模糊聚类方法，其目的是利用基于凸壳计算的聚类广义几何模型来放松已知算法施加的一些约束，并提出了一种确定合适的隶属度函数的方法，从而基于凸壳计算来表示模糊聚类采用几何模型。凸包不仅用于聚类分析结束时的几何数据解释，还用于在线顺序过程中的模糊数据划分，以计算隶属函数。因此，在适合聚类的情况下，获得纯模糊聚类算法通过模式对每个聚类的模糊隶属度对数据分布进行聚类分析。文中的数值结果表明了该方法相对于其他著名聚类算法的有效性和有效性。

1.介绍

聚类算法始终表示用于分析小型或大量数据的有效和重要方法，即，通过使用一些代表数据的特征数量的一些相似性或不相似的措施将物体分割成群组的群集。1.–3.］.聚类跨度在各种科学技术领域的应用，尤其是机器学习，计算机科学，统计，工程，物理学，数学，医学等。在二十世纪早期，在文献中提出了大量的算法和相关变体，每个算法都适用于特定应用领域[4.–16］.

聚类技术处理无监督学习，因为它们是在无法预先定义数据标签时使用的。它们利用几个指标来确定属于同一组(集群)的类似对象(模式)，而这些对象又与其他集群的模式不同[17］.显然，星系团的形状受到所选度量的影响，如欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离或马哈拉尔诺比距离;事实上，两种模式可以是使用一个度量的“接近”(或“相似”)和使用另一个度量的“远”(或“不同”)。

当聚类被认为是模糊集时，类似的考虑也是有效的[18］.在这种情况下，通过确定每个模式对当前集群的模糊隶属度，将模式以非独占的方式分配给多个集群。然而，隶属函数(MF)的几何约束可能是聚类分析的一个显著障碍。在这方面，大多数算法倾向于创建具有简单几何结构的球形、椭球形或多边形模糊簇，这些几何结构在计算上是负担得起的，但可能不适合实际的数据分布。

模糊算法和清晰算法有不同的分类;考虑最多的方面如下:(我) -聚类或自由聚类技术，根据先验确定的数量(集群的);(2)聚类生成的分区或分层(凝聚/分裂)过程，其中数据集直接被划分为一组不相交的聚类，或者解决方案依赖于层次序列中的前一个或连续一个;(iii)顺序(在线)或批处理(迭代)算法，通过该算法，在新模式的任何表示时，或考虑给定的数据集，对聚类进行顺序更新。如前所述，当一个数据集连续几次用于确定聚类时，可能存在混合情况，例如，在一个epoch的学习过程中或参数的调优过程中;(iv)基于模型、基于分布或基于密度的聚类，当聚类与数据空间中定义的几何模型相关联，或者它们与合适的统计分布或密度函数相关联时;(v)point-to-centroid或基于point-to-boundary指标,从集群模式的距离计算考虑一个原型(即,一个点或质心)代表每个集群或距离比例根据实际扩展集群的数据空间,独立的基于模型的使用,发布出去是依靠,或density-based集群。

如今，没有群集算法，其性能普遍认识到所有问题都令人满意。根据分析下的数据的性质和特定应用领域，群集结构的计算复杂性，模型拟合和解释性工具的计算复杂性，模型配合和解释性工具之间的折衷通常是必要的。迭代算法执行群集，直到验证停止规则;它们往往比顺序算法更准确，又转而更快但取决于模式呈现顺序。在这方面，最近在文献中提出的着名的在线聚类方法是递归模糊——(19]，递归gustafson-kessel聚类[20.，递归减法聚类(eTS)方法[21，进化聚类方法(ECM) [22，动态进化神经模糊推理系统(DENFIS)方法[23]， 等等。

此外,-聚类技术有很大的局限性，因为它们只适用于那些可能事先知道聚类数量的问题[24–26].事实上，有大量的文献集中在  “集群有效性”，即如何确定集群的最优值对于给定的数据集[27–29］.这些方法能够通过合适的标准来评估最终的聚类结果是否优于另一个，例如，聚类的紧密性和可分离性。因此，它们通常通过定义一个索引，然后找到与每个集群解决方案相关联的最小(或最大)值来工作。

本文的基本思想是提出一种新的模糊聚类方法，目的是放松已知算法的一些约束，并使用一种新的方法来计算最小二乘法。起点是Simpson著名的“模糊最小-最大”聚类算法的思想[30.]:我们提出了一种自由聚类、分区、在线的算法，使用基于模型的聚类，其形状以一种新的方式由凸包计算确定。我们的贡献来自于意识到Simpson的方法非常有效，但它有一个重要的约束，即集群的形状，因为它只创建与数据参考框架的坐标轴平行的超盒。这个约束将通过使用聚类的凸壳计算来消除，为了定义一个与mf相关的度量，必须使用一种原始方法。

在大数据集分析中使用无约束聚类使我们能够在极其紧凑的聚类中对模式进行分类[31,32］.然而，我们将证明，使用模糊逻辑与更灵活的聚类几何相结合，通过计算效率高的程序，就数据的不确定性产生稳健的结果[33–35］.无论如何，本文提出的方法，本质上适用于在线算法和基于模型的凸几何多面体拟合的聚类，也可以推广到更大的算法选择，甚至在层次程序、迭代算法和非凸聚类模型的情况下。

论文组织如下。节2.，我们介绍和讨论了凸包计算的知名技术在模式识别领域的应用，特别是在数据聚类方面;本节将对文献中最相关的作品进行概述3.．本文提出的新模糊聚类算法在部分中详细说明4.，其中凸包的使用是通过简单的玩具测试来演示的。在本节中，为了表示基于所采用的几何模型的模糊聚类，确定mf的方法被清楚地解释了5.，本节介绍了该算法在考虑不同数据集的情况下的性能以及与其他流行的聚类算法的比较6.．最后，本节给出了我们的结论和讨论7.．

2.凸船舶计算和数据群集

在本文中，我们提出了一种新的广义模糊聚类算法，该算法可用于在线和实时应用的数据分析[36］.通过使用看起来更复杂但计算更合理的规则结构，将聚类的形状一般化，并能够更好地拟合数据的局部分布，具有更少的稀疏几何结构，以及使用更灵活和动态的聚类规则。在这方面，我们建议使用凸包来确定不规则凸多面体。

一组点的凸包是包含这些点的最小凸集，如图所示1.用于2D和3D数据集。我们可以表示一套凸壳点称为“顶点”，或者，等价地，由-维度的面称为“facet”。“每个方面的特点如下:(我)顶点的集合;(2)相邻平面的集合;(iii)一个超平面方程。这个-维度面是凸包的“脊”;每个脊是两个相邻面顶点的交点。凸多面体的顶点数与面数的关系不是微不足道的;由于这个原因，凸包确定也被称为“顶点枚举”或“facet枚举”问题。

求解凸包的方法有很多[37–42］.在本文中，我们提出“Quickhull”算法[43，它能够计算二维、三维和更高维度的凸包。Quickhull将二维程序与凸包算法相结合，实现了凸包算法的高效实现-D below - beyond算法[44]确切地说，Quickhull算法使用了一个简化的“下-外”定理来有效地确定给定点集的可见面。

3.相关的工作

在文献中可以找到一些作品，集中在聚类中的凸包的使用。例如，[45，它是一种两级模糊聚类自适应方法，能够扩展或合并“灵活的”凸多面体，利用凸包对聚类建模。给出了几个实验结果显示了该方法的有效性,但有几个缺点,尤其是依赖MF的四个参数,使用训练集初始化聚类算法,和高计算成本模式包含在一个凸集,用纯几何方法计算的

提出了一种基于模糊凸包的智能聚类方法，解决了聚类数目和参数调整问题[46，作者将凸包的概念与模糊参数融合在一起。该算法试图抓住聚类的基本思想，通过定义聚类点周围的边界，提供一个最优聚类集，以便于识别聚类点的重叠。数值结果似乎很有趣，但作者只考虑了一个数据集，因此提出的算法缺乏使用更多数据的其他比较。

三相- 模糊凸壳三角测量方法显示在[47]，它能够检测具有复杂和非凸形形状的簇。作者仅通过使用NYStröm方法与光谱聚类进行比较来显示最佳结果。凸壳仅在标准的第一聚类阶段结束时应用-意味着算法可以确定正确的初始化。

一种称为“NFPC”的新型模式识别方法已被引入，通过识别数据空间中的凸模式子集来训练神经模糊分类器[48］.所进行的测试确保了所提方法相对于其他不同分类器的准确性。虽然严格地说，这不是一种聚类算法，但它使用了凸集初始化，并将模糊性融入到决策曲面中，以进一步提高分类性能。

利用支持向量机(Support Vector Machines, SVM)和一种合并算法，对从聚类中得到的凸聚类进行分组，从而快速可靠地度量两个凸聚类之间的距离[49］.此外，提出了一种新的基于凸包的半监督聚类方法[50]；在学习阶段，使用已知类的模式（本例中的类也表示集群）该方法将初始凸包作为每一类的边界，然后在分类阶段，考虑凸包顶点与模式的最小距离，确定任何模式的类别。

在[51]，作者提出了一种基于动态凸壳的聚类算法，该算法处理顺序出现的数据，并使用包含数据集的凸壳顶点的组合来修改聚类。该算法首先在一些经验数据上进行了评估，然后将其应用于一个复杂系统的监控，以说明其在实时应用中的有效性。

针对早期使用凸包计算的聚类方法，我们提出了一种算法，该算法不仅在聚类结束时使用凸包进行几何数据解释，而且在模糊数据划分时也使用凸包。此外，我们将证明这一过程涉及通过凸包确定模糊集，因此提出了一种合适的方法，将MF与每个凸包形状的聚类关联起来。我们提出了一种全新的方法，利用基于核的隶属函数来建模聚类，其中凸包仅用于点到边界的度量评估。换句话说，得到了一种纯模糊聚类算法，该算法在考虑模式对每个聚类的模糊隶属度的同时，将聚类与数据分布进行拟合。

4.建议的模糊聚类算法

我们在下面通过两个基本方面来说明所提出的方法:对新的聚类算法的说明和一些计算注意事项的讨论。

通常，操纵来自不同源的异构数据的所有算法需要预处理步骤以进行数据归一化。它用于容纳数据空间的每个特征，在0和1之间的范围内，从而可以以绝对参考值管理数据空间中定义的任何度量。

让为数据集的模式数,让为数据特征的数量;也就是说，数据集的每个模式都用-实数元组: 当数据特性具有不同的性质(物理或语义)时，可以逐列规范化模式: 在哪里和为．或者，当存在某些数据同质性时，通常首选仿射归一化: 在哪里和为和．在本例中，我们采用逐列标准化，因为所使用的数据集呈现的模式具有异构特征。

所提出的方法将在以下内容中表示为凸船体（CH）聚类算法。其基本操作总结了图中所示的流程图2.．如前所述，它是一种自由聚类顺序算法，因此群集的数量不是预先固定的，并且在模式呈现过程中可能会改变。

让是在算法运行期间目前识别的群集数量;以下步骤可以总结CH算法的详细操作。(我)考虑第一个模式初始化算法，它被标识为第一个集群。换句话说，第一个集群将与数据集的第一个模式和重合设置为1。(2)算法依次对每个模式进行迭代的数据集。让的MF值数组这个模式相对于群集目前确定;那是， 每个MF都是使用章节中所述的程序获得的5.并考虑表示每个簇的凸包。让是最大的价值得分与通信th集群: 让和是两个参数，将依次讨论;在条件分支中依次计算三个不同的条件，如下所示。(1) :算法识别出没有集群满足该模式的成员标准，因此创建一个与当前模式一致的新集群并且没有执行凸船舶计算;此后．（2） :算法赋值到了第一个聚类得分最大MF;基于前一种情况，我们可以肯定，某些MFs将会比．因此，该算法重新估计了与之相关的凸包它将构成新凸包的点集合存储在一个合适的数组中，该凸包表示该聚类。的价值不会改变。(3） :算法赋值到了得分最大MF的群集。与前面的情况不同，算法不执行凸包，因为它假定是否在边界内th群集因为其MF值较高。此选择意味着在计算成本方面的巨大节约，并避免在可能不需要的情况下计算凸包。此外，这种选择旨在裁定这种情况非常接近1，目前的模式可能属于具有高度成员关系的聚类，可以在聚类顶点内，也可以不在。在这种情况下，算法假设模式具有足够高的隶属度值，因此可以将其分配给聚类，而不需要更新聚类边界。由于这个原因，它还避免了集群可能变得太大，导致整体聚类结果不准确或错误的事实。在这个例子中不会改变。

我们使用一个方法来设置两者的值和提前在分析下的数据集的基础上。因此，该过程可以被认为是集成在所提出的算法内，在这方面没有必要的进一步优化（可以在未来的作品中调查和采用替代方法）。让为数据集沿每一列(一个特征)评估的模式的标准差向量: 以下所采用的值将是

算法输出的示例如图所示3.考虑一个简单的2D数据集由可以同等地分配到的模式聚类。该算法的实际输出由实线表示，实线表示用于构建每个模糊聚类MF的凸包，如前所述。显然，各种聚类之间的图案细分可以用虚线表示，虚线表示每个聚类的纯凸包，但实际上不是c由CH算法计算。事实上，由于前面解释的最后一个条件允许在不更新凸包的情况下将模式分配给簇，我们概述了并非簇的所有点都可用于计算簇的凸包和相关MF的事实。

5.凸壳型聚类的MF评估

当数据集中的簇具有特定的几何形状或更一般的时，当人们想要从特定的几何结构（例如超机，超球和常规多台）脱离时，它是有用的并且适当地依赖更灵活，并且相同时间，计算上经济实惠的MFS [52］.由于集群的实际结构可能是不规则的，MF应该基于模式与集群之间的点到边界距离，而不是基于点到质心的度量。由此产生的MF的形状将以这种方式遵循集群结构的特定形式。

本文采用凸包作为模糊聚类的几何模型。如前所述，每个凸包用一个数字表示对应于属于该群集的某些模式的顶点。每个凸壳都将与MF相关联，其趋势与其边界的模式的距离反向相关;看着图3.对于二维情况，距离是考虑到被包围的多边形凸包顶点之间的直边。为了实现任意维的目标，即对于数据集的任意数量的特征，连续说明的基本思想是使用核函数以凸包的每个顶点和聚类的质心为中心。

考虑到计算成本，凸包评估，特别是Quickhull算法，已被采用复杂性,是具有曲面的凸面外壳的最大面数顶点,为已处理的点数[53］.在具有大量尺寸的数据集的情况下，凸船体方法具有相对高的计算速度;在这种情况下，可以通过使用在多核处理器上实现的并行算法来克服计算成本[54]及图形处理器[55]，这也最大限度地减少了不规则数据的影响。在简单2D的情况下，这种选择可以提高性能[56,57]及3D [58,59]数据集，但也适用于通用的情况维数据(60,61］.最后，凸包的使用显示了良好的灵活性，它将计算性能与良好的空间表示结合在一起，因为与超级盒的体积相比，凸包在空间占用方面通常更紧凑。

在下面，我们用高斯核函数或锥形核函数说明计算凸壳型簇MF的两种可能的程序。

5.1.基于高斯的核

这种方法利用适当数量的单变量(各向同性)高斯核的叠加来将MF与凸包联系起来。让是一个矩阵， 在哪里是数据空间的特征数和吗是代表群集的凸船的顶点数：

让是必须计算其MF到群集的模式。通过使用高斯方法，MF采用表格： 在哪里是星团的质心，是点到质心的平方欧氏距离，平方是否指向Th-顶点欧几里德距离，和是两种模式之间的最大距离。该值不是外部参数，需要初始设置;相反，它取决于功能的数量，根据下面的表达式:

每个高斯核的方差设置为一个固定的值，等于．如图所示4.，价值决定了函数下降的速度，因此它与最终MF的模糊性有关;价值越高即，函数归零的速度越快。

提出的CH算法中，(4.)是通过使用(9)在下文中表示为带有基于高斯核的凸包(CH-GBK)。

5.2。基于锥形的核

该方法利用锥形核函数构造凸包的MF，其表达式如下: 在哪里点到质心的欧几里得距离和是点对,顶点欧氏距离。

提出的CH算法中，(4.)是通过使用(11)将在下文中表示为带有基于圆锥核的凸包(CH-CBK)。

无论是基于高斯的还是基于锥的mf，都可以得到参数定义函数趋近于零的速度:值越大时，函数趋于零的速度越快，如图5.，通过用不同值表示的基于圆锥的MF的图形表示.因此参数决定了相关MF的模糊性。

锥形MFS具有一些相似之处和与高斯人员的一些差异。不同于高斯内核，此方法使用有效达到MF的零值的功能。作为高斯人，锥形方法使用叠加功能:功能放置在凸壳的顶点上，一个位置放在其质心上。后者在这两种情况下都很有用，以分配与群集质心的正确相关性，并填充围绕群集质心周围的凸壳中可能存在的间隙，因为其他功能放置在凸船的顶点上。

我们将对每个顶点采用具有相同方差的各向同性高斯核，对每个顶点采用具有相同半径的超球面(各向同性)截面的锥形核。为此，我们对高斯核和圆锥核进行了一些初步测试，以确定每个MF需要计算更多的参数[62］.这些实验证明了各向同性函数，每个顶点使用预定的宽度，可以获得良好的性能和效率的结果。

本文考虑了两种评估MF的方法，即基于高斯和基于锥的方法，因为它们在效率和准确性上的表现不同。事实上，在[62为了比较这些方法的性能，我们进行了专门的测试。实验结果表明，圆锥法的计算速度比高斯法略快，在实际应用中，圆锥法的计算精度更高。下面的实验结果也证实了这一点。

6.实验结果

通过对多个聚类基准的分析，验证了CH算法的性能。我们提出了一些代表一般行为的实验结果。几个具有不同数量特征和聚类的数据集被考虑:63， Iris，用户知识建模(UKM)和Seed [64］.

尽管像Iris和UKM这样的数据集应该被恰当地用于分类基准测试，但它们通常也被用于聚类。通常，同一类的模式可以分组到一个数据集的几个集群中(即数据空间的不同区域)，或者同一个集群可以包含不同类的模式。以Iris为例，许多聚类算法只能识别两个聚类，因为两个类的模式在所考虑的数据集的输入空间中重叠。

我们将我们的方法与几种具有不同分类特征的聚类算法进行了比较:- 梅尔斯（分区 - 批量酥脆）[65]，FCM（分区 - 批量模糊）[66， Min-Max (partial - sequence -fuzzy)和Clusterdata (hierarchy -batch-crisp)。R2013a)环境。任何聚类算法都依赖于一个或多个影响其整体性能的关键参数。因此，合理的比较不同算法还应考虑bootstrap程序来设置相关参数。例如，集群的数量-平均值和FCM(即，和应使用如本节所述的聚类效度指数来确定1.．以同样的方式，必须在Clusterdata生成的层次结构中选择集群和相关数量。FCM、Min-Max和CH算法需要选择合适的模糊化参数。Min-Max和CH算法采用顺序过程，因此性能应该在模式表示顺序的不同排列上平均(除非根据数据集的特定性质有不同的证明)。类似地，性能应该在不同的质心初始化上平均- eans和fcm。

此外，对于在线算法，最优参数的确定是关键的，不同的操作框架可以考虑如下:(我)培训/调整集用于找到参数的最佳值，可能是使用群集有效过程，然后该算法用于不同测试集的在线群集（希望由与培训/调谐相同的随机过程生成放）。(2)首先使用同一个数据集来寻找最佳参数，然后使用这些参数对其进行聚类。在这种情况下，在线算法被插入到一个完全批量的迭代过程中；因此，只有通过更精确的性能或更快的迭代聚类alg计算时间才能证明其使用是合理的算法。(iii)通过依赖于一些先验的假设，预先修复参数;连续算法用于纯在线群集。在这种情况下，可以自适应地调整参数的值，例如，如果特定应用需要通过时期的数据分析，或者是由于初始猜测导致的大数据问题略微影响整体聚类性能。

在下面的文章中，我们将根据已知基准的模式分配来考虑错误率的度量。准确地说，这些数值测试的重点是CH算法与上述聚类算法相比获得的误差数量。聚类效度程序的研究超出了本文的研究范围;因此，为了有一个广泛的背景来分析和考虑不同性质的算法，在下面，我们将假设这些算法的所有参数都是通过一个合适的程序理想地获得的，以生成正确的聚类数量。事实上，尽管聚类是一个无监督学习问题，但我们使用一些参考数据集进行基准测试，因此我们知道正确的聚类数量和每个模式的真实标签。

因此，值是适当的预先确定的意思和价值一样对于FCM，在这种情况下使用默认模糊化参数因其著名的MF。此外，由于这些算法的结果依赖于一个质心初始化，我们将把超过100个不同初始化的平均值作为整体结果。对于聚类数据算法，我们在生成的层次结构中选择包含正确数量的聚类的解决方案。

例如，参数控制原始SIMPSON算法中MFS的模糊性，并且还需要进行阈值来比较MF值并控制超孔扩展过程。对于MIN-MAX和CH算法，我们随机更改模式的演示顺序100次;对于每次分类，我们考虑的价值这会产生正确数量的簇，然后我们将整个结果作为整个过程的平均值不同的分类。对于Min-Max，也是最大尺寸超级箱被认为是[67，这是另一个关键参数:它在范围内(对于模式的每次排序)是不同的来与步骤，以获得两者的最佳选择和．

模式分配的平均误差率方面的结果是表中未正确分配给右侧集群的数据集的基数的模式的百分比，如表所示1.．对于每个数据集，CH-GBK和CH-CBK方法都能达到与FCM算法相当的性能，甚至优于FCM算法-means, Min-Max和Clusterdata算法。我们的话,同样的性能是获得对FCM虽然CH是一个在线free-clustering速度比迭代FCM算法,因为它分析的数据只有一次,它不受初始化猜的重心,同时强大的模式表示顺序。

另一个结果如表所示2.，表示后得到的最小(如最佳)错误率(%)对于上述四个数据集中的每一个，我们分别介绍了不同的算法运行。我们概述了CH-GKB和CH-CKB算法都能够在模式分配方面获得最佳性能的事实。

正如本文所讨论的，每个算法的性能都依赖于至少一个初始化参数。还进行了一个更有趣的测试，以比较所提出的方法与流行的Min-Max算法的性能，如前所述，Min-Max算法也是在线/顺序算法，它也取决于模式表示的顺序。在表3.我们报告了CH-GKB, CH-CKB和Min-Max算法运行后得到的结果运行和计数算法能够获得每个数据排序的最小错误率的次数。CH-GKB和CH-CKB实现最佳性能的印数,他们能够获得的最小错误率(我们的话每一列的总和可能超过100%,因为CH和Min-Max可以获得相同的错误率,最好是相同的对于一个给定的运行结果)。

7.结论

在本文中，我们提出了一种新的模糊聚类算法，两种不同的变化都基于一个新的度量来计算代表聚类的模糊集的MF。该算法旨在尽可能地消除聚类结果对使用简单和预定的聚类几何模型的依赖。我们通过计算一个合适的表示聚类的凸包来解决这个问题。我们还减少了对关键阈值和参数的依赖，这通常会导致错误的集群数量计算和错误的数据分区。

实验结果表明，本文提出的CH聚类算法能够达到与其他知名聚类算法相当的性能，并引入了一些令人满意的特征，这是由于采用了控制计算复杂度的顺序自由聚类方法。唯一需要优化的关键参数是模糊性通过的MFS。实验测试证实，我们的算法在广泛的范围内非常稳定，考虑任何启发式程序，以找到该参数的最优值。

在未来，CH算法也可以用于迭代和层次聚类过程，并可以通过使用合适的技术将聚类的形状推广到非凸结构。事实上,MF的建议的方法计算可以应用独立的凸包的使用,例如,考虑凹多面体的顶点集家庭,这可能是更适合适合半圆,曲线,和其他不规则结构,尽管他们可能只出现在特殊的数据集。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

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