基于遗传算法和模糊聚类的短多元模糊时间序列新方法

抽象的

预测活动在日常生活中发挥着重要作用。近年来，制定了模糊时间序列（FTS）方法来处理预测问题。FTS吸引了研究人员，因为它能够预测在大多数标准预测模型的一些关键情况下未来的价值观，其中大多数标准预测模型是可疑的或产生坏配件。但是，FTS中的一些关键问题仍然是开放的;这些问题通常是主观的，并影响预测的准确性。在本文中，我们专注于提高FTS预测方法的准确性。新方法将模糊聚类和遗传算法与FTS集成，以降低主观性，提高其准确性。在新方法中，遗传算法负责选择适当的模型。此外，模糊聚类算法负责将其成员度为每个群集模拟历史数据，并使用这些成员资格来Defuzzzify结果。与其他现存研究相比，该方法提供了更好的预测精度。

1.导言

时间序列在我们生活的许多方面都被广泛观察到;因此，根据过去和现在的信息预测未来的价值是非常有用的。在实践中，有几个新兴的领域需要处理短的多元时间序列。因此，这种时间序列的预测在许多情况下出现。在用多元时间序列数据进行预测时，有许多已被证实的现有技术，但它们限制了最小观测数，并要求对观测到的时间序列作出分布假设。

模糊时间序列(FTS)模型近年来越来越受欢迎，因为它们能够处理时间序列数据，而不需要验证任何理论假设。然而，如何选择合适的模型，如何客观地划分话语域和确定有效区间长度，对数值数据进行模糊化，以及如何对结果进行去模糊化，仍然是悬而未决的关键问题。这些问题都是影响模型精度的重要问题。本文对FTS建模中的这三个问题进行了探讨。该方法将模糊聚类和遗传算法与FTS相结合，降低了算法的主观性，提高了算法的准确性。更具体地说，新方法使用整数遗传算法来寻找最优的模型，适合可用的数据。(在本文中，我们使用MI-LXPM算法来解决整数优化问题。MI-LXPM算法是对实编码遗传算法LXPM进行适当改进和扩展的版本。在MI-LXPM中，对整型决策变量的竞赛选择程序、拉普拉斯交叉和功率变异进行了改进和推广。此外，MI-LXPM算法采用了满足决策变量整数约束的特殊截断方法和约束处理的“无参数”惩罚方法。有关这些操作符的详细资料，请参阅[1]此外，模糊聚类被用来客观地划分话语的范围。此外，该方法使用聚类中心和观测值的模糊隶属度来解模糊结果，而不是现有许多模型中使用的每个区间的中心。实证结果表明，与现有模型相比，新模型具有较高的预测精度。

在模糊时间序列的研究中，以前采用的是遗传算法。例如，陈和钟[2[利用遗传算法调整话语宇宙中每个音程的长度为一个因素(变量)，Lee等[3.利用遗传算法来调整宇宙中每个间隔的长度为话语的两个因素，康[4]采用遗传算法获得最优模糊隶属度函数，而EGROGLU[5]使用遗传算法寻找模糊关系矩阵的元素。

许多作者在模糊化过程中应用了模糊聚类。例如，Cheng等人。［6]，李等人[7], Egrioglu [5]和yolcu [8]采用模糊c均值对时间序列进行模糊化。Lie等人和Egrioglu将他们的方法应用于单变量时间序列，Cheng等人将他们的方法应用于单变量和多变量时间序列。

本文的其余部分组织如下。部分2简要介绍FTS及其型号的概念。部分3.介绍新的FTS方法；首先介绍方法概述。然后介绍新FTS预测模型的每个步骤的详细信息。第节4通过一个实例，将该方法的预测结果与其他相关FTS方法的预测结果进行比较，对该方法进行了评价5总结了主要结论。

2.模糊时间序列及其型号的基本概念

模糊集理论提供了一种强大的框架，以应对模糊或暧昧的问题，并可以表达语言价值观和自然语言的人类主观判断。1993年，歌曲和chissom [9，10.]成功地应用了Zadeh提出的模糊集概念[11.]以及Mamdani提出的模糊逻辑在近似推理中的应用[12.建立FTS预测的基础。最初，FTS被提出用于处理历史数据是语言值的预测问题。但与传统的时间序列模型相比，FTS模型在处理定量时间序列数据时的理论假设有限，甚至不需要任何假设，因此近年来越来越受欢迎。传统时间序列与FTS的主要区别在于观测值。在传统的时间序列中，观测值用清晰的数值表示。然而，在FTS中，观测值是由模糊集表示的。FTS的基本定义如下[10.］.

让 :所有实值的集合 :话语的宇宙，， :模糊时间序列，， :模糊集,， ：模糊关系和．

FTS。让，是，成为一个模糊套装的话语宇宙，定义和是收藏，．然后被称为FTS，．

可以理解为一个语言变量和作为可能的语言值．因为在不同的时间，值可以不同，是时间的函数．此外，由于话语的宇宙在不同时间可以不同，用于当时的话语世界．

的 阶模型．假设是由， 和同时进行。这种关系可以表示为以下模糊关系方程:  哪里是笛卡尔的产品和定义为和，， 和．然后 （1)被称为顺序模型．什么时候，模型称为一阶模型。

尽管自Song和Chissom引入该课题以来发展了大量的FTS方法[9，10.，16.]，其中大部分的主要步骤与第一种方法相似[9]，可以概括如下：（1）定义和划分话语空间，定义模糊集和模糊时间序列，（2）建立模糊逻辑规则,，（3）将模糊逻辑规则分组，（4）计算预测模糊集，（5）对预测结果进行去模糊化。

FTS的大部分工作都是使用一个变量来建立模糊时间序列模型，即单变量模型。近年来，FTS模型在预测过程中采用了多变量来处理更复杂的预测问题，即多元模型[17.，18.］.值得注意的是，在大多数FTS文献中，术语“多变量”仅限于预测一个感兴趣的变量，在预测过程中考虑到可能对其产生影响的多个变量。为了预测一些或所有的其他变量，同样的过程必须为每个变量单独重复。在本文中，我们采用相同的理解来处理多元模糊时间序列数据。

3.新方法

在本节中，我们介绍了模糊时间序列的新预测方法。部分3.1提供新方法的概述。部分3.2呈现符号和定义。最后，在一节中给出了新方法的详细描述3.3．

３．１．方法概述

数字1在以下步骤中总结新方法的结构。 设置模型参数的上限和下限，交叉概率（)和变异概率(）.还设置停止标准（算法停止，如果在几代人的最佳健身功能值中的加权平均相对变化小于或等于容差（TOLFUN）或达到预先确定的最大几代数[19.]），最大数量，和健身功能公差（Tolfun）。 通过GA的语言，该方法开始创建随机初始染色体群。每种染色体都表明一个可能的模型，并且由等于模型参数的基因数量和指定该模型的值组成。 对初始(老)种群应用竞赛选择程序进行交配池[1］. 应用FTS程序在配合池中对每个染色体进行，可以如下简介该程序。(一)模糊化：应用模糊聚类，根据特定的聚类数（如染色体上指定的）对每个时间序列进行划分，对每个变量的聚类中心进行排序，然后对历史数据进行模糊化。（ii）建立模糊规则：除了将每个数据点的隶属度分配给每个群集之外，根据特定顺序和变量数（如染色体中指定的变量数（如染色体中指定）构建模糊关系。（iii）去模糊化：使用隶属度和聚类中心对预测结果进行去模糊化。（iv）计算惩罚功能，包括一个术语以获得不可行性。如果成员（染色体）是可行的，则罚球功能将是健身功能;否则，它将是人口中可行成员之间的最大健身功能，以及约束违规的总和（不可行）的点。 将拉普拉斯交叉和电源变异应用于交配池中的所有个人，和来制造新的种群。 用后代替换当前群体以形成下一代。 检查停止标准。如果满意停止;否则去［19.］.

在新方法概述之后，我们将更详细地通过该方法。

3.2.符号和定义

假设我们有时间序列(或变量)；为了不失一般性，假设第一个时间序列是我们想要预测的主要时间序列和其余的时间序列，即，，，是辅助时间序列。

在整个新方法的制定过程中使用了下列表示法和定义:表示变量的（时间序列）编号；哪里为变量的总数。为时间点数;哪里是时间点的总数。表示变量的实际值当时；；．；表示变量的预测值当时；；．；．—簇数;哪里是集群的总数。

一般来说，簇的数量从1到．然而，在新方法中，低于3的簇数被认为太小，高于3的簇数被认为太小被认为太大了。如果群集的数量太小，FTS将没有波动。另一方面，如果集群的数量太大，则FTS的含义将减少，它会产生计算复杂性[20.，尽管较高的间隔数可能有助于达到更好的预测精度。

在我们假设的新方法中取值范围从3到；也就是说, 表示模型顺序，表示我们用于预测当前时间的前几个时间点。它的值范围为1到(）.通常，模型顺序的下限和上限是可选的。但是，在文献中常见的是，在模型顺序在1和5之间取值。在新方法中，我们认为模型顺序的上限是（）.也就是说, ；：指示器变量，每个值都占用值0或1表示模型中辅助变量的缺席或存在;也就是说,

3．3.新方法的描述

在本节中，新方法的每个步骤进一步说明并详细说明如下。

步骤1(初始化)。第一步是创建一个可能模型或染色体的初始种群。对于每个模型，有三个主要因素值得关注:（1）将用于模糊历史数据的群集或模糊集的数量;（2）模型的顺序，无论是第一阶还是高阶;（3）所选辅助变量输入预测模型。

这些因素被认为是模型的参数，因此GA创建的每个染色体代表一个可能的模型。因此，每个染色体中的基因的数量设定为等于辅助变量的数量（[也就是说，也就是说，每条染色体包括（)基因图2图示了模型参数作为染色体。

染色体的总体通常是随机选择的。没有确定人口数量的硬性规则。通常，大小定义在20到100之间。大量的人口保证了更大的多样性，并可能产生更健壮的解决方案。随后，通过锦标赛选择程序，初始种群被用来组成交配池[19.];有关详情，请参阅[1］.

步骤2。对交配池中的每个染色体应用模糊时间序列程序，如下所示。

（1）每次序列，在手中的可能模型中，使用模糊C-milite划分聚类（有关模糊c-均值的更多详细信息，请参见[21.]）。当应用模糊C均值算法时，每个时间序列的集群中心表示，， 和，迭代计算。确定集群中心后，每个时间点相对于这些中心的隶属度，表示为，，， 和计算。然后，将每个变量的聚类按其中心值进行递增排序，并将这些排序作为语言值(模糊集)。，， 和这样和．

（2） 通过用等效语言值替换每个值来模糊化每个时间序列，以获得FTS，即将每个模糊值映射到其隶属度最大的模糊集。

（3）鉴于模型顺序以及指标变量的，则建立模糊规则为: 在哪里FTS的价值是多少当时，， 和主变量在时刻的隶属度行向量到集群;．

例如，假设我们有两个模糊时间序列（主要变量）和（辅助变量）聚集和模糊成四个模糊套（即，)，并假定模型的阶为2(即，）.让主变量的当前状态是和，让它的下一个状态，让隶属度的下一个状态向量到四个模糊集（即，）等于．

类似地，让当前状态的辅助变量是和．那么，在这些假设下，规则可以归纳为:

现在向前移动一个时间点，让变得和，让下一个状态为，并设其隶属度向量等于．以及辅助变量让，．然后，可以说明相应的规则

值得注意的是，对于上述两条规则，右侧的成员程度矢量是主要变量的下一个州行向量的成员资格;也就是说，它与在规则的左侧的所有当前状态的成员资格的向量没有关系，他们是否属于主变量或辅助变量。

对所有左侧相同的模糊逻辑规则进行分组。如果这一分组过程导致任何具有多个关系的组，则计算该组中所有相关成员向量的平均向量。生成的组将用；，哪里是至少一个关系的组总数。平均会员向量：和在哪里是至少两个关系的团体总数。

例如，假设我们有以下3条规则归因于3个不同的时间点:

这些规则具有相似的左侧侧面（当前状态的相同模糊类），但是3个下一个州（不同右手边）的成员度数的不同载体。因此，通过计算会员度的平均矢量，我们得到以下代表该组的最终规则：

计算每个时间点的预测输出，即预测，，我们必须匹配当前的时间状态随着分组的构造模糊规则的左侧。可能会面临三种可能性。 如果当前状态存在于其中一个组中，例如，然后是当年的预测产量， 那是，，计算为 在哪里是主要变量的集群中心的行矢量。 如果在当前状态的分组构造的模糊规则中没有与相同的左侧的模糊关系也就是说，如果时间序列中的一个或多个点缺失了，或者对于时间序列中未来的第一个时间点，那么我们尝试逐步降低模型的顺序，以达到相同的左侧;然后我们应用案例． 如果分组构造的模糊逻辑规则中不存在当前状态为，然后是时间点的预测输出会以集群为中心吗．

计算在指定模型下反映主变量预测精度的适应度值。从理论上讲，寻找合适的模型 最小化某种溶液误差; 最大限度地分离主变量的簇中心。

因此，该方法提出了一个由两个度量组成的适应度函数来比较可能的模型性能或预测精度:用于测量解误差的对称平均绝对百分比误差(sMAPE)和用于测量聚类分离的最小绝对距离。

sMAPE的定义如下[22.]: 在哪里是在时间点的实际值吗，是时间点的预测值， 和是计算中使用的时间点数。上述公式提供了0％和200％的结果，这被认为是该措施的优势。Smape的值越接近，预测精度越好。

由于sMAPE具有独立的尺度，且受极值的影响较小，因此它作为求解误差的测量方法在FTS文献中广为人知。它还纠正了百分比误差的计算不对称[22.］.因此，新方法中的适应度函数主要依赖于sMAPE作为解误差的度量;为了提高结果的准确性，必须将sMAPE最小化。

选择集群中心之间的最小绝对距离以测量簇之间的重叠。最小绝对距离可以定义如下： 在哪里和是主变量的任意两个簇。按惯例,，可以采取任何正价值。

现在，我们有一个两个客观的优化问题。由于模型的参数只需要整数值，因此找不到可以求解多目标整数遗传算法的软件。为了克服这种缺陷，目标的加权和方法[23.]此方法是最简单的方法，可能是使用最广泛的方法。

加权和方法[23.]通过将每个目标乘以用户提供的权重，将一组目标标度化为单个目标。这里出现了一个关键问题：必须使用什么样的权重值？答案取决于每个目标的重要性及其规模。

第一目标（Smape）的比例范围为0至2，而第二个目标可以采取任何非负值。为了保证两个目标具有相同的规模，我们重新定义了第二个目标，如下所示： 等式（9)被认为是两个簇中心之间的绝对比例距离和相对于他们的平均水平。

因此，整体健身功能可以被定义为两个目标的线性组合（7)和(9） 如下： 在哪里为权重(进行模拟研究以确定两个目标的合适权重。仿真结果表明，该权值最优是0.9因为它给出了较低的Smape）并且它在0到1之间取得任何任意值。 是群集中心之间的最短距离。

中的公式(10.）被认为是预测准确性与聚类结果的合理性之间的权衡。

步骤3（交配池中所有染色体的选择和突变）。为了产生下一代的染色体，遗传算法为下一代创建三种类型的儿童：(一)精英子女的选择，精英子女是当前这一代个体中最具健康价值的个体。这些个体自动存活到下一代。（ii）交叉的孩子，由一对父母的向量组合而成。（iii）突变子，通过向单亲引入随机变化或突变而产生。

第四步。用后代替换当前群体以形成下一代。

第5步。如果不满足最终条件，请转至步骤2．否则，停止并保留当前人口中的最佳解决方案。

4.实验结果

在本节中，我们考虑两个示例，一个用于多变量时间序列，另一个用于单变量的情况。从新方法引起的预测与其他研究人员在文献中报告的众所周知的结果进行了比较。通过平均绝对百分比误差（MAPE）和均方误差（MSE）进行比较预测精度。假设时间点的实际值是，时间点预测值是，是计算中使用的时间点总数;然后，MAPE和MSE分别由以下等式计算：

4．1.多变量的情况下

桌子1显示了从1974年到2004年比利时每年的车祸伤亡总数[13.］.在这里，主时间序列是杀害人员的数量，辅助时间序列是致命的伤害和死亡，在30天内，严重伤员和轻型伤亡。

为了实现新方法，在MATLAB包中的混合整数遗传算法模块在略微修改后，使用FTS问题的性质。使用专门开发的MATLAB代码执行新方法的解决方案步骤。

在Figure语言中，通过新方法选择出的最佳模型2，由染色体（6）表示3.0001).这意味着发现的最佳模型是三阶(第二基因)和一个辅助变量(最后一个基因);即轻伤亡和若干模糊集等于6(第一个基因)。将其他三个辅助变量从拟合模型中剔除，因为它们对应的指标变量在染色体中取值为0。用新方法得到的实际值和预测值的趋势如图所示3.．

如表所示2，新方法的MSE和MAPE值最小，分别为445和1.28;也就是说，新方法优于Jilani和Burney模型[14.和Egrioglu等人的模型[13.]在均方误差和平均预测误差率方面优于文献中的其他现有方法。

4.2。单变量的案件

新方法应用于FTS文献中著名的入学数据（表1）3.）.根据新方法的结果，最优模型为(5这意味着找到的最佳模型是5阶的，并且模糊集的数量等于5。应该注意的是，在单变量时间序列中，染色体基因减少到两个，因为在这种情况下我们没有辅助变量。用新方法得到的实际值和预测值的趋势如图所示4．

预测结果的比较是在新方法和另外两个最近公布的结果之间进行的，Kuo等人。方法 [15.]和Egrioglu方法[5］.上述两种方法均考虑了相同的招生数据集，在均方误差和平均预测错误率方面均优于文献中已有的其他方法。从表3.结果表明，新方法的预测精度在MSE和MAPE上均优于上述两种方法。

5.结论

在处理短变量时间序列时，很明显，古典时间序列的假设并不令人满意。本文介绍了一种新的模糊时间序列方法来处理此类案例。新方法利用FTS方法来处理时间序列数据的能力，而无需检查任何各种理论假设。它还与遗传算法集成了模糊聚类，以提高求解多变量高阶FT的预测精度。

在新方法中，模糊聚类算法负责将历史数据基于其成员度为每个群集来模糊数据，然后使用这些成员资格来Defuzzzify结果。此外，遗传算法负责选择适当的模型。该方法适用于比利时年度的年轮事故因果区的时间序列，从1974年到2004年，并向着名的大学注册数据集。它为MSE和MAPE值提供了预测，该MSE和MAPE值小于来自其他现有的模糊时间序列方法获得的MSE。

参考

1. K. Deep，K.P.Singh，M.L.Kansal和C. Mohan，一种用于解决整数和混合整数优化问题的真正编码的遗传算法，“应用数学与计算，卷。212，没有。2，pp。505-518,2009。视图:出版商网站|谷歌学术
2. S.-M.陈和恩。Chung，“使用高阶模糊时间序列和遗传算法预测入学率”国际智能系统杂志第21卷第2期5，页485 - 501,2006。视图:出版商网站|谷歌学术
3. L. -W.Lee，L。 -王和S.-M。陈，“基于模糊逻辑关系和遗传算法的温度预测和泰费菜预测”具有应用的专家系统，卷。33，不。3，pp。539-550,2007。视图:出版商网站|谷歌学术
4. H. I. Kang，“一种使用进化算法的模糊时间序列预测方法”智能计算的进步，第3645卷计算机科学讲义，页530-537,2005。视图:谷歌学术
5. E.Egrioglu，“一种基于遗传算法的新的时不变模糊时间序列预测方法，”模糊系统的进步，第2012卷，文章编号785709，6页，2012年。视图:出版商网站|谷歌学术
6. C.-h.程，G. -W。程，j. -w。王，“基于模糊聚类的多属性模糊时间序列方法”具有应用的专家系统第34卷第3期2, pp. 1235-1242, 2008。视图:出版商网站|谷歌学术
7. 英石。李，Y.-c。程，和S.-Y.林，“基于FCM的模糊时间序列的确定性预测模型”，具有应用的计算机和数学，卷。56，没有。12，pp。3052-3063，2008。视图:出版商网站|谷歌学术
8. U. YOLCU，“伊斯坦布尔股市与高阶多元模糊时间系列预测模型的预测”土耳其模糊系统协会的官方刊，卷。3，不。2，pp。118-135,2012。视图:谷歌学术
9. 问：宋和B. S. Chissom，“预测与模糊时间序列的入学率 - 第一部分”模糊集与系统第54卷第5期1，第1 - 9页，1993。视图:谷歌学术
10. Q.歌曲和B. S. Chissom，“模糊时间序列及其型号”模糊集与系统第54卷第5期3，第269-277页，1993。视图:谷歌学术
11. l.a. Zadeh，《模糊集》信息与控制，第8卷，第3期，第338-353页，1965年。视图:谷歌学术
12. 马达尼，“模糊逻辑在使用语言synpaper进行近似推理中的应用”，计算机上的IEEE交易，卷。C-26，没有。12，pp。1182-1191，1977。视图:谷歌学术
13. E. Egrioglu, C. H. Aladag, U. Yolcu, V. R. Uslu, M. A. Basaran，“一种基于人工神经网络的高阶多元模糊时间序列的新方法”，具有应用的专家系统第36卷第2期7, pp. 10589-10594, 2009。视图:出版商网站|谷歌学术
14. T. A. Jilani和S. M. A. Burney，《多元随机模糊预测模型》，具有应用的专家系统第35期3，第691-700页，2008。视图:出版商网站|谷歌学术
15. 郭怡华、黄世杰、高泰华、林泰麟、李春霖和潘玉玲，“基于模糊时间序列和粒子群优化的入学人数预测改进方法，”具有应用的专家系统第36卷第2期3，pp。6108-6117，2009。视图:出版商网站|谷歌学术
16. 问：宋和B. S. Chissom，“预测与模糊时间序列的入学率 - 第二部分”模糊集与系统第62期1，页1 - 8,1994。视图:谷歌学术
17. 陈世明和黄志荣，“利用模糊时间序列进行温度预测，”IEEE在系统，人和Cyber​​netics上的交易B.，第30卷，第2期2，页263 - 275,2000。视图:出版商网站|谷歌学术
18. t . H.-K。Yu和K.-H。黄荣，“二元模糊时间序列模型对台湾加权指数的预测”，具有应用的专家系统第34卷第3期4，第2945-2952页，2008。视图:出版商网站|谷歌学术
19. M. A.T. Lab，全局优化工具箱用户指南， The Math Works, Natick, Mass, USA, 2011。
20. 黄荣华，“用于预测的模糊时间序列启发式模型”，模糊集与系统，卷。123，没有。3，pp。369-386，2001。视图:出版商网站|谷歌学术
21. J.C.Bezdek，R.Ehrlich和W.Full，“FCM：模糊C-均值聚类算法，”电脑和地球科学，第10卷，第5期。2-3页，191-203,1984。视图:谷歌学术
22. M. Hibon和S. Makridakis，评估准确性(或误差)措施，欧洲工商管理学院，法国枫丹白露，1995年。
23. K. DEB，基于进化算法的多目标优化，约翰瓦里＆儿子，纽约，纽约，美国，2001年。

版权

版权所有©2013 Kamal S. Selim和Gihan A. Elanany。这是分布下的开放式访问文章创意公共归因许可证，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。