在类别的模糊Petri网

文摘

我们介绍的概念模糊Petri网和标记模糊Petri网及其适当的射,导致这样的佩特里网两大类。这些类别的内部结构的某些方面探索,例如,他们的反省/ coreflectiveness和对称的单项封闭结构。

1。介绍

佩特里网是一个著名的并发系统模型(1]。一些作者已经导致了不同的研究类别佩特里网和适当的射2- - - - - -4),相信分类研究提供了一个工具来比较不同的Petri网模型。与此同时,模糊佩特里网也以不同的方式被许多作者研究[5,6]。本文从[的启示3),我们引入了另一个模糊Petri网(尽管我们模型的概念定义的线(2])。加上适当的射,结果在一个类别的模糊Petri网(也标志着模糊Petri网)。这些类别的结构就行类似的研究(2),显示一个类别对称的单项关闭。

2。类别的模糊Petri网

这里使用分类的概念,7可能会提到。我们开始通过收集一些基本的定义。

佩特里网是一个由两部分构成的图,包含两种类型的节点,即地方和转换,弧线从过渡的地方,反之亦然(3]。图形,代表不同的地方圈,由矩形转换,箭头的弧线。我们定义了一个模糊Petri网如下。

定义1。一个模糊Petri网(简而言之,红外系统)是4-tuple,在那里和集,称为过渡的地方集合,分别和,功能,被称为函数。

我们可以解释和上面定义如下。

为(职责。),的品位的地方有关过渡(职责。transition相关的地方)。因此,和描述一种模糊的弧和转换之间的地方。

定义2。一个红外系统射从一个红外系统对红外系统是一对的功能,和这样下面两个图:(1)"持有",它意味着所有和。

备注3。模糊Petri网和fPn-morphisms形成一个类别,指示为红外系统(射身份和这一类的成分是显而易见的猜测)。

定义4。的产品两个红外系统的和是红外系统,在那里和是由 对所有和。

命题5。让两个预测,让两个注射。然后fPn-morphisms。

证明。证明是一个fPn-morphism,我们需要显示以下两个图。(3)因为上面的图和。类似地,可以证明也是一个fPn-morphism。

命题6。该产品红外系统的和分类的产品吗和在红外系统。

证明。让是一个红外系统fPn-morphisms一起。我们表明,存在一个独特的fPn-morphism这样或相当于和。为此,我们选择以下和。让的地图 和。我们表明,图(5)举行,,和,也就是说,,如果和,如果,尽管以及,如果和,如果,尽管。但是,随着fPn-morphisms,上面的不平等,即图(5)。因此,是一个fPn-morphism。同时,的定义和显然,我们有什么和。
证明的独特性,让存在另一个fPn-morphism这样,也就是说,和。然后,我们有,,即和。因此,,证明的独特性。因此,产品分类产品。

定义7。的副产物两个红外系统的和是红外系统,在那里,是由 对所有和。

类似于命题5和6,下面的两个命题也可以证明。

8号提案。让两个预测和两个注射。然后fPn-morphisms。

9号提案。的副产物红外系统的和直言的副产物吗和在红外系统。

定义10。鉴于两个红外系统的和,我们定义两个新的红外系统的和如下(集和,表示的所有功能来):(1) ,在那里被定义为 (2) ,在那里被定义为

命题11。类别红外系统是一个对称的单项关闭类别(与结构(1)和(2),分别给予相关的张量积和hom-object)。

证明。为了方便起见,符号用来表示是红外系统吗。我们给红外系统的草图封闭收获的证明。为此,两个仿函数分别表示,是吗和,任何FPN-morphism地图FPN-morphisms分别,,,这样对所有,,尽管。
事实证明,是一个正确的伴随;添加的相关单位,,为每个,通过,在那里和是如此,,,和,尽管,所有。
建立的普遍性,我们需要生产,对于任何给定的和FPN-morphism,一个独特的FPN-morphism,比如下图通勤。

我们只描述,留下的验证上面的图的交换性和独特性。是由和,这样和,,。

3所示。标志着模糊Petri网

标志着佩特里网是一个佩特里网一起一个函数,调用标记定义设置的自然数的集合的地方(2]。标志在一个特定的地方给的数量令牌在那个特定的地方。在本节中,我们介绍一个概念标志着模糊Petri网,从而一类模糊Petri网。

定义12。一个红外系统和一个函数(称为模糊的标记的),被称为标志着模糊Petri网(简而言之,一个mfPn)和来标示。

在这里,在一个特定的地方可能会是信心的程度,令牌可以驻留在那个地方。

定义13。给定一个mfPn,一个过渡据说开火 (或是启用在),如果,尽管。

在一个mfPn,固定引发一个函数这样,对于,给出了过渡的信心程度可以在标记火。因此,一个过渡在一个标志的mfPn能火的置信度火灾的信心度不超过一个令牌可以驻留在的地方。

后在模糊标记射击,我们得到一个新的模糊标记的,由,尽管。我们说火灾在来收益率 并表示这。同时,那么说吗直接访问从通过过渡。

类似于(8),否定的标志着模糊Petri网模型,分离,并结合模糊命题,也可以。我们通过以下例子说明这些。

例14。考虑以下图示mfPn,使模糊的否定命题的真值。为此,拿一个mfPn和。鉴于模糊命题,最初的标志如此选择,模糊命题的真值和吗。同时,如此选择,(这样的转变火)我们也可以吗是。发射后的过渡在标记的标记是由的真值模糊命题的否定。

15例。类似的例子14mfPn,考虑下面的图示,使分离的两个模糊命题的真值。为此,mfPn,和。给定两个模糊命题,最初的标志如此选择,和是给定的模糊命题的真值和。同时,和如此选择,和(这样的转变火)我们也可以吗是。发射后的过渡在标记的标记是由的真值模糊命题的脱节。

(类似的例子15,一个人可以设计mfPn,给两个模糊命题的真值的结合)。

4所示。类别的模糊Petri网

在本节中,一个类别标记模糊Petri网,灵感来自[2),介绍了。

定义16。mfPn的和,一个函数,据说是-好的,如果,尽管。

评论17。MFPN应表示类别MFPN, mfPn-morphisms是fPn-morphisms这样是-好的。

命题18。让和是两个mfPn和让是一个mfPn-morphism。然后在启用,如果在启用。

证明。作为是一个mfPn-morphism,和,尽管。另外,随着在启用,我们有,尽管,对所有。但,,,,尽管。因此,在启用。

19号提案。让和是两个mfPn和是一个mfPn-morphism。然后是-好的,如果。

证明。从上面的命题,它是明确的。另外,随着是一个mfPn-morphism,,,尽管。因此,对所有,,,。因此,对所有。因此是-好的,。

定义20。的产品两个mfPn的和是mfPn,在那里红外系统的产品吗和和是由 对所有。

命题21。的FPN-morphisms,在命题5MFPN-morphisms从来。

证明。自和,和是-好的,分别对吧。因此MFPN-morphisms。

使用命题5和21,下一个命题是显而易见的。

命题22。产品在mfPn mfPn是分类的产品。

定义23。的副产物两个mfPn的和是mfPn,在那里副产物的红外系统吗和和是由,尽管。

类似于命题21和22,下面的两个命题也可以证明。

命题24。的FPN-morphisms,在命题8MFPN-morphisms从来。

25号决议。mfPn的副产物是mfPn直言副产物。

5。红外系统和MFPN之间的关系

有一个明显的函子,由和。

我们省略了简单验证以下的观察。

命题26。有完整的和忠实的仿函数对象,分别给出了和,在那里0和1分别,0-valued和1-valued常数函数,把射不变。

很容易证明以下。

命题27。的函子(职责。)是伴随(分别地离开了。,right adjoint) to the functor。

因此,我们有以下。

28号提案。类别红外系统同构于一个完整的反射子类别,也完全coreflective子类,MFPN。

6。结论

我们注意到没有说关于对称单项封闭结构的类别MFPN模糊Petri网。一个明显的试图使MFPN对称单项关闭似乎是如下。鉴于mfPn和红外系统的和(cf定义。10)可以mfPn通过各自的模糊标记和,定义为和,尽管,尽管。然而,对于每一个固定mfPn,生成的子,不会是伴随。是为了修复上述情况,可能会重新定义为,所以函子现在,被证明是正确的伴随函子(修改过的)。然而,对称的在这个修改设置现在丢了(这种情况类似于一个在2])。所以可能会有不同的对称单项封闭结构MFPN目前我们一直未能找到。