文摘

一类新的广义模糊集的模糊拓扑空间开放,称为模糊sp——开放集,介绍,他们的属性之间的关系进行了研究,这一新的概念和其他弱形式的模糊集我们讨论了开放。此外,我们引入了模糊sp连续(分别地。、模糊sp——开放)映射和其他形式的sp连续(分别地。、模糊sp——开放)映射,建立各种特征属性。最后,我们研究所有这些映射之间的关系和其他弱形式的模糊连续映射和引入模糊sp连接。相反的例子给出了显示这些集和映射的不一致。

1。介绍

1996年,Dontchev和Przemski, (1]介绍的概念sp——开放集拓扑。在本文中,我们扩展的概念sp——开放集模糊拓扑空间和学习一些概念基于这个新概念。我们进一步研究模糊关系sp——开放集和其他类型的模糊集。我们也引入了模糊的概念sp连续(分别地。、模糊sp——开放)映射,其他更强形式的模糊sp连续(分别地。、模糊sp——开放)映射,并讨论他们的关系与其他弱形式的模糊连续映射。

2。预赛

在这篇文章中,或者简单地我们的意思是一个模糊拓扑空间(fts,矮子)和意味着一个映射从模糊拓扑空间模糊拓扑空间。如果是一个模糊集,是一个模糊单,然后,,,分别表示的社区系统的内部,关闭和补充。

现在,我们回忆的一些基本定义和模糊拓扑。

定义2.1(见[2])。一个模糊单例在是一个模糊集定义为:,因为和否则,。这一点据说支持吗和价值。

定义2.2。一个模糊集在一个X被称为模糊打开(3)(分别地。,模糊preopen [4),模糊——开放(5)如果设置Int cl Int(职责。Int cl,cl Int cl,cl Int)。家庭所有的模糊——开放(分别地。、模糊preopen, fuzzy——开放、模糊半开口)组用(职责。,,)。

定义2.3(见[4])。让是任何模糊集。然后,(我) 被称为preclosure,(2) 被称为pre-Interior。的定义,,,是相似的。

定理2.4。对于任何模糊集在一个以下陈述是真实的:(我) 和(6),(2) (7]。

定理2.5(见[3,4])。任意模糊preopen联盟(分别地。、模糊semiopen) sets is a fuzzy preopen (resp., fuzzy semiopen) set.

定义2.6。一个映射据说是(我)模糊连续(3如果是模糊的——开放的为每个模糊开集在,(2)模糊半连续(3如果模糊半开口设置在吗为每个模糊开集在,(3)模糊连续(5如果是模糊的——开放的为每个模糊开集在。

3所示。模糊SP——开放组

定义3.1。一个模糊子集模糊空间的被称为模糊sp——开放组如果。类的模糊sp——开放集将被表示为。
很明显,。

命题3.2。让模糊sp——开放设置等。然后,是模糊preopen。

使用定理2.5,我们可以很容易地证明下一个推论。

推论3.3。任何模糊sp——开放集是模糊联盟sp-open集。

3.4的话。模糊的交集sp——开放不需要模糊集sp——开放。这是如下例所示。

例3.5。让和,模糊集的定义为 让。很明显,是一个模糊拓扑,通过简单的计算,它遵循和是模糊的sp——开放集。但不是模糊模糊sp——开放。

定理3.6。对于任何一个模糊子集模糊空间X,以下属性是等价的:(我) 是模糊sp-open,(2) 。

证明。 。让是一个模糊sp——开放,。然后,我们有

定义3.7。一个模糊子集模糊空间的被称为模糊sp关闭设置如果。类的模糊sp闭集将被表示为。

定义3.8。让任何模糊集。然后,(我) 是一个模糊被称为模糊sp关闭,(2) 被称为模糊sp室内。通过使用定义3.1,3.7,3.8,我们可以证明以下定理。

定理3.9。让和的模糊集。然后,下面的语句(我) 是模糊sp-closed,(2) ,(3) ,(iv) 是模糊sp-open,(v) ,(vi) ,(七) 。

定理3.10。为一个模糊子集一个模糊的空间,以下语句:(我) ,(2) ,(3) ,(iv) 。

定理3.11。对于任何一个模糊子集模糊空间X,以下语句是等价的:(我) 是模糊sp-closed,(2) 是模糊sp-open,(3) ,(iv) 。

定理3.12。一个模糊集在模糊拓扑空间是模糊sp——开放当且仅当对每个模糊点 ,存在一组模糊sp——开放这样。

证明。如果是一个模糊sp——开放组,那么我们可能需要对于每一个 。
相反,我们有,因此,。这表明是一个模糊sp——开放。

从定义2.2和3.1,上面的”含义图1“说明了不同类型的模糊的关系集。

3.13的话。这些关系的交流不需要是真实的,如以下示例所示。

例3.14。让和,模糊集的定义为 让。很明显,是一个模糊拓扑空间,通过简单的计算,我们可以看到:(我) 是模糊的sp——开放既不模糊——开放集和模糊preopen,(2) 是模糊的sp——开放不是半开口,(3) 是模糊的sp——开放组不模糊。

例3.15。让和模糊集的定义为 让。很明显,是一个模糊拓扑空间,通过简单的计算,它遵循是模糊的——开放设置不模糊sp——开放。

4所示。模糊SP连续映射

定义4.1。一个映射据说是(我)模糊sp连续的如果是模糊的sp——开放的为每个模糊开集在,(2)模糊sp^⋆连续的如果是模糊的sp——开放的对于每一个模糊sp——开放组在,(3)模糊sp^⋆⋆连续的如果模糊开集在吗对于每一个模糊sp——开放组在。

定理4.2。对于一个映射下面的语句是等价的:(我) 是模糊的连续的;(2)对于每一个模糊单例在和每一个开集在这样,存在一组模糊sp——开放这样和;(3)对于每一个模糊单例在和每一个开集在这样,存在一组模糊sp——开放这样和;(iv)每个模糊闭集的逆象模糊sp-closed;(v) 为每一个;(vi) 为每一个。

证明。(我)(2)模糊单例在和每一个开集在这样,存在一个模糊集在这样。自是sp连续的,是模糊的sp——开放,我们有或。
(2)(3)模糊单例在和每一个模糊开集在这样,存在一个模糊sp——开放这样和。所以,我们有和。
(3)(我)让是一个模糊开集让我们把。这表明。自是一个模糊的开集,那么存在一个模糊sp——开放组这样和。这表明。由定理3.12,接下去是模糊的sp——开放的因此是模糊的sp连续。
(我)(iv)让是一个模糊了。这意味着是模糊开集。因此,是模糊的sp——开放的,也就是说,是模糊的sp——开放的。因此,是一个模糊sp关闭设置在。
(iv)(v)让,然后是sp封闭在,也就是说,。
(v)(vi)让,把在,然后这。这给了。
(vi)(我)让,是模糊集和,然后,也就是说, 关闭设置在,所以是sp连续映射。

定义4.3。一个映射据说是(我)模糊sp——开放(模糊sp封闭的)如果是模糊的sp——开放(模糊sp关闭)中设置为每个模糊开(闭模糊)在,(2)模糊sp^⋆——开放(模糊sp^⋆封闭的)如果是模糊的sp——开放(模糊sp关闭)中设置对于每一个模糊——开放(模糊sp关闭)在,(3)模糊sp^⋆⋆——开放(模糊sp^⋆⋆封闭的)如果模糊开放(模糊关闭)在吗对于每一个模糊sp——开放(模糊关闭)在。

4.4的话。如果是模糊的sp连续映射和是模糊的sp连续映射,然后可能不是一个模糊sp连续映射;这可以通过下面的例子。

例4.5。让和和模糊集的定义为, 考虑, ,,在哪里,,和映射和定义为和。很明显,和是模糊的sp连续映射。但不是一个模糊sp连续映射。这是因为和不是模糊的sp——开放组,因此不是模糊的sp连续映射。

定理4.6。如果是模糊的sp连续映射和是模糊连续映射,然后呢是模糊sp-continuous映射。

证明。让是一个模糊集的。然后,。因为是模糊连续这意味着是一个模糊的开集的因此是一个模糊sp——开放的。因此,是一个模糊sp——连续映射。

从定义4.1和4.3,我们可以有上述“暗示人物2”说明了不同类型的模糊关系sp连续(模糊半sp——开放)的映射。

上述“暗示人物3”说明了模糊关系sp连续和不同类型的模糊连续映射。

4.7的话。我们可以看到这些关系不需要真实的交谈,如以下示例所示。

例4.8。让和,模糊集的定义为 考虑,,在哪里,,和映射和定义为和。很明显,:(我) 是一个模糊sp连续映射既不模糊连续映射和模糊半连续映射,(2) 是一个模糊连续映射不模糊sp连续映射,(3) 是一个模糊sp连续映射既不模糊sp^⋆连续映射和模糊sp^⋆⋆连续映射,这是因为是模糊的sp——开放的既不模糊sp——开放也不模糊开放,(iv)如果定义为:,很明显是一个模糊sp——开放映射既不模糊sp^⋆——开放映射和模糊sp^⋆⋆——开放的映射。

定义4.9。一个模糊集在一个据说是模糊连接如果不能被表示为工会隔开的两个模糊集。

现在,我们可以概括模糊连接定义模糊的定义sp连接如下。

定义4.10。一个模糊集在一个据说是模糊的吗sp连接当且仅当不能被表示为两个模糊的结合sp分离集。

定理4.11。让是一个模糊的sp连续满射映射。如果模糊sp连通子集在吗然后,模糊连接在。

证明。假设不连接。然后,存在模糊子集分开和在这样。
自是模糊的sp连续满射映射,和是模糊的sp——开放的和。
很明显,和是模糊的sp分开的。因此,不是模糊的sp连接在,这是一个矛盾! !
因此,模糊连接。