利用质心外缘和模态指数的距离法对模糊数进行排序

摘要

模糊数的排序是模糊环境下决策的一个重要方面。自1965年创立以来，许多作者提出了不同的模糊数排序方法。但是，目前还没有一种方法能对所有情况都给出满意的结果。迄今为止提出的大多数方法都是非歧视性的，违反直觉的。本文提出了一种新的基于质心外缘的模糊数排序方法，用乐观指数来反映决策者的乐观态度，用模态指数来代表决策者的中立性。该方法将正规模糊数、广义梯形模糊数、三角模糊数等各种模糊数与模糊数进行排序，其特殊性在于模糊数是模糊数的特殊情况。

1.介绍

对模糊数字进行排序是一个重要的决策工具。在模糊决策分析中，模糊量被用来描述在现实世界问题建模中的方案的性能。迄今为止，在文献中提出的大多数排名程序不能区分模糊的数量，有些是违反直觉的。由于模糊数是用可能性分布表示的，它们之间可能会有重叠，因此无法对它们进行排序。确实，模糊数经常是偏序的，不能像实数那样进行比较，实数可以是线性序的。为了对模糊量进行排序，通过定义一个从模糊数集合到实数集合的排序函数，将每个模糊量转化为一个实数，并对其进行比较。通常通过将所有的分析减少到一个数字，许多信息就会丢失，因此要尝试最小化这种损失。自1976年Zadeh首次引入模糊集理论以来，已经发展了各种排序程序[1］．对模糊数字进行排序是由Jain首先提出的[2]，将定义不清的数量表示为一个模糊集，以便在模糊情况下进行决策。从那时起，各种研究人员提出了各种模糊量排序的方法。Bortolan和Degani [3.]回顾了其中一些排名方法[2，4- - - - - -14用于对模糊子集进行排序。陈(15给出了模糊数的最大集和最小集排序。杜布瓦与普拉德[16表示一个模糊数的均值。李和李[17]提出了基于模糊事件概率测度的模糊数比较。Delgado等[18提出了一种对模糊数进行排序的方法。Campos和Muñoz [19]提出了一种对模糊数字进行排序的主观方法。金和朴[20.]提出了一种用乐观指数对模糊数进行排序的方法。元(21]提出了评价模糊排序方法的标准。Heilpern [22给出了一个模糊数的期望值。Saade和Schwarzlander [23给出了在实线上排序模糊集的方法。刘和王[24给出了用整数值对模糊数进行排序的方法。Choobineh和Li [25提出了模糊数排序的指标。张及李[26]给出了基于存在性概念的模糊集排序。从那时起，各种研究人员提出了几种方法，包括使用面积补偿的模糊数排序、距离法、最大化和最小化集合、分解原理和带符号的距离[27- - - - - -30.］．Wang和Kerre [31，32]将上述排序程序分为三类。第一类由基于模糊均值和扩散的排序程序组成[6，8- - - - - -11，19，24，25，27]，第二类是基于模糊评分的排序程序[2，5，12，15，20.，33]，而第三类由基于偏好关系的方法组成[4，7，13，18，21，23，34，35，得出与第一类相关的排序程序对于模糊数排序是相对合理的，特别是Adamo提出的排序程序[9，满足模糊量排序的所有合理性质。第二节课中介绍的方法做得不好，方法[21，23，34，35属于第三类是合理的。随后，根据偏好比对模糊数进行排序[36，左右支配[37，模糊距离度量[38，质心点与原点之间的面积[39，偏好权重函数期望[40，符号距离[41，模糊仿真分析方法[42]，一种利用回转半径的面积法[43，距离最小化[44]，基于广义梯形模糊数排序的模糊风险分析[45］．Garcia和Lamata [46]修改了刘、王的索引[24用于对模糊数字进行排序。模糊数排序的发展也可以在[47- - - - - -58］．上述方法大多不能区分模糊数，有些方法不符合人们的直觉，而有些方法不能对模糊数的特殊情况——清晰数进行排序。

本文提出了一种基于圆心的模糊量排序方法。在梯形模糊数中，首先梯形被分成三个部分，其中第一部分、第二部分和第三部分分别是一个三角形、一个矩形和一个三角形。然后计算这三个部分的质心，然后计算这些质心的圆心。最后，定义了模糊数的排序函数，即圆心点与初始点之间的欧氏距离。由于质心是梯形的一个平衡点，所以文献中提出的排序方法大多采用梯形质心作为参考点。但是质心的圆心可以被认为是一个更大的平衡点，因为这一点与所有的质心顶点都是等距离的。此外，该方法还使用乐观指数来反映决策者的乐观态度，并使用情态指数来代表决策者的中立性。

工作组织如下。部分2简要介绍模糊数的基本概念和定义。部分3.提出了一种新的方法。节4用实例说明了该方法对广义模糊数、模糊数图像、甚至清晰数进行排序的优点和效率。节5，通过与Liou、Wang、Yager等方法以及其他无法区分模糊量、不符合人类直觉的方法进行比较，证明了该方法的稳健性。最后，本节给出了工作的结论6．

2.预先素质

定义1(模糊数和隶属函数)。一个模糊数是否支持模糊子集(实数)，具有隶属函数的“正”和“凸” 在哪里是一个常数,A、b、c、d是实数吗，两个严格的单调和连续函数从到闭区间．习惯上把模糊的数字写成．如果,然后是一个标准化的模糊数，否则是广义或非正态模糊数。
如果会员函数是分段线性的吗称为梯形模糊数。给出了梯形模糊数的隶属函数 如果,然后是归一化梯形模糊数和广义的或非正规的梯形模糊数是．形象是由．
作为一个特殊的例子，梯形模糊数简化为三角形模糊数．的价值对应于模式或核心和与支持。如果,然后是归一化三角模糊数吗广义或非正规三角模糊数是否为．
作为和是严格的单调函数和连续函数，它们的逆函数吗和也是连续的和严格单调的。因此和是可积的．

定义2(刘、王等级法)。刘和王[24将模糊数与整数值进行排序。对于定义定义的模糊数1时，整数值定义为在哪里和的左右整数值是分别为,为乐观指数，表示决策者的乐观程度。如果时，总积分值表示悲观决策者的观点，等于左积分值。如果，总积分值表示乐观决策者的观点，等于右积分值，当，总积分值表示中等决策者的视点，等于右侧和左侧积分值的平均值。对于决策者来说，值越大是，乐观的程度越高。

定义3 (Garcia and Lamata’s Ranking Method)。Garcia和Lamata [46]修改了刘、王的索引[24用于对模糊数字进行排序。该方法使用乐观指数来反映决策者的乐观态度，这并不足以区分模糊数，而是还使用了表示决策者中立性的模态指数。对于定义定义的模糊数1，garcia和lamata [46]提出与排名相关的指数作为凸组合,在那里为模糊数核心的面积，它等于的三角形模糊数以及在梯形模糊数的情况下，平台的平均值，是表示中心值相对于极值的重要性的模态指数，是决策者的乐观程度，和在定义中有自己的含义2．

3.该方法

定义4。梯形的质心被认为是梯形的平衡点(图)1）．将梯形分成三个平面图形。这三个平面图形是一个三角形。APB），一个矩形（BPQC)，又是一个三角形(CQD),分别。以这三个平面图的质心的圆心为参考点，定义了广义模糊数的排序。选择此点作为参考点的原因是每个质心点(三角形的APB，的矩形BPQC,和三角形的CQD)是每个独立平面图形的平衡点，这些质心点的圆心与每个顶点(即质心)的距离相等。因此，该点是一个比梯形质心点更好的参考点。
考虑一个广义梯形模糊数＝(图1）．
三个平面图形的质心为，,,分别。直线方程是和不就行了吗．因此,，和都是非共线的，它们形成一个三角形。
我们定义了圆心三角形的顶点，和广义梯形模糊数作为 为三角模糊数的特例,也就是说,质心的圆心为

定义5。对于一个广义梯形模糊数＝，具有质心的外心圆定义为(3.)，则将与排名相关的索引定义为在哪里为乐观指数，表示决策者的乐观程度。如果，我们有一个悲观的决策者的观点，它等于Circenterr的距离y设在。如果，我们有一个乐观的决策者的观点，等于圆心的距离x设在,当，我们有适度的决策者的观点，等于外心距离的平均值y和x轴。值越大时，决策者的乐观程度越高。仅乐观指数不足以区分模糊数，因为它仅使用圆心的极值。因此，我们通过使用一个表示中心价值重要性的模态指数和乐观指数来提升这一点。

定义6。对于一个广义梯形模糊数＝，具有质心的外心圆定义为(3.)，则将与排名相关的索引定义为在哪里模态指数是否代表中心值相对于极值的重要性和和是定义里定义的那个吗5．在这里,代表中心价值的重量和权重是否与极端值相关和．

定义7。对于任何悲观的决策者(、乐观)，或中性()，梯形模糊数的排序函数将所有模糊数的集合映射到实数的集合的定义是什么从定义中定义的质心的圆心到欧几里得距离是多少4和原来的点。
利用上述定义，我们定义模糊数之间的排序如下
让和那么，两个模糊的数字 如果,然后， 如果,然后， 如果在这种情况下，模糊数的判别是不可能的。在这种情况下，我们使用Definition6将模糊数排列为定义5单独是不足以区别对待所有情况的，也就是说，如果,然后,如果然后．

4.例子

示例8。让，,．
然后,，,．
因此,，和．
可以看出，即使使用定义中提出的情态索引，上述排序顺序也没有改变6无论谁是决策者。

示例9。让，．
然后,和．
因此,，，而模糊数是无法用定义来区分的7．
现在，通过定义6，我们有以下几点。(我)对于一个悲观的决定， 作为(2)对于乐观的决策者来说， 作为(3)对于中立的决策者来说， 作为．因此，我们看到这三种情况的排名顺序是相同的。

示例10。让和．
然后,和，和．
因此，，而模糊数是无法用定义来区分的7．
现在，通过定义6我们有以下内容。(我)对于悲观的决策者来说， 作为(2)对于乐观的决策者来说， 作为(3)对于中立的决策者来说， 作为．因此，我们看到这三种情况的排名顺序是相同的。
从例子9和10，我们可以看到．

例11。让，．
然后,和．
因此,和 ．
可以看出，即使使用定义中提出的情态索引，上述排序顺序也没有改变6无论决策者如何。

5.比较研究

示例12。考虑两个模糊数和．
刘、王方法[24，很明显，这两个模糊数对于所有决策者的as是相等的和这在直觉上是不正确的。用我们的方法 可以看出，即使使用定义中提出的情态索引，上述排序顺序也没有改变6从决策者的角度来看。

示例13。考虑四个模糊数字，，，之前由Yager进行了排名[10]， Fortemps和Roubens [27，刘和王[24，陈和卢[37，如表所示1．
从表中可以看出1所有的方法都不能区分模糊数。狙击兵(10]以及Fortemps和Roubens [27方法未能区分模糊数和，而刘、王的方法[24和陈、陆[37不能区分模糊数，和，．
通过我们的方法，我们做到了 可以看出，即使使用定义中提出的情态索引，上述排序顺序也没有改变6从决策者的角度来看。

例14。让和．程(28]提出了一个排序函数，即从质心点到原始点的距离，如朱和曹[39]提出了一个排序函数，即质心点与原点之间的面积。给出了它们的质心公式 这两个质心公式都不能排序酥脆数字，这是从上述公式可以看出的特殊情况，因为它们的质心公式的第一个坐标中的分母为零，因此为其公式未定义酥脆数的正质量．通过我们的方法，我们做到了 因此,和 ．
可以看出，即使使用定义中提出的情态索引，上述排序顺序也没有改变6不考虑决策者的选择。

6.结论

本文提出了一种简单具体的模糊数排序方法。该方法对梯形模糊数和三角模糊数及其图像进行排序。该方法还对作为模糊数的特殊情况的脆数进行排序，而Cheng和Chu的方法不能对脆数进行排序，因为它们的质心公式对脆数没有定义。这种方法使用了一个模态指数，它表示中心值相对于极端值的重要性，旁边是决策者的乐观程度。这种方法不仅计算简单给出令人满意的结果定义明确的问题,但也给一个正确的排名问题,而狙击兵指数,Fortemps Roubens, Liou王,和陈陆指标未能区分模糊数,这方法也同意人类的直觉。

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