用平移不变模糊子集定义的两种新类型环

抽象的

我们使用翻译不变模糊子集戒指确定两种新型的换向环，即，-pres.ples.副环。我们展示了这些戒指的一些结果。这些结果的兴趣是，其中大多数是古典环理论中占领和关联环的相应结果的镜子。

1.介绍

本文假定所有的环都是与单位可交换的。如果是戒指吗那 和表示的Jacobson根，尼尔拉德的的零因子的集合，以及一组单位， 分别。

记得吗，一个环是否可以简化有财产我们有或．而且，一个戒指是关联的满足和对于一些有一个单位这样．助理戒指的班级包含一大类环，如珍贵的环，主要的理想环，Artinian环，常规环，- 稳定范围一个环。这类戒指最初是在Kaplansky [1］.然后Bouvier在一系列论文中研究了可简化环[2-5.］.最近，Anderson和Valdes-Leon对伴生环类进行了更广泛的研究[6.那7.， Spellman等人[8.[安德森等人。[9.］.

下面将给出预化环和伴生环的一些众所周知的性质。

备注1。（1）一个戒指只有，如果才能才能占用；参见Anderson et al. [9.］.
(2)可简化环的同态像不需要关联;参见Spellman等人[8.］.
(3)积分域、类域环(即)和局部环是预简化环的例子;参见Anderson et al. [9.］.
（4）如果和是一个组成的域和环有满射吗,，这不是同构，那么回调P.的只有，如果才能才能占用参见Anderson et al. [9.］.
(5)可简化的正则环是相伴环的例子;参见Anderson et al. [9.］.

代数结构在数学中发挥着突出的作用，在许多领域，理论物理，编码理论和计算机科学等许多领域具有广泛的应用。这为研究人员提供了足够的动机，从而扩展了各种概念和从抽象代数领域到更广泛的模糊设置框架，尽管并非所有导致代数都可以模糊化。Zadeh引入了一组模糊子集的概念[10］.Rosenfeld定义并建立了模糊子群及其重要性质[11］.环的模糊理想由Liu提出[12］.射线引入了翻译不变模糊子集的概念[13］.这个概念为扩展不同代数结构的经典结果提供了广阔的空间。本文的目的是将可简化环和关联环的经典结果推广到模糊环境中。

回想一下，一个模糊的子集一组是一个映射进入封闭的单位间隔．模糊子集被称为翻译不变相对于二进制操作“，以满足下列条件:意味着对于每一个．一个元素和被称为A.环的单位如果存在和这样．如果的平移不变模糊子集是关于两个““和”·“和，那么就很容易证明每个单位都是a-单元。和是-unit当且仅当和是单位。

现在，我们通过使用环的翻译不变模糊子集来定义两种新型的换向环。

定义2。让成为一枚戒指翻译不变模糊子集关于两个““ 和 ”“令人满意和对于每一个．
（1）据说是一个-presimplifiable如果当有财产我们有或是一个-单元。
（2）据说是一个如果当副满足和对于一些暗示有一个-单元这样．

很明显，概念-pres.ples.-相伴环是经典环理论中可简化环和相伴环的推广。

在本文的第二节中，我们将研究-pres.ples.- 分配戒指，我们将表明，大多数人非常接近古典环理论中的占领和关联环。在第三节中，与古典戒指盒不同，我们将展示保护性质的结构-pres.ples.- 振铃映像下的分配环。

备注3。在接下来的两部分中，被认为是翻译不变模糊子集关于两个““ 和 ”“令人满意和对于每一个．

2.-pres.ples.- 分配戒指

本节的目的是研究的一些性质-pres.ples.副环。

接下来，我们给出了表征-presimplififififiable戒指，但首先我们需要说明下面。

定义4。一个元素据说是一个-zero如果．

定义5（Ray和Ali [14])。一个元素和据说是一个- 0的除数如果存在和这样．

下面引理的证明很简单。

引理6。 一组 是一个- 零或是一个零包含该集合．
一组对于一些是一个理想的含．
一组是一个- 每一个是一种理想包含．

定理7。下面的陈述是等价的。（1） 是一个- 售卖戒指。（2） ．

证明。（1）（2）假设R是- 售卖戒指。让然后存在这样和．但对于每一个因为是一个翻译不变。所以，是一个- 但是．
（2）（1）假设这样和．然后．因此或．所以，是一个- 这一点．因此是-presimplifiable。

定义8。（1）一个戒指据说是一个积分域如果没有- 零患者。
（2）一个戒指据说是一个- 象如此．

显然，每一个积分域是- 象征。但是，例如，交谈不一定是如此，有一个模糊子集定义为那 ,是域而不是积分域。

定理9。每一个域环-presimplifiable。

证明。这足以表明．所以让然后对于一些．因此对于每一个因为平移不变。因此是一个-单元。所以．

定义10。一枚戒指据说是一个-local如果每一个和它遵循或是一个-单元。

例11。（1）让和一个模糊的子集定义为如果甚至和如果是奇怪的;然后是——环。
（2）让和一个模糊的子集定义为那 ．然后是——环。

定理12。每一个-local戒指是-presimplifiable。

证明。注意，是不是所有非的集合单位的．

现在，我们考虑-拉回来。

定义13。让那,是用同性恋的任何三个环,，它保留了统一。让 是模糊的子集．如果是的话和令人满意的我们有那个然后一组用模糊子集的P.定义为对于每一个是从属的吗被称为- 返回用这组-单位和是-单位．

定理14。让是A.-presimplifiable,一种-presimplififice，和一个映像的戒指 ．如果是的话和令人满意的我们有那个然后- 返回是-presimplifiable。

证明。让这样和对于一些．然后 , ．但是-pres.ples.是-presimplifiable。因此．

例15。（1）让是一个定义的模糊子集经过和．和是一个定义的模糊子集经过和．让是映像图来．然后是回调的是-presimplifiable。
（2）让为了．让是一个定义的模糊子集经过那 和．如果和,那么回调的是-presimplifiable。

我们通过研究一些属性来结束本节副环。回想一下，一个戒指是- 分配if.它满足和对于一些暗示有一个-单元这样．很明显- 营业戒指是-associate，而我们将看到，反过来不一定是正确的(例如18）。

定义16。一枚戒指据说是一个布尔如果对所有．

显然，每一个布尔环-布尔但反过来不一定是正确的，例如，if是一个模糊的子集定义为如果甚至和如果是奇数，那么戒指呢是布尔但它不是布尔值。

定理17。每一个-Boolean戒指是联系起来。

证明。让这样和对于一些．然后和自的平移不变模糊子集是．所以，．

例18。让和一个模糊的子集定义如下 和．然后是-Boolean，因此它是联系起来。然而,不是- 自我可动化以来和不是一个- 这一点．

定义19。一枚戒指据说是一个如果每一个，可以是一个令人满意的意味着存在一个元素和一个-单元这样．

定理20。每一个-stable范围一个戒指是联系起来。

证明。假设是-stable范围一个和这样和对于一些．然后．所以，存在一个元素和一个-单元的这样．所以，因此是联系起来。

定义21。一枚戒指据说是一个-regular如果有的话有一个-IDEMPOTEN.（IE。，）和A.-单元这样．

定理22。每一个- 戒指是联系起来。

证明。让是二-IDEMPOTENTS和两个单位,和对于一些．然后和．因此和．但和是单位,和．所以，．然后意味着在．因此在．但是一个- in所以，是一个- in．因此对于一些．所以，．因此，是一个- 这一点和．所以结果持有。

3.在同态性下的图像和逆图像

在本节中，我们研究-pres.ples.- 环同性恋下的分配性质。

回想一下,如果是来自环的函数吗成一个圈然后是一个模糊的子集的是- 否认if.意味着对于每一个．雷和阿里[14证明如果那么一个满射是模糊子集的平移不变量吗的意味着一个模糊子集的翻译不变的,在那里对于每一个．同时，给出了平移不变模糊子集的逆图像的的平移不变模糊子集是,在那里对于每一个．

很容易证明以下引理。

引理23。让是一个戒指相思，一个的-不变模糊子集和是一个模糊的子集．（1） 如果并且只有．（2） 是一个- 这一点如果并且只有是一个- 这一点．（3）对于每一个那如果并且只有．（4） 如果并且只有．（5） 是一个- 这一点如果并且只有是一个- 这一点．（6） 如果并且只有．

定理24。让是一个满射和一个的-不变模糊子集．（1） 是-presimplififice，如果只有是-presimplifiable。（2） 是-associate当且仅当是联系起来。

证明。（1）让和是两个非-zero元素这样．然后和因为是一个- 识别。但是-Presimplififice，所以是一个- 但是是一个- 这一点．
相反，让我们和是两个非-zero元素这样．然后和．但是- 这一点因为是-presimplifiable。因此是一个- 这一点．

推论25。让是自然同态和R满足的一个模糊子集对于每一个．（1） 是-presimplififice，如果只有是-presimplifiable。（2） 是-associate当且仅当是联系起来。

证明。注意,如果对于每一个， 然后是一个的-不变模糊子集．

推论26。让是A.-Boolean戒指或者- 孤独域环和自然同态。（1） 是-presimplififice，如果只有是-presimplifiable。（2） 是-associate当且仅当是联系起来。

定理27。让是一个满射和翻译不变模糊子集．（1） 是-presimplififice，如果只有是-presimplifiable。（2） 是-associate当且仅当是联系起来。

证明。(2)假设满足和对于一些．然后和．但是- 分配，所以存在一个-单元令人满意的．因此是一个- 这一点令人满意的．因此是联系起来。

推论28。让是自然同态和翻译不变模糊子集．（1） 是-presimplififice，如果只有是-presimplifiable。（2） 是-associate当且仅当是联系起来。

参考

1. I. Kaplansky，《初等除数和模》美国数学学会的交易1949年，第66卷，第464-491页。查看在：谷歌学者
2. A. Bouvier， " Sur les anneaux de fractions des anneaux atomiques présimplifiables "Bulletin des SciencesMathématiques，卷。95，pp。371-377，1971。查看在：谷歌学者
3. A.布维耶(A. Bouvier)，《Anneaux présimplifiables》(Anneaux présimplifiables)Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Series A-B， vol. 274, pp. A1605-A1607, 1972。查看在：谷歌学者
4. A.Bouvier，“Résultatsnouveaux ur Les AnneauxPrésimplifialbles”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Series A-B，第275卷，A955-A957页，1972年。查看在：谷歌学者
5. A.布维耶(A. Bouvier)，《Anneaux présimplifiables》(Anneaux présimplifiables)Revue Roumaine deMathématiquesPuresetAppliquées，第19卷，第713-724页，1974。查看在：谷歌学者
6. D. D. D. Anderson和S. Valdes-Leon，“归零戒指的分解，零除数”岩石山区数学杂志第26卷第2期2，页439 - 480,1996。查看在：出版商的网站|谷歌学者
7. D. D. D. Anderson和S. Valdes-Leon，“归零戒指的分解，零除数。II，“在整体域中的分解，卷。189年纯数学和应用数学讲义，pp. 197-219，Marcel Dekker，纽约，纽约，美国，1997。查看在：谷歌学者
8. D. Spellman，G. M. Benkart，A.M.Gaglione，W. D. Joyner，M. E.Kidwell，M. D. Meyerson，以及W.P. Wardlaw，“主要理想和圆环”，JP杂志，代数，数字理论和应用，卷。2，不。2，pp。181-193,2002。查看在：谷歌学者
9. D. D. D. Anderson，M.Axtell，S. J. Forman和J. Stickle，“何时关联单位倍数？”岩石山区数学杂志，卷。34，不。3，pp。811-828,2004。查看在：出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
10. l.a. Zadeh，《模糊集》信息和控制，第8卷，第338-353页，1965。查看在：谷歌学者
11. A. Rosenfeld，“模糊群体”，数学分析与应用，卷。35，pp。512-517，1971。查看在：谷歌学者
12. 刘文杰，“模糊不变子群与模糊理想”，模糊套装和系统，卷。8，不。2，pp。133-139,1982。查看在：出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt Math.
13. a . K. Ray，《由子群和模糊子集生成的群的商群》，模糊数学杂志，第7卷，第5期2，第459-463页，1999。查看在：谷歌学者
14. A. K. ray和T. Ali，“戒指中的理想和可分配性相对于模糊子集，”诺维萨德数学杂志，第32卷，第2期2，页67-75,2002。查看在：谷歌学者

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