相对光滑的拓扑空间

文摘

1992年,斋月的概念引入平滑拓扑空间和光滑的拓扑空间之间的亲戚关系和模糊拓扑空间Chang(1968)的观点。在本文中,我们给出一个新的光滑的拓扑空间的定义。这个定义可以看作一种泛化的光滑的拓扑空间是由斋月。等一般性质相对平滑的连续性和相对平滑的密实度进行了研究。

1。介绍

让是一个非空的设置,让有两个格子的副本或。家庭的模糊集将用德(1]。

考虑的自然观察者可以由操作员建模评估每个命题闭区间的一个数字看到Anvari Molaei [2]和Molaei [3]。我们假设作为一个函数来是一个观察者在晶格和表示在哪里意味着对所有。

定义1.1。让。一个相对平稳的拓扑空间光滑的拓扑空间或STS简称是三倍,在那里是一个映射满足以下属性:(我) ,在那里是特征函数;(2)如果,,然后,在那里是最小的运营商;(3) 。我们称之为一个平滑的拓扑的观点或者一个光滑的拓扑或模糊的家庭打开设置。

1.2的话。如果然后STS伴随着光滑的拓扑空间定义的斋月(4),如果我们看和然后STS认识模糊拓扑空间的定义是一致的常定义为(5]。如果,然后是一个经典拓扑。

定义1.3。让。一个光滑cotopological空间是三,在那里是一个映射满足以下属性:(我) ;(2)如果,,然后;(3) 。我们称之为一个光滑co-topology或模糊的家庭关闭集。

定理1.4。让是一个STS和是一个映射定义的,在那里。然后是一个模糊的家庭闭集。

证明。(我)它是明确的。(2)它来自 所以,(3)它来自 所以,

定理1.5。让是一个模糊的家庭闭集和定义通过。然后是一个STS在。

证明。证明类似于前面的定理。

推论1.6。让是一个STS和一个模糊的家庭闭集。然后和。

证明。假设然后我们有和

例1.7。让所有可微的实值函数的集合用积极的导数秩序,让一个实值函数上定义的集合。让被定义为在哪里指数函数。为非负整数定义通过 如果我们把和定义通过 为然后是一个STS。自在哪里和每当倾向于,所以 和我们发现

定义1.8。让和是两个光滑的拓扑空间上。我们说更好的比或粗比和用如果对于每一个。

定理1.9。让是一个家族的STS在。然后也STS在,在那里

证明。(我)它是明确的。(2)对于每一个, (3)为,

让是的一个子集和。的限制在用。

定理1.10。让是一个STS和。定义了一个映射通过。然后是一个STS在。

证明。(我)很明显,。(2) 。 (3) 所以

定义1.11。的STS被称为子空间的和被称为诱导STS在从。

定理1.12。让是一个光滑的子空间和。然后(一) (b)如果,然后

证明。(一)我们有 (b)我们有

2。相对光滑连续的地图

连续性的概念已经被研究了,斋月(4,5),但在这里我们将学习这一概念从不同的观点。

定义2.1。让是一个线性向量格的同构(或订单时保持一对一的映射和是副本), STS和STS,分别。一个函数被称为平滑模糊连续的如果对所有,在那里对所有。被称为逆的形象相对于。

2.2的话。当和然后,RST伴随着模糊拓扑空间常定义为(5- - - - - -7]。

定理2.3。让和是模糊连续,是恒等函数。然后在张的观点是连续的。

证明。在备注2.2我们认为和模糊拓扑空间。现在我们是光滑的开集拓扑。然后 所以是一个模糊的连续函数。

定理2.4。让在哪里和是副本和一个模糊的连续函数,。然后对每一个封闭的模糊集是一个封闭的模糊集。

证明。让是闭集。是一个开集和 因此 所以是一个封闭的模糊集。

定理2.5。让是相对平滑的拓扑空间。如果和是相对平滑连续的地图和那么。

证明。使用相对平滑的连续性和由此可见, 因为每一个

定理2.6。让和是两个相对光滑的拓扑空间,一个相对光滑的连续映射,和。然后也是相对光滑连续。

证明。为每一个

3所示。相对平稳的表示拓扑

现在我们研究的代表性相对光滑的拓扑。

让是一个STS,。然后我们定义

定理3.1。让是一个STS。然后对每一个是一个相对的拓扑空间。此外意味着

证明。很明显,。当,我们有 所以 这意味着当为每一个我们有 因此所以是一个相对拓扑。
第二部分是简单的验证,因为,,所以。

定理3.2。让是一个家族的模糊拓扑这样意味着。让是模糊集由然后是一个光滑的拓扑。

证明。(一) 的定义。(b)对于每一个和如果然后。因此 意味着 (c)如果每个然后。自 然后

为作为一个相对模糊集,我们可以状态表示定理。

定理3.3。让是一个相对光滑的拓扑和的切的。家庭的相对模糊拓扑一个建。然后。

证明。从先前的结果证明是微不足道的,众所周知的事实

定义3.4。让常是一个模糊拓扑。然后一个光滑的拓扑在据说是兼容吗如果。

例3.5。让是一个非空的并集是一个映射定义的对于每一个。

很明显,是唯一相对平滑的拓扑兼容Chang的一体的模糊拓扑。

例3.6。让是一个非空的设置和定义了一个映射通过对于每一个。

很明显,是一个光滑的拓扑结构上兼容Chang的离散模糊拓扑。

4所示。相对光滑的密实度

定义4.1。让是一个STS。被称为相对的封面吗,如果特别是,被称为覆盖如果是一个封面被称为开放的封面,如果是一个家庭的开放和是一个封面。

因为封面的被称为subcover的,如果和仍然是一个封面吗。

定义4.2。让是一个STS。对于每一个,一个家庭被称为一个封面,如果对每一个;被称为开放如果封面是一个家庭的打开设置,是一个封面;被称为子-的封面如果和是一个封面。

定义4.3。让。一个STS被称为如果每一个紧凑开放封面有一个有限的子任务封面。

定理4.4。让是一个到光滑的连续映射和。如果是那么紧凑。

证明。让是一个开放的封面。现在考虑家庭,因为是光滑连续,我们有 由此可见,是一个开放的封面。自是紧凑的存在一个有限的子集的这样是一个开放的封面。自上,那么是一个开放的封面总结了证据。