一类随机混沌系统的lyapunov控制器

摘要

针对一类知名的随机混沌系统，提出了一种基于李雅普诺夫直接法的一般控制律。由于真实的混沌系统具有非期望的类随机行为，并且环境噪声也会使其恶化，因此混沌系统的建模方法是用Wiener过程导数得到的白噪声激励一个确定性混沌系统，最终生成Ito微分方程。所提出的控制器不仅能使系统在均方意义上对系统的非期望特性进行渐近稳定，而且具有良好的暂态响应。仿真结果表明了所提出的控制器在优于随机混沌系统方面的有效性和可行性。

1.介绍

近二十年来，由于实际系统中混沌的存在，混沌系统的控制问题得到了许多研究者的广泛研究[1- - - - - -10］．混沌系统具有对初始条件的过度敏感、相空间运动的分形特性和频率响应的板状谱等固有特性;因此，通常很难准确预测混沌系统的未来行为，从而导致系统性能下降，限制了动态系统的运行范围。

因此，根据混沌运动的特点制定控制混沌现象的策略非常重要;因此，许多非线性混沌控制技术被提出，如反馈控制[1，2]及滑模控制[3.- - - - - -5］．为了发挥它们的优势，这些方法被集成为复杂的控制算法，如自适应滑模[6，7，自适应模糊滑模控制[8]，以及预测反馈控制[9］．然而，在实践中，真实系统通常受到外部扰动的影响，在许多情况下，外部扰动具有很大的不确定性，因此可以视为随机;因此，控制这类具体系统中的混沌需要用随机概念来考虑。随机混沌系统出现在许多科学和工程领域，如机械工程[10，生物系统[11，12)、化学(13]、物理学及激光科学[14和金融系统[15］．对于随机混沌系统建模，利用产生高斯白噪声的Wiener过程的导数，利用Ito随机微分形式[16］．

在[17，滑模控制用于将随机混沌控制到确定性混沌系统的期望不稳定周期轨道，但滑模控制存在不足(颤振)，这是由于控制输入中的符号函数切换项造成的。结果表明，随机状态不能完全收敛到期望的平衡点，状态方差收敛到平衡点周围的一个界。也就是说，它们在均方意义上不能满足随机混沌系统的渐近稳定条件。

根据上述，本文的主要贡献是在李雅普诺夫直接法的基础上为一组随机混沌系统设计了一个非常简单的控制器，保证了这些系统在均方意义上的渐近稳定。因此，通过在一类已知混沌系统的广义形式中加入随机项，研究了这类系统的控制问题。李雅普诺夫直接法是设计全局稳定控制方案的有效工具。该方法的一个重要优点是不需要任何线性化就能全局稳定系统。数值仿真结果表明，该方法能较好地消除混沌现象的不良特性，实现系统的稳定。

本文的组织如下:在本节中给出一组混沌系统的一般描述2．节3.，得到了基于李雅普诺夫的控制律，并分析了该控制律的稳定性。节4，给出了数值模拟结果。最后，本节给出结论5．

符号．在这篇文章中,平方可积向量函数的空间在哪里，代表惯常的规范,是一个过滤的完全概率空间吗满足一般条件(即过滤包含所有p -空集并且是右连续的)[18］．

2.系统描述

考虑一类三维混沌系统6］ 在哪里,为状态变量，是非负的已知常数。所有四个函数,都认为是平滑函数，属于哪一类空间和．

备注1。注意，在[6]，最近出版的混沌系统有一半是由(1)。添加金融系统，表1说明了这些混沌模型。
考虑控制输入向量和随机项，系统可以表示为 在哪里是否是一个非线性且足够光滑的函数和为零均值标量维纳过程(布朗运动)通过自然过滤和为高斯白噪声。这里是高斯白噪声是独立于其他的。由于在定义中使用的一些技术和限制［16),系统(2)须重写如下:

假设2。这个函数假设局部Lipschitz连续且满足线性增长条件， 在哪里和为已知矩阵;因此，动态(3.)具有唯一的全局解，对于任意初始条件[19- - - - - -21］．

3.随机混沌控制

本节给出了一组随机混沌系统(3.)，基于李亚普诺夫直接法。李雅普诺夫直接法设计是一种基于李雅普诺夫的系统控制技术，可应用于严格反馈系统、纯反馈系统和块严格反馈系统。在进入设计控制律之前，应该说明两个重要的定义。

定义3(见[22，23])。随机系统(3.)在均方意义上是鲁棒稳定的，如果，对于任意标量时，存在标量这样，,，对于任何支持的初始条件，,．此外,系统(3.)在均方意义上是渐近稳定的，如果对任何初始条件都成立。

定义4 (Itô公式[18])。考虑一个-维随机矢量过程与随机微分在,在那里是一个一维布朗运动的定义．让；然后 在哪里是由 在哪里，,表示上的偏导数，梯度的Hessian矩阵分别为,是主对角元素的和。

定理5。随机混沌系统(3.)在均方意义上渐近稳定

证明。针对李雅普诺夫直接法(不线性化)的控制律设计，首先将李雅普诺夫函数设为
请注意,．使用定义中给出的Itô微分公式4的随机微分沿系统轨迹(3.)结果是 用，,在(6)，重写如下: 换句话说,是转向 考虑的假设2，上面的平等变成下面的不平等 或者可以表述如下: 自，以证明随机混沌系统(3.)在均方意义上是渐近稳定的，有它就足够了．现在，引入控制律为(7)。通过将提出的控制律代入(13)，可以得到 因此，通过应用输入向量(7)、随机混沌系统(3.)在均方意义上渐近稳定。

4.仿真结果

在本节中，通过将该方法应用于两个不同的混沌系统来评估所提出的控制方案的性能。陈氏系统和金融系统是两种著名的混沌系统 在哪里和．

4．1.随机Chen系统的一种控制器

在这种情况下，通过随机Chen系统的控制实例验证了所提出的李雅普诺夫直接方法的有效性。这里，随机Chen系统可以重写为(3.)如下:

在无控制器情况下，随机Chen系统(17)表现出如图所示的混沌行为1．

对于这种情况，很容易看出 因此 根据(7)，则获取输入信号为 给出了初始条件下的仿真结果在图2．控制律(20.)应用于该系统(17)五秒钟后。图的左栏2说明的轨迹，，说明所得到的理论结果对于控制随机Chen系统是可行和有效的。

4．2．随机金融系统的一种控制器

在本节中，我们将比较我们所提出的控制器与[17]有关金融系统(16)。在金融系统中加入随机项和输入向量，系统(16)可以被改革为 随机系统(21)表现出无控制器向量的混沌行为，如图所示3.．

每一个，既满足局部Lipschitz连续条件又满足线性增长条件，且 因此, 最后，根据……7)，我们提出的控制器如下: 另一方面，基于[17，则输入向量为: 值得一提的是，为了设计一个滑模控制器，我们有两个步骤:首先构造一个滑动面和设计一个等价控制律所需的系统动力学,第二次开发一个切换控制律使得滑模存在于每一个点的滑动面,因此任何州外表面达到驱动表面在一个有限的时间。

给出了初始条件下的仿真结果在图4．此外，控制器(24)和(25)在25秒后应用于金融系统。

国家的资料(21)显示在图的左栏中4，其中第一行显示了我们提出的控制律的效果，第二行与基于滑动的控制器有关。美国和由于篇幅有限，此处未列出。在图的右栏中4，给出了输入信号，其中第一行与李雅普诺夫直接法有关，第二行与滑模策略有关。应该指出的是，在Figure的最后一个子图中4时，等效控制律的影响在第25 ~ 32秒，下一秒与开关控制律有关，引起抖振现象。

通过所提出的方法可以看出，不仅国家收敛于零，瞬态响应快，但与基于滑动的输入相比，输入信号平滑，无抖振。

5.结论

研究了一类随机混沌系统的控制问题。基于李雅普诺夫直接法和Itô公式，设计了用于控制混沌系统的控制律。结果表明，应用所提出的控制器，系统在均方意义下渐近稳定且瞬态响应速度快。最后，将所提出的控制方法应用于两个知名的混沌系统，验证了该方法的可行性和有效性。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。