一个新的多相软分割自适应变异

文摘

软分割比努力更灵活分割。但是,隶属度函数通常是对噪声敏感。在本文中,我们提出一个多相软分割模型近分段常数图像基于随机原则,在像素强度与混合高斯分布建模为随机变量。本文的创新在于三个方面。首先,与一些现有的模型,每个阶段被建模为一个常数的均值和方差的不同阶段被认为是相同的,每个阶段的意思是本文中的高斯分布建模为一个常数的乘积和偏见,并假定不同阶段有不同的差异,这使得模型更加灵活。第二,我们开发一个双向预测原始对偶混合梯度(PDHG)隶属函数的迭代算法。第三,我们也开发一种新型的显式算法计算的投影形对于任何尺寸利用对偶理论,更高效的编码和实现比现有的投影方法。

1。介绍

图像分割方面发挥了重要作用在图像处理和计算机视觉。最近,变分分割模型吸引了越来越多的兴趣(1- - - - - -8]。用水平集技术(9),变分模型可以有效地解决。两相分割的技术最初开发,然后扩展到多相分割(10- - - - - -13]。通过仔细选择初始值,这些方法可以实现多相分割一个理想的解决方案。然而,nonconvexity能量函数的水平集配方是一个级别的设置方法固有的缺点。因此,许多基于集合的变分水平分割模型对初始值敏感,尤其是对多相分割,并可能导致一个劣质局部最小值。

克服缺点的一个方法是利用模糊隶属函数来代替亥维赛在水平集函数的水平集函数公式的建模特征函数,称为软分割。这个放松(特征函数可以被视为一个特殊的成员函数),陈和布莱松等。1,2,5]证明了全球最低可以实现这些模型能量函数的凸性。不幸的是,这种方法难以应用于多相分割。最近,基于变分凸化技术开发的痘痕等。14)、棕色等。15],Bae et al。16)提供不同的方式找到全局最优解为分段常数Mumford-Shah模型(一般称为连续Potts模型)。

有很多软分割方法(17- - - - - -22]。酒吧和墩扩展原始区域竞争模型8)模糊区域竞争的方法(19,20.]。技术推广了现有的一些监督和非监督提出模型。该函数是凸的,在监督的情况下保证全球解决方案。不幸的是,这种方法只适用于两相分割,很难适用于多相分割。模糊C-mean (FCM)是一个为模式分类和识别和开发方法被应用到图像分割(17,18,21]。标准的FCM模型分区数据集成集群的目标函数如下: 在哪里会员资料的价值吗为类与和代表集群中心(23,24]。原来的FCM算法对噪声非常敏感。范教授等人提出了一个自适应模糊C-mean (AFCM)模型(21]这是更健壮的噪音比标准的FCM,常数集群中心用于FCM模型(1)是由函数代替足够光滑和接近相应的集群中心。

另一类软分割是基于随机方法(18,22,25]。在这些方法中,像素强度视为一个或多个随机变量的样本。随机方法的优势是它强大的处理随机噪声的能力。在大多数随机分段模型,似然函数是用来表示拟合项在一个能量的功能。从假设合理分割应该最大化的可能性。方法被称为最大似然(ML)方法(26]。通常采用(EM)算法是用来解决它当数据是不完整的。然而,仅仅使用可能性模型图像是不够的,因为它忽略了图像的先验知识。在[18),基于分割框架最大后验原则(地图)提出了部分体积(PV)大脑核磁共振图像的分割,这是一个经典的应用软分割。

沈相结合提出了一个通用多相随机变分模糊分割模型随机原则和Modica-Mortola的相变理论(22]。图像的强度被建模为一个混合高斯分布。模型假设隶属度函数应该是接近或接近但有限的应用,简化了模型。例如,它是不合理的模型应用于部分体积分割以来在这种情况下,隶属度函数通常都不接近也不近在不同的边界问题。

偏差纠正是一个重要的意思是软分割处理强度不均匀性(21,27- - - - - -29日]。例如,井等人提出了一个采用(EM)算法来解决偏差纠正问题和组织分类问题29日]。EM迭代算法被用来估计后组织类概率已知和偏压场时估计偏差的映射字段当组织类概率是已知的。这种方法的缺点是,直接计算偏差场可能不会一帆风顺,会导致一个贫穷的偏差纠正和分割结果。范教授和王子提出一种自适应模糊c均值算法制定修改目标函数的模糊c均值算法包括乘法的偏见,它允许每个类的重心不同的形象。平滑度的偏差场是确保通过惩罚其第一和二阶导数,从而导致计算昂贵过程平滑的偏见。艾哈迈德等人提出了添加一个邻居术语,使一个像素的类成员受到邻国(27]。社区词作为规范和力量解决方案向分段均匀的标签。李等人提出了一个变分水平基于集合的方法用于医学图像分割和偏差纠正28];偏见的平滑领域本质上是确保数据项的变分公式。

在所有上述文件相关高斯分布,有一个共同的特点在所有假设不同阶段的变异是一样的。然而,当变异的不同阶段有很大的不同(这是真的。实验也提供后),上面介绍的模型可以分类阶段。在本文中,我们提出一个随机变分模型的多相软分割噪声和强度不均匀性的存在,图像强度在每个点被建模为一个混合高斯分布的均值和方差进行了优化。不同于沈的工作(22),我们的模型并不设置假设隶属度函数必须接近或。因此,我们的模型更适合软分割部分体积分析和应用。由于我们的模型是基于假设图像强度是一个混合高斯分布,可能为不同的阶段,不同的方差也不同于(18,21)在我们的模型自适应纠正偏差的强度和去除噪声通过优化均值和自适应方差。实验表明,我们的模型不仅健壮的噪声还强大的偏差纠正。模型可以实现使用双向投影PDHG算法非常快。剩下的纸是组织如下。新模型部分2。节中给出的数值实现方案3。节4,我们将展示一些实验结果,也给一些解释和分析。合成图像和真实图像。最后,我们总结了纸和一个简短的结论。

2。模型开发

让是一个开放的有限域上定义的2 d图像包含阶段。让阶段标签变量(例如,对所有)。在每一个像素,两个和被视为随机变量索引。的概率属于阶段是所有权所代表的功能,。如果我们表示随机变量的概率密度函数(PDF)考虑到属于th阶段由,然后的PDF给出的是一个混合分布 进一步假设是高斯PDF为每个和所有随机变量是独立的。然后的可能性(联合PDF) 在哪里 负对数似是 在哪里,,。当每个选择是一个常数分别为,对所有(),是一个固定的常数,那么模型推导出分段常数模型。在文献[18,21),构造成一个常数的产物吗和一个全磁场偏差函数这被认为是接近吗。现在我们假设在(5),让,从而导致下列能量的功能: 通过添加规范的的全变差来规律性方面的偏见和隶属度函数分别,我们得到以下能量的功能和高斯混合偏差纠正: 备注。我们想要提到我们的模型并不是第一次使用高斯分布。相反,引入了高斯分布许多细分模型,如图切(30.)和软Mumford-Shah模型(22]。该模型的区别和前面的模型是那些以前的模型假设不同的高斯分布有一个相同的方差和通常是固定的。然而,在我们的模型中,我们假设不同的高斯分布有不同的差异,增加灵活性。

3所示。数值实现

注意,能量函数是凸除了方差对所有的变量。可以实现固定方差,全球最小化任何初始化。欧拉方程的方差,意味着和偏差如下:

相应地,我们使用下面的迭代计划:

在实现的挑战是隶属函数的优化由于约束 这需要在单纯形。有两种方法来处理单形约束。一个是使用拉格朗日乘数方法(或增广拉格朗日乘数法),并添加一个精确的惩罚项(见[1,5,31日])。拉格朗日乘数法的缺点是收敛速度较低。所谓的确切的惩罚项的只有在一些约束和没有可微的终点,必须更换由平滑版本最后伤害了精确的近似。处理简单约束的另一种方法是使用建立了无拘无束的问题的迭代方程,然后单工项目每次迭代的结果(22]。这种方法的缺点是,没有通用解析式可以写为所有维度。不同维度的投影函数不同,需要用不同的方式写的。特别是,当维数大于三,投影函数变得复杂,从而导致低效率在编码和实现。在本文中,我们给出一个投影使用双重方法的新颖方法。投影可以表示对所有密度均匀,和分析产权保证由于对偶理论。

双重方法已广泛研究处理总变异不是可微点一阶变化为零。一个流行的例子是Chambolle双重方法(32]。最近,朱镕基和陈开发了一种新算法结合梯度法和对偶法,称为原始对偶混合梯度法(PDHG)(见[33]详情)。方法集成了梯度法和对偶方法的优点,因此是速度比使用方法。它被证实是速度比使用双重方法,及其修改时保证收敛步长迭代形式满足某种条件(见[34- - - - - -36])。在我们的应用程序中,我们采用的理想PDHG并应用到我们的模型与单纯形约束。

3.1。使用PDHG优化隶属度函数

的原则PDHG最小化(7)对隶属度函数(约束(下)12),这相当于解决离散min-max以下问题: 在哪里,, 的下降方向是。所以,会员的进化(原始的步骤) 在哪里定义的单纯形投影吗 为,在那里表示欧氏距离。我们将看到一种新奇的方法在下一节单纯形的投影。

自从第一个变化(13)对是双重的一步 在哪里是投影空间定义为 在哪里一个向量的表示数量的组成部分。

因此,双向预测PDHG算法最小化能量函数(7)是由 单形的投影在哪里明确在接下来的部分中给出。

3.2。投影到单纯形

现在,我们想要推导出明确的解决方案。让表示解决方案。定义 然后Morean的身份,我们有 在哪里的Legendre-Fenchel变换吗。根据定义,我们有 所以,我们最后得到的解决方案 这是简单而快速。

3.3。总结算法的

在本节中,我们显示完整的算法如下。

算法1。(1)初始化:(一)初始化方法;(b)初始化变量;(c)初始化成员与;(d)初始化倾向与;(e)初始化参数和。(2)迭代:(一)更新差异(9);(b)更新手段(10);(c)更新的偏见(11);(d)更新会员(三次):(我)初始化和;(2)初始化;(3)更新和(19)。(3)终止:迭代将终止如果的变化意味着都低于预设阈值。

参数的选择和取决于特定的图像。通常,在一开始,应该选择足够大。经过一些迭代,减少可以加快收敛。的参数必须≤2/9保证收敛性(32]。算法的效率可以找到PDHG从[37]。

4所示。实验和讨论

自从高斯发布出去是依靠我们的模型和其他模型之间的主要差异在于变量变异,我们尤其显示变异多样和变异固定之间的区别。因为我们的模型可以被看作是一个扩展的沈的论文(22),我们现在许多实验结果基于一个与沈的模型进行比较。

第一个实验旨在测试噪声鲁棒性。在图1显然,原始图像包含三个阶段。我们添加了一个混合与零均值高斯噪声和总体方差。首先,我们应用的模型。我们选择使用标准和停止迭代,在那里在每个迭代和之前表示旧的意思表示每次迭代后的新意思(相同的其他实验)。然后,我们应用我们的模型(7)的形象。显然,新模型的结果要好得多。

解释分析。这个很大的区别来自两个模型的拟合方面的区别。注意,在沈的模型拟合项足够小,图像强度每一点必须非常接近均值的阶段。因此,对噪声十分敏感。相比之下,在模型(7),隔离噪音的影响功能可以抵消的能量差异出现在合适的项的分母。新模型是更健壮的噪音。

第二个实验旨在比较健壮性和偏见。在图2,第一行是原来的有偏见的形象和地面实况的所有三个隶属度函数。第二行和第三行显示获得的软分割使用的模型和该模型,分别。显然,该模型给出了更精确的结果与地面真理由于没有偏见的分割。

我们的第三个实验的目的是给一个比较方差和方差固定更新的新模型。在所有的五行图3从左到右是原始图像,三个隶属度函数,分别和硬分割。从第一行到第四行与方差固定的结果。例如,我们集对所有在第一行,我们集对所有在第二行。然而,最后一行是更新差异的结果,我们得到最终的方差的三个阶段,这是,,,分别。很明显,最后一行给最好的结果。这个实验表明,更新方差比固定方差假设所有人都是平等的。因为沈的模型是一个特例,当所有方差固定和相同,实验表明,该模型优于沈的模型。

最后,我们测试我们的模型使用真实的图像。在图4,肝脏是由于偏见的存在不是很清楚。使用的模型会导致错误的结果,很大一部分肝脏被错误分类的背景,如第一行所示。这可以很容易地从硬分割。然而,使用该模型可以得到更好的结果,第二行所示。这是因为拟合的模型包含偏见,以及方差。通过计算方差的三个阶段,它们是,,分别。这一事实也证明它是合理的假设不同阶段可能有不同的差异在我们的模型中。

当我们开始提到的,最重要的一个应用软分割部分体积大脑核磁共振图像的分割。图5给出了一个在大脑核磁共振图像比较软分割。软分割有很大区别(隶属函数)。通过使用MAP-AFCM模型,大多数像素进行分类部分的体积,也就是说,其强度既不接近也不近(图中,亮度强度意味着接近,黑暗意味着接近,光明与黑暗之间强度意味着部分体积)。然而,这是不对的,因为众所周知,大脑核磁共振图像的部分体积应该出现主要是经常在不同组织的边界。比较,使用该模型可以得到更合理的结果,部分的体积只出现在不同组织的边界。

我们还将展示一些比较的自然图像。在图6,左图像是原始图像,中间一个和一个很难分割阈值后使用的模型和该模型,分别。在图7第一列是原始图像。我们现在所有隶属度函数和硬分割给读者作比较。为所有三个例子,结果使用我们的模型都是沈比使用的模型。

5。结论

在本文中,我们提出了一个随机变分模型的基于高斯混合多相软分割。与之前相关的模型相比,该模型更健壮的噪音和偏见。实施,我们开发了一个双向预测PDHG算法,容易实施。提出了几个实验来展示我们的新模型的效率。

引用

1. x Bresson s Esedoglu p . Vandergheynst j。Thiran, s . Osher“快速全球活动轮廓/蛇模型的极小化,“《数学成像和愿景,28卷,不。2、151 - 167年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. x Bresson t·f·陈,“非本地无人监督的变分图像分割模型,”加州大学洛杉矶分校凸轮报告,2008,http://www.math.ucla.edu/。视图:谷歌学术搜索
3. 诉Caselles, Kimmel r, g . Sapiro“测地线主动轮廓,”国际计算机视觉杂志》上,22卷,不。1,第79 - 61页,1997。视图:谷歌学术搜索
4. t·f·陈,洛杉矶Vese主动轮廓没有边缘,”IEEE图像处理,10卷,不。2、266 - 277年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. t·f·陈,美国Esedoglu和m . Nikolova”图像分割算法寻找解和去噪模型,”暹罗在应用数学》杂志上,卷66,不。5,1632 - 1648年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. d·芒福德和j·沙阿,“最优近似分段光滑函数和相关的变分问题,“通信在纯粹和应用数学,42卷,不。5,577 - 685年,1989页。视图:谷歌学术搜索
7. n Paragios和r . Deriche测地线主动监督纹理分割区域和水平集方法,”国际计算机视觉杂志》上,46卷,不。3、223 - 247年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. s . c .朱”地区竞争:统一的蛇,区域增长,和贝叶斯/ mdl多波段图像分割,“IEEE模式分析与机器智能,18卷,不。9日,第900 - 884页,1996年。视图:谷歌学术搜索
9. Osher和j . a . Sethian”方面与curvature-dependent传播速度:基于哈密顿雅可比算法公式,“计算物理学杂志,卷79,不。1,12-49,1988页。视图:谷歌学术搜索
10. 钟和洛杉矶Vese”,基于能量最小化的分割和去噪使用多层水平集方法,”能量最小化方法在计算机视觉和模式识别卷,3757年,第455 - 439页,2005年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. j .撒谎,m . Lysaker, x c .大”的一种变体水平集图像分割方法和应用,“数学的计算,卷75,不。255年,第1174 - 1155页,2006年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. 洛杉矶Vese t·f·陈,“一个多相水平集图像分割框架使用芒福德和沙模型,”国际计算机视觉杂志》上,50卷,不。3、271 - 293年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. H.-K。赵,t . Chan b梅里曼,s . Osher“多相运动变分水平集的方法,”计算物理学杂志,卷127,不。1,第195 - 179页,1996。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. t .麻子,t . Schoenemann g . Graber h .女孩和d·克莱莫,“连续多标记的凸规划问题,”欧洲计算机视觉大会程序' 08)2008年10月,马赛,法国,。视图:谷歌学术搜索
15. e·s·布朗,t·f·陈,x Bresson“凸配方和准确的全球解决方案多相分段常数Mumford-Shah图像分割,“加州大学洛杉矶分校凸轮报告cam09 - 66, 2009。视图:谷歌学术搜索
16. e . Bae j .元,X.-C。大,“全球最小化连续使用双重多相分割问题的方法,”加州大学洛杉矶分校凸轮报告,2009,http://www.math.ucla.edu/。视图:谷歌学术搜索
17. 陈和d·张,”鲁棒图像分割使用FCM和空间约束根据新的kernel-induced距离测量,”IEEE系统,人,控制论B,34卷,不。4、1907 - 1916年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. 李x l·李·h·卢,z梁,“部分体积分割的脑磁共振图像基于最大后验概率,”医学物理学,32卷,不。7,2337 - 2345年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. b .酒吧和r .墩”模糊区域竞争:一个凸两相分割框架,”国际会议的程序在计算机视觉尺度空间和变分方法,第226 - 214页,2007年。视图:谷歌学术搜索
20. b说,r .墩,j . p . Thiran“变分分割使用模糊区域竞争和当地的非参数概率密度函数,”《IEEE 11计算机视觉国际会议(ICCV ' 07)2007年10月,页1 - 8,。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. d·l·范教授和j·l .王子”,图像分割的自适应模糊c均值算法的强度,非均质性”模式识别的字母,20卷,不。1,57 - 68,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. j .沈”stochastic-variational模型软Mumford-Shah分割”,国际生物医学成像杂志》上ID 92329条,卷。2006年,14页,2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. j . c . Bezdek”模糊ISODATA聚类算法的收敛定理,”IEEE模式分析与机器智能,卷2,不。1,1 - 8,1980页。视图:谷歌学术搜索
24. j·c·邓恩,“模糊ISODATA过程及其使用的相对检测紧凑wellseparated集群,”Jounal控制论的,3卷,不。3,32-57,1973页。视图:谷歌学术搜索
25. f·陈,陈y和h·d·Tagare”基于对数sine-sinc模型的扩展的可能性,”学报》国际会议图像处理,计算机视觉,模式识别(IPCV ' 08)2008年7月,页222 - 227。视图:谷歌学术搜索
26. a .法官:Laird, d·鲁宾,“最大似然从通过EM算法,不完整的数据”皇家统计学会》杂志上,39卷,不。1,1 - 8,1977页。视图:谷歌学术搜索
27. m·n·艾哈迈德·s·m·Yamany:穆罕默德,A·A·法拉克t·莫里亚蒂,”修改为偏见字段模糊c均值算法估计和核磁共振数据的分割,“IEEE医学成像,21卷,不。3、193 - 199年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. 黄r . c . Li z叮,c . Gatenby d·迈塔克瑟白兰地和j·戈尔”分割的变分水平集方法和偏差校正的图像强度不均匀性,”医学图像计算和计算机辅助干预第2部分,卷。11日,第1091 - 1083页,2008年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. w·m·威尔斯三世,w·e·l .深红色r . Kikinis和f . a . Jolesz“核磁共振数据的自适应分割,”IEEE医学成像,15卷,不。4、429 - 442年,1996页。视图:谷歌学术搜索
30. 削减y Boykov和g . Funka-Lea”图和有效的一天图像分割,“国际计算机视觉杂志》上,卷70,不。2、109 - 131年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. J.-B。Hiriart-Urruty和c . Lemarechal“凸分析和最小化算法,”Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften施普林格,页305 - 306年,纽约,纽约,美国,1993年。视图:谷歌学术搜索
32. a . Chambolle“全变差最小化的算法和应用程序”,《数学成像和愿景,20卷,不。1 - 2、89 - 97年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. 朱m t·陈,“一个有效的非混合梯度算法的全变差图像恢复,”凸轮的报告cam08-34, 2008年。视图:谷歌学术搜索
34. e·s·布朗,t·f·陈,x Bresson“凸松弛法的向量值最小化应用程序Mumford-Shah分割问题,“加州大学洛杉矶分校凸轮报告cam10-43, 2010年。视图:谷歌学术搜索
35. e·艾瑟x张,t . Chan“一类一阶非一般框架为电视最小化算法,”凸轮的报告cam09 - 67, 2009。视图:谷歌学术搜索
36. t .麻子d·克莱莫女孩h ., a . Chambolle“最小化Mumford-Shah功能的算法,”学报》第12届国际会议上计算机视觉(ICCV ' 09)《京都议定书》,页1133 - 1140年,日本,2009年10月。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
37. t .麻子d·克莱莫女孩h ., a . Chambolle“最小化Mumford-Shah功能的算法,”学报》第12届国际会议上计算机视觉(ICCV ' 09)2009年10月,页1133 - 1140。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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