使用双参数不确定梁方程的数值解的模糊数形式

文摘

本文提出了一种新的技术来解决不确定梁使用双参数方程形式的模糊数。初始条件的不确定性出现了三角模糊数。使用单一参数形式,第一束模糊方程转换到一个基于间隔模糊微分方程。接下来,这个微分方程转换的形式通过应用双参数的模糊数形式。最后,也是解决了同伦摄动法(HPM)获取不确定反应单位阶跃和脉冲负载。获得的结果进行描述的情节显示方法的效率和有力。

1。介绍

最近,微分方程理论模型的物理和工程问题起着至关重要的作用在固体和流体力学等粘弹性,生物学,物理学,和其他的科学领域。但在实际情况下,参数、变量和参与微分方程的初始条件可能不确定,或模糊估计在通用的一些观察,实验,经验,或维护引起的错误。所以,克服不确定性和模糊性,可以使用模糊环境参数,变量和初始条件脆(固定的)的。所以,这些不确定性一般微分方程转化为模糊微分方程(fd)。在真实的应用程序中,它太复杂,获得模糊微分方程的精确解,所以可能需要一个可靠的和有效的数值模糊微分方程的技术解决方案。

存在大量的文件处理模糊微分方程及其应用在公开文献。一些综述和引用在这里更好地理解目前的分析。Chang和德1首次引入模糊导数的概念,其次是杜波依斯和布雷德(2)定义和使用扩展原理的方法。模糊和模糊微分方程初值问题是研究Kaleva [3,4]和Seikkala [5]。介绍了各种数值方法求解模糊微分方程(6- - - - - -16]。马等。6)开发了一个基于古典欧拉方法解决方案模糊常微分方程。一个二维微分变换方法来解决模糊偏微分方程(fpd)一直在研究[7]。Abbasbandy和Allahviranloo8泰勒)应用模糊微分方程的解决方案的方法。Abbasbandy et al。9)开发了一种数值方法求解模糊微分夹杂物,该方法,模糊可及集是用来近似的解决方案。变化的常数公式是由Khastan et al。10解决一阶模糊微分方程)。变分迭代法讨论了Allahviranloo et al。11)获得模糊波方程的精确解与变量系数。研究了广义的概念H-differentiability Chalco-Cano和Roman-Flores [12)来解决模糊微分方程。Mondal和罗伊13]描述的解决方案过程一阶线性非齐次常微分方程在模糊环境中。Palligkinis et al。14)应用龙格-库塔方法对更一般的问题,证明了收敛s-stage龙格-库塔方法。类似et al。15)开发了一个算法基于将模糊集的二阶模糊初值问题的解决方案。最近,Khastan et al。10)提出了改进欧拉模糊微分方程的解的方法。

同样,许多作者研究了各种其他方法解决阶模糊微分方程(17- - - - - -21]。基于配置方法的想法,Allahviranloo et al。17调查的数值解阶模糊微分方程。贾法里et al。18使用变分迭代方法求解最近阶模糊微分方程。Parandin [19龙格-库塔方法]讨论模糊微分方程的数值解阶。Hashemi et al。20.]研究了同伦分析方法系统的模糊微分方程的解决方案。小张和小王21)利用时域方法的解决方案阶模糊微分方程。

最近,同伦摄动方法是发现一个强大的工具为线性和非线性微分方程。他在[HPM最早是由22,23],许多作者应用该方法解决各种线性和非线性函数方程的科学和工程问题24,25]。解决方案被认为是无穷级数的和,该收敛迅速,准确的解决方案。同伦方法(拓扑),与一个嵌入参数构造同伦,这被认为是一个“小参数”。最近同伦摄动方法实施广泛的一类问题。一些研究人员还利用HPM研究模糊微分方程的解决方案。Allahviranloo和Hashemzehi26)成功地应用同伦摄动方法fuzzy-fredholm积分方程的解。Babolian et al。27使用同伦摄动方法]解决积分微分方程。Matinfar和Saeidy28处理一个应用同伦摄动方法模糊积分方程。下的模糊初值问题数值解广义可微性由Ghanbari HPM研究[29日]。最近,Tapaswini和Chakraverty [30.)实现HPM的解决方案阶模糊线性微分方程。

此外,比德(31日)描述模糊微分方程的精确解在一个非常好的方法。Ahmada et al。32]研究分析和数值解模糊微分方程的基础上,扩展原理。巴克利和Feuring33应用两种分析方法来解决阶线性微分方程和模糊初始条件。在第一种方法,他们只是fuzzify脆的解决方案获得模糊函数,然后检查是否满足的微分方程。和第二种方法是第一种方法的逆转。

上述文献综述表明,模糊微分方程总是转换为两个清爽的微分方程。然后相应的脆系统解决了获取的界限模糊的解决方案。但在这里,新方法提出了基于双参数形式的模糊定义的定义2模糊微分方程已经被转换为一个清爽的微分方程。最后相应的脆(单一)微分方程解决了同伦摄动方法获得双参数形式的模糊的解决方案。

本文组织如下。节2与目前进行的调查,一些基本的预赛相关。部分3代表了HPM的基本思想。提出技术应用与HPM部分4为解决不确定梁方程。接下来,提出了不确定的响应分析数值结果和讨论。最后,在节7结论。

2。预赛

在本节中,我们目前的一些符号,定义和预赛在本文中进一步使用。

定义1(单参数模糊数的形式)。三角模糊数可以代表一个有序对功能通过切的方法;也就是说,在那里,。
的减少形式被称为参数形式或单一参数的模糊数形式。
可以指出,模糊数的上下边界满足以下要求。(我) 是一个有界左连续不减少的功能。(2) 是一个有界连续nonincreasing函数结束了吗。(3) 。

定义2(双参数形式的模糊数)。使用参数形式作为讨论的定义1一个人。现在你可以写成脆与双参数形式,在那里和。

3所示。同伦摄动法(22,23]

为了说明这种方法的基本思想,我们考虑下面的非线性微分方程的形式: 与边界条件 在哪里是一个通用的微分算子,边界算子,一个已知解析函数域的边界吗。可以分为两个部分和,在那里是线性的,是非线性的。方程(1)因此可以写成如下: 同伦方法,我们构造一个同伦,满足 或 在哪里,是一个嵌入参数,是一个初始近似(1)。因此,很明显, 和不断变化的过程从0到1的从来。在拓扑中,这就是所谓的变形,和被称为等位的。应用摄动技术(22,23),由于这一事实可以被认为是一个小的参数,我们可以假设的解决方案(4)或(5)可以表示为一个系列如下: 当,(4)或(5)对应于(3);然后(7)成为(的近似解3),也就是说, 级数的收敛性(8)已被证明在22,23]。

4所示。该方法

在这里,我们首先将模糊微分方程转换为基于间隔模糊微分方程使用单一的参数形式。然后通过使用双参数形式,基于间隔模糊微分方程的微分方程。接下来,我们应用同伦摄动方法解决相应的微分方程。按照标题的问题,现在让我们考虑模糊梁方程 这可能是写成 在哪里,,,,代表质量,密度,横截面积,阻尼系数单位长度,杨氏弹性模量和转动惯量的梁。外部作用力和吗是横向模糊位移。模糊初始条件是。可以指出,如果初始条件是脆的,那么我们可能的初始条件。这里,初始条件作为模糊了一个想法,条件可能是不确定的;即,它可能是由于错误的观察或实验等等,我们可能需要错误或不确定性一样左右传播−0.1和0.1,分别用模糊三角隶属函数。因此这将迫使控制微分方程作为一个整体是不确定的。很自然地,结果或输出(结果)必须是不确定的。这样我们可能的实际本质不确定性的反应可能受益的工程师更好地理解系统的安全。所以,我们需要有有效的方法来处理这些问题。

按单一参数形式我们可以写上述模糊微分方程(10), 模糊初始条件 在哪里。

接下来,使用双参数形式(如定义中讨论2)(11),它可以表示为 模糊初始条件 在哪里。

现在让我们表示 用这些值(13),我们得到 与初始条件

因此,解决相应的微分方程,得到解决方案。获得解决方案的上下绑定在单一参数形式,我们可以把分别和1。这可能是表示为

现在,解决(16),我们应用同伦摄动方法。根据HPM,我们可以构造一个简单的同伦的嵌入参数如下: 或 在这里,被认为是一个小的同伦参数。为,(19)和(20.)成为一个线性方程;也就是说,,这是很容易解决的。为,(19)和(20.)是一样的原始方程(16)。这被称为拓扑变形。和被称为等位的。接下来,我们可以假设的解决方案(19)或(20.)的幂级数展开作为 在哪里为功能有待确定。用(21)(19)或(20.),将相同的权力的条款,我们有 等等。

选择初始近似和应用逆算子(这是运营商的倒数)每一个方程的两边(22)可以获得以下方程: 等等。

现在,用这些术语(21),,一个可能的近似解(16), 解决级数收敛很快。证明以上级数的收敛可能发现在22,23]。快速收敛意味着只有几项需要得到近似解。

5。不确定的响应分析

让我们考虑外部作用力作为 在哪里是一个指定的空间依赖确定性函数和是与时间有关的过程。在接下来的段落中,我们将检查不确定动态系统的响应(5)两种不同的加载条件。

5.1。单位阶跃函数响应

现在,梁的响应受到单位阶跃负载一直被认为的形式,在那里亥维赛功能和吗是一个常数。我们通过使用HPM, 等等,。

以类似的方式,可以获得其余的组件。因此,可以写在一般形式的解决方案 获取绑定在单一参数形式我们可能的解决方案1,分别得到降低和解决方案的上界

5.2。脉冲响应

接下来,让我们考虑梁的响应受到单位脉冲载荷的形式,在那里是单位脉冲函数。再次使用HPM在这种情况下,一个可能 等等,。

以类似的方式,可以获得其余的组件。因此,可以写在一般形式的解决方案 再次,获取解决方案绑定在单一参数形式,这种情况下一个可能1,分别得到降低和解决方案的上界

6。数值结果和讨论

在本节中,我们提出使用HPM确定梁方程的数值解。这是一个巨大的任务,包括所有的结果对各种参数参与相应的方程。正如上面所讨论的,不确定的反应受到单位阶跃和脉冲响应。计算结果进行描述的情节。数值结果,我们已经考虑了简支梁和 在这里,数值计算已经完成通过删除无穷级数(28)和(31日有限数量的条款。对于数值模拟,让我们表示和分别为和,在那里固有频率和吗阻尼比。的值作为参数,,,,。

接下来,通过与固有频率rad / s和10 rad / s和阻尼比常数和不同和获得模糊单元和脉冲响应的结果中描述数据1和2,分别。

正如上面所讨论的,对于这两种情况下,模糊初始条件转化为清晰的初始条件。有趣的是要注意,为响应,上下界限模糊的解决方案是一样的。

7所示。结论

摘要同伦摄动方法已经成功地应用于解决方案的一个不确定的简支梁使用双参数的模糊数形式。提出的双参数形式的方法是发现容易和简单。性能的方法是利用三角模糊数显示。有趣的是,在反应降低响应等于上响应。尽管HPM的解决方案是一个无穷级数的形式,它可以在某些情况下,在一个封闭的形式写的。HPM的主要优势是能够实现精确解和一些术语和快速收敛。

承认

Smita Tapaswini要感谢UGC,印度政府,金融支持下拉吉夫·甘地国家奖学金(RGNF)。