文摘
混合幂级数和人工蜂群算法(PS-ABC)方法应用于解决非线性微分方程组由微碳纳米管的分布参数模型(MWCNT)悬臂薄和厚石墨表附近的分子间作用力。分子间作用力是通过范德华力进行建模。尝试解微分方程的定义是两个多项式之和。第一部分满足边界条件,并包含两个可调参数。第二部分构造就不会影响边界条件,包括可调参数。ABC方法应用于找到可调参数的试验解决方案(在第一和第二部分)。获得的结果与数值计算结果以及文献中报道的分析解决方案。方法的结果表现出显著的精度与计算结果相比。最低初始间隙和超然的长度不会把它们底物的致动器由于分子间作用力,拉片不稳定重要参数的MWCNT致动器,由幂级数获得评估。
1。介绍
微碳纳米管(热合)以及其他纳米材料引起了相当大的关注,因为潜在优势显著改善刚度,强度,消除主要失效机理(1]。这些新材料通常可以可视化为石墨烯纳米同轴圆柱体卷起。热合是由不同的技术如化学气相沉积、激光消融,和电弧放电1,2]。纳米管可以提供各种范围的导电性质取决于他们的原子和几何结构3]。碳管的不同寻常的特性促使全球工程师探索他们的应用程序在不同的科学领域(4]。
实验研究表明,电导强烈影响碳纳米管的屈曲的发生(5]。可重复扣状态和正常状态之间的转换碳纳米管产生良好的潜在应用程序创建设备如nanotransistors [5),nano-valve等等,6]。与最近的增长在纳米技术、热合正越来越多地用于发展原子力显微镜(AFM)探测器(1,3,7,8)和nanoelectromechanical系统(NEMS)开关(9- - - - - -11]。
在纳米级,表面力量中扮演重要角色的设计和操作MEMS和NEMS设备。范德瓦耳斯力和卡西米尔力是两个重要的力量在纳米的规模12]。这些力量基本上是电磁本质上,他们是重要的,当分离对象之间的空间是非常小的12]。
一般来说,有两种基本方法来理解碳纳米管的行为:一个是原子的分子动力学模拟和第二个是连续介质力学。然而,分子动力学方法非常耗时且计算昂贵的大型系统。
在最近的一次工作,Koochi et al。13)应用混合连续体模型探讨分子及外力作用下的屈曲独立式MWCNT探针/致动器停职石墨表。他们进行了屈曲的四阶非线性常微分方程的微碳纳米管(MWCNT)探针/致动器。Koochi et al。13]Adomian分解方法获取解决方案用于弯曲和拉片热合的稳定。虽然,Adomian分解方法的结果相比,数值结果是可以接受的,但结果表明,拉片附近Adomian方法的精度不稳定条件却降低了。
已研制出许多不同的方法来解决微分方程。然而,非线性微分方程的解决方案仍然是一个挑战14,15]。最近,人工智能技术用于解决非线性微分方程和建模工程问题(16- - - - - -21]。李和康(22)使用并行处理器电脑获得试验解一阶微分方程。米德和费尔南德斯23)应用前馈神经网络来解决线性和非线性常微分方程。Lagaris et al。15]介绍了一种新的方法来解决一阶线性普通和偏微分方程使用人工神经网络。马列和Beidokhti24)混合人工神经network-Nelder-Mead优化技术应用于解决高阶线性微分方程。混合人工神经网络-群体智能方法被汗et al。14解决非线性微分方程。
优化问题的目标可以被声明为发现的组合参数(自变量),最大化或最小化一个或多个因变量的值。价值或函数称为目标函数进行了优化。
人工蜂群(ABC)是优化算法之一,2005年由Karaboga介绍(25]。这个算法是智能行为的动机的蜜蜂。美国广播公司(ABC)是一个简单的方法和一些主要常见的控制参数如蚁群的规模和最大循环数。
Karaboga和Basturk26]介绍了人工蜜蜂殖民地作为一种高效的数值函数优化算法。Karaboga和Akay27]在美国广播公司(ABC)进行了比较研究。他们使用ABC优化一套大型的数值测试函数。他们比较的生产结果ABC算法与遗传算法获得的结果,粒子群优化算法,微分进化算法,进化策略。他们报告说,美国广播公司(ABC)的性能优于或类似的其他人群为基础的算法,使用更少的控制参数的优势。
在目前的研究中,结合幂级数和人工蜂群优化算法应用于获得一个幂级数解MWCNT悬臂的非线性常微分方程。一个了不起的准确性的方法实现时获得的结果与数值计算结果进行比较。
2。数学模型
图1显示了一个典型的独立的示意图MWCNT表面由附近N石墨烯层与层间的距离。考虑一个MWCNT的平均半径的长度,l,多层纳米管层。MWCNT和表面之间的差距D。
2.1。静电领域
基于连续介质力学,MWCNT由同心圆柱管建模。是MWCNT的杨氏模量和横截面惯性矩我等于π (13]。通过应用欧拉理论和忽视的影响大位移(有限运动学)(28],悬臂MWCNT的控制方程可以定义以下形式的微分方程边值(13]: 几何和自然边界条件
在哪里X从弯曲的位置沿MWCNT测量结束,U是MWCNT的挠度,表示MWCNT的单位长度分子间作用力。的分子间作用力基于double-volume积分Lennard-Jones潜在的和一些简化可以表示为 对于小数量的石墨烯层(13]。
在上面的方程中,的有吸引力的常量是碳碳互动(29日),而石墨烯表面密度(30.]。用(2)(1),(1 b),使用下面的替换 的无量纲形式(1),(1 b)可以获得如下: 在所有方程'表示分化对吗x。
3所示。人工蜂群优化算法
人工蜂群(ABC)在2005年由Karaboga算法。这个方法是真正的免费梯度优化算法参数优化,从智能觅食行为的启发蜜蜂殖民地(25]。
在自然蜜蜂殖民地,一些任务是由专门的个人。在ABC算法,人工蜜蜂的殖民地包含三组蜜蜂蜜蜂,旁观者,童子军(26]。旁观者蜜蜂蜜蜂等待决策选择花蜜来源。一只蜜蜂将花蜜的源之前访问过的是一种采用蜜蜂。一个侦察蜂蜂巢周围进行随机搜索。ABC算法,采用人工蜜蜂的殖民地由上半年和下半年构成了旁观者的蜜蜂。在Karaboga提出的方法,利用蜜蜂的数量等于食物来源在蜂巢的数量。采用蜜蜂的食物来源耗尽雇佣和旁观者蜜蜂成为侦察蜂。算法的主要步骤可以概括为(26]。(我)初始化人口战略或随机的。(2)重复过程:(一)将采用蜜蜂花蜜来源的记忆;(b)地方上的旁观者蜜蜂花蜜来源记忆;(c)派巡防队发现新的花蜜来源的搜索区域。(3)直到满足要求。
这些专门的蜜蜂试图最大化花蜜量储存在蜂巢通过执行高效的分工和自组织。ABC算法的基本思想和细节解释(25- - - - - -27,31日]。ABC算法,提出Karaboga,花蜜来源的位置代表一个可能的解决方案在优化问题的搜索空间,和食物来源的花蜜量代表了盈利能力(健身)相关的解决方案。
4所示。解决方法
纳米管悬臂梁的控制方程表达的是(1),(1 b)。为了解决(1),(1 b),假设一个离散化的域D与米任意点。在这里,这个问题可以写成以下方程组: 受给定边界条件(2)。
让我们假设作为一个近似解(1),(1 b)中,是一个向量包含可调参数。这些参数(即。,the adjustable parameters) can be evaluated by minimizing the following sum of squared errors, subject to given boundary conditions in (2) 为了变换(5一个无约束的问题,可以写成 在哪里和可调参数。是一个幂级数(),涉及到的可调参数来。在这里,(7)与可调的形式幂级数的系数,它完全满足给定的边界条件(1 b)。
现在,一种优化技术可以应用来确定最优的可调参数(例如,)最小化在(6)。这里,ABC算法评估的可调向量参数v最小化(6)。
不同大小的系列(n= 5,6,7,…,10),域的解决方案分为21搭配点等于香料为0.05。这个配置是申请所有的解决方案在以下文本。美国广播公司(ABC)的控制参数来获得一个精确的解决方案至关重要。增加的菌落大小增加了计算时间,降低群体规模的降低解决方案的准确性,可能导致当地最佳的陷阱。表1显示用户指定参数的最佳组合获得的ABC方法,用于这个问题在以下文本。这种组合的参数是通过试验和错误。
为了验证本方法的收敛性和精度,典型的nanotube-actuator屈曲计算使用PS-ABC方法为不同大小的系列。获得的结果与数值数据以及Adomian分解结果报道Koochi et al。13]。数值结果得到使用枫商业软件,它使用梯形的组合基础方案和理查森推断增强计划(32,33]。在的情况下,提示偏转是获得的数值。纳米管悬臂端挠度的变化(),选择使用不同的系列表所示2。这张桌子可以确保结果的收敛性和精度。看到,更高的精度可以通过评估获得更多的解决方案u(x)。计算的相对误差 在哪里和是悬臂MWCNT尖挠度计算分析方法和技巧挠度计算使用数值方法,分别。在这里,错误表示相对误差。
结果表2表明,PS-ABC系列八的大小几乎聚集了数值结果。因此,幂级数的大小8已经选择在以下文本为了方便。比较这个错误和同一系列的大小Adomian方法(即。,eight terms and relative error of 0.12%) shows that the PS-ABC method could compute deflection of cantilever MWCNTs with more accuracy than Adomian method. The obtained power series with eight term for如下:
5。结果与讨论
图2显示了纳米管的中心线偏差为选定的参数值f。
这个数字显示的参数f很小,可以忽视,屈曲和增加的f,光束偏转到衬底。看到,幂级数解相比,相同大小的(即Adomian系列解决方案。,(13)更强大的模拟nanocantilever梁的挠度和不稳定。图3显示提示挠度的变化的函数f。数据2和3显示,Adomian方法低估了纳米管和绿党的浸渍方法高估了它在纳米管的方法得到了屈曲很好的精度与计算结果相比。
6。结论
在这篇文章中,一个集成的幂级数和人工蜂群优化方法利用,以获得一个解的翘曲MWCNT悬臂梁受到少量的石墨层。控制微分方程是秩序和高度非线性由于固有的范德瓦耳斯和静电相互作用。试验解决方案,完全满足边界条件的形式介绍了可调参数的幂级数。人工蜂群优化算法已成功应用于证明的可调参数试验解决方案。目前方法的结果与数值计算结果以及Adomian分解方法和绿色的方法在文献中报道。发现当前方法的精度明显优于Adomian幂级数的大小相同。因此,PS-ABC方法可以提供一个准确和稳定MWCNT悬臂的解决方案研究。目前的方法可以很容易地扩展到解决其他非线性微分方程边值。未来工作可以集中在比较有效率的ABC方法和其他可用的优化方法来解决目前的微分方程边值。
确认
作者感谢Shahid Chamran阿瓦士大学通过本文的支持。