文摘

轴向运动粘弹性梁的非线性振动横向谐波激励下检查。粘弹性梁的运动控制方程离散成杜芬系统非线性分数导数用伽辽金方法。移动的粘弹性梁部分开耳文所描述的模型是基于卡普托定义。主共振分析调查平均方法。借助响应曲线,参数显示的影响进行研究分数阶和粘度系数的稳态响应。给出了验证本研究通过对比解析解和数值的地方应用解决方案是由劳斯-霍尔维茨方法的稳定性判据。发现的不良反应可以实现通过改变系统的粘度。

1。介绍

轴向移动系统发挥重要作用的模型总是在广泛的工程设备,如电力传输带、磁带,纸张,连锁店,管道输送液体、空中电车,纺织品和纤维。因此,研究这类系统的动态行为进行了在过去几十年,感兴趣的仍然是今天1- - - - - -3]。特别是轴向运动梁的问题和微/纳米梁轴向加载广泛被解决在某些方面的分析,如自由振动(4],稳定性分析[5,6),离散化方法(7),建模技术(8),不同的解决方法(9,10),和非线性动力学5- - - - - -20.]。在建筑设计和建筑行业,表现出优异的阻尼特性的材料被广泛用于制造结构以提高其性能从振动控制的角度。越来越多的研究活动已经出现,从而探讨轴向运动粘弹性梁的非线性振动4- - - - - -18]。为了更好地理解阻尼机制,一些经典本构模型如开耳文(5- - - - - -19和参数齐纳模型20.)采用有效地描述粘弹性材料的动态响应。虽然古典模型包含弹性和粘性的组合元素,它们没有足够的参数来处理磁滞回路的不同形状反映出粘弹性材料的性质和结构。因此,分数微积分(21]介绍了本构关系来获得一个令人满意的解决方案真正的粘弹性材料的反应在一个大范围的频率(22,23]。尽管仍有一些未解决的数学问题,分数微积分现代粘弹性问题成为关注的焦点(24- - - - - -32]。

本研究致力于研究轴向运动粘弹性梁的动态行为横向谐波激励。假设梁的材料遵循开耳文模型基于分数卡普托的定义。非常讲,一任Garlerkin的技术,梁的控制方程离散成一种非线性杜芬方程的非线性部分运营商(26- - - - - -29日]。利用一阶平均方法推导出调制方程的稳态振幅和阶段管理系统。然后,应用研究的解决方案是劳斯-霍尔维茨方法的稳定性判据[33]。最后,代表计算的结果描述和简要地讨论了振动控制的观点。

2。运动方程

目前的研究认为统一的轴向运动粘弹性梁,如图1,密度 ,横截面积 ,和惯性矩 。初始张力由 。光束传播以恒定轴向速度两个静止隔开距离结束并受到外部横向力 。在这里,假设激励空间制服,暂时谐波: ,在哪里和分别代表了时间和轴向坐标。只有弯曲振动所描述的横向位移 被认为是在这里,和牛顿第二运动定律的收益率 在哪里 和 分别是干扰轴向应力和弯矩。

梁的粘弹性材料遵循分步开耳文模型(27,28,30.)及其本构关系给出如下:

在这代表了杨氏模量表示粘弹性系数。揭示几何非线性由于小但有限伸展的梁,我们采用拉格朗日应变 ,这是定义为

在方程(2),表示 - - - - - -分数微分算子对时间顺序卡普托意义上的(21]。 在哪里是著名的伽玛函数。此外,细长梁,采用线性moment-curvature关系。

替换的方程(2),(3)和(5)方程(1),收益率横向轴向运动粘弹性梁的控制方程

在目前的调查,简支的边界条件,即:

使用下面的无量纲的计划,

方程(6)成为

与边界条件

3所示。稳态响应和稳定性分析

在这项研究中,一个学期加勒金的方法应用于离散化方程(9),它的解决方案被认为是如下: 在哪里梁的模态坐标。这时,一个非线性分数微分方程推导如下:

为简单起见在以下的分析中,方程(12)改写如下:

与

值得注意的是,方程(12)或(13)是一种非线性杜芬方程非线性分数算子(26- - - - - -28]。

接下来,描述的部分系统的主共振(13由线性平均法)将调查。我们主要关注研究阻尼参数的影响和分数阶的稳态响应。的应用研究了固定解决方案劳斯-霍尔维茨方法的稳定性判据[33]。

获得的主共振部分振荡器(方程(13)),我们引入一个小的参数 。我们降低主共振的设置 。然后,方程(13)改写如下: 的参数仅仅是表明假定的渺小的条款没有任何物理意义。解决方案在 可以书面形式如下: 在哪里和是集成常数由初始条件确定的。当 主共振频率附近的近似解区域可以被视为一种干扰的解决方案(16)。在这种情况下,和是缓变函数的时间吗这样的衍生品 。根据平均的方法中,我们假设系统的解决方案采用以下形式: 这意味着

在方程(微分第二个方程17)对给以下方程:

用方程(17)和(19)方程(14)会导致以下方程: 在哪里 。

基于平均方法,方程的右边(20.)可以被其平均在一个周期内所取代是一个周期函数对吗 。然而,由于存在分数导数的方程(20.),应考虑无限区间,我们有以下方程:

因为我们只考虑稳态,的分数阶导数可以很容易地推导出基于分级定义给出了方程(大约4)[21,27,32),如下:

随后,平均方程(21)也可以集成在一个周期内,当的分数阶导数被各自的近似方程(22)。然后,我们平均方程(20.)如下: 在哪里

直接计算产量 在哪里

小参数减少在方程(25通过引入一个缓慢的时间尺度 ,我们有以下方程: 在哪里 。稳态条件下 给以下方程:

然后,振幅的变化和相位稳定状态的主要反应作为一个分数阶的函数。外部激励以及其他控制参数可以由这两个方程。

接下来,系统的解决方案的稳定性分析的平衡态附近大约是探索的雅可比矩阵的特征值方程(27)评估固定的兴趣点。为了做到这一点,小扰动响应的振幅和相位 和 ,介绍了代入方程(27)。然后,得到线性化方程如下: 在哪里 与

本征函数的线性化方程(29日)如下: 与

从Routh-Hurwitz标准33),稳态响应是渐近稳定的,如果且仅如果真正的部分特征值是负的。它可以通过以下方程:

4所示。验证和数值模拟

在下面,在主共振条件下参数的调查进行了揭示了影响控制变量的稳态响应梁的振动控制的观点。取得了近似结果,说明了频率,迫使振幅响应曲线,实线代表稳定的结果,虚线的对应于不稳定的结果。稳定的解决方案和不稳定的之间的区别是由不平等(方程(34)使用Routh-Hurwitz标准[33]。在计算,系统参数方程(12)已经采取了如下14]: , , ,和 。

4.1。分数阶对系统响应的影响

在数据2和3,迫使频率在固有频率附近( )被选为分岔参数。迫使振幅响应曲线是描绘在图4。

分数阶的影响粘弹性系统的动态行为是首先调查。响应曲线的几例: 绘制了系统的固有频率附近的频率范围在图吗2。它是明显地看到,当 ,随着迫使频率逐渐从4稳定反应增加直到发生鞍结分岔 和另一个发生在鞍节点 ,双稳态区间或滞后的面积可以计算。双稳态区间,有两个稳定吸引子和一个不稳定的吸引子。这是一个典型的特点,由于其在主共振的立方非线性杜芬振荡器(33]。随着迫使频率的增加逐渐从点P,从共振响应跳分支nonresonance分支和系统经历一个鞍结分岔点P。相应地,从nonresonance分支迫使频率高,响应经历一个转换再次共振分支通过另一个鞍结分岔点的跳起来问。在响应曲线 ,虽然跳现象存在,跳跃的位置 和 移到左边,和跳区域的宽度(即。滞后区)明显萎缩。此外,系统的响应振幅衰减的同时。随着分数阶的进一步增加,迟滞域降低。最终,增加超过一定临界值,跳跃可以消除,这是显示在图2当 。这意味着分数阶可以稳定系统。

此外,振幅响应曲线也在图4来验证上述结论,响应振幅绘制迫使振幅的函数。可以很容易地得出类似的结论。

4.2。粘弹性系数的动态行为的影响

粘弹性系数的影响然后粘弹性系统动态行为的调查和频率特性曲线为不同的系数,提出的图形化 在图3。发现的影响参数更类似于分数阶 。当 例如,与激励频率是逐渐增长,稳定响应的振幅不断上升直到第一个极限点 ,的解决方案通过一个鞍结点分岔变得不稳定。相反,强迫频率降低,振幅展品跳起来的鞍结分岔点 。此外,滞回面积缩小并最终消除粘弹性系数增加。同时,响应振幅衰减的情况下有一个相对较大的粘弹性系数 。

4.3。验证

来验证前面的讨论,分析结果与数值解比较直接数值积分技术的实现。系统的主共振图所示5,采用的控制参数集的选择 , , , , , ,和 。图中所示5,动态稳定的解决方案,如“稳定极限,”显示中给定的条件(34)。也可以观察,分析结果达到良好的协议与数字技术的解决方案。

5。结论

的平均技术,在目前的调查,轴向运动粘弹性梁的主共振响应系统已经从振动控制的角度分析调查。不同的系统参数的影响,如分数阶粘弹性系数,粘弹性梁的动态响应的图形。从调查,以下的结论了:(1)它已经表明,滞后或跳现象发生由于多个解决方案响应曲线的存在,而与分数阶的增加滞后地区合同或粘弹性系数。(2)这两个参数的关键价值存在,除了滞后地区可以被消除。他们降低了振动振幅的增加。(3)分数阶和粘弹性系数是在稳定系统强大的因素。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

信息披露

的预印本文献[34)曾提出在工程档案(doi: 10.31224 / osf.io / 2 wsv6)。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究支持由中国国家自然科学基金(号。51808212,51708205,11502160),为人才引进项目资金泰山大学(没有。Y2014-01-18),山东省自然科学基金(ZR2019MA017号,ZR2021MA086)。