文摘

结构材料特性在本质上是异构的,将具有不同的数据在不同长度尺度的空间平均效应。这项工作发展的框架梁结构的模态分析在多尺度与随机场模型。在这个框架中,随机采用场论模型异构材料属性,以及材料之间的互关联属性是显式地考虑。结构的模态参数然后评估使用的有限元(FE)方法模拟非均质物质的属性作为输入。借助蒙特卡罗模拟,以概率的方式分析了模态参数。此外,以适应不同的网格大小的必要性在有限元模型中,一种方法评估随机场参数并生成随机领域材料特性在不同长度尺度。拟议的框架的性能证明通过简支梁的模态分析,制定的多尺度随机方法验证和不均匀材料属性对模态参数的影响进行了分析。参数随机场参数研究,包括变异系数和波动的规模,也进行了进一步调查随机场参数在不同尺度之间的关系。

1。介绍

评估可持续性的结构(例如,建筑和桥梁)是一个长期的问题在土木工程的社区(1- - - - - -3]。结构往往受到动态载荷,如风速、海浪、地震、交通、和人类活动,这可能会逐渐恶化的终身可持续发展结构。力大小和方向的动态负载保持改变随着时间的推移,导致结构表现出复杂的力学行为。模态参数,包括模态频率、模态、模态质量、模态阻尼比,一组固有参数,描述结构的动态属性(4]。尽管动态载荷的改变的性质,模态参数保持不变,独立于外部动态载荷的类型和范围5]。模态分析的目的是确定一个结构的模态参数,因此已成为一个重要的任务范围广泛的应用程序,如使用可靠性分析(6),振动控制(7,8)、负载估计(9],[结构损伤识别10,11),和结构健康监测12,13]。

理论和方法来确定结构的模态参数是相对发达的国家。对于结构简单的几何图形,如悬臂梁,板,或壳结构模态参数的解析解可能是可用的(4]。对具有任意形状和各种成分的复杂的结构,有限元(FE)方法通常是用来近似模态参数离散的方式(14- - - - - -17]。从技术上讲,一个结构的模态参数是完全取决于其材料特性(如质量、刚度、阻尼等)(4]。早些年,模态分析是研究结构,比如均匀材料简单(例如,14,15])。然而,结构的材料特性在本质上是空间变量(18- - - - - -24]。空间结构的差异可能源于多种因素,如材料成分的波动,断裂缺陷,和变量历史负荷条件。最近,模态分析与空间的考虑不同材料参数已经在上升(25- - - - - -28),部分由于概率有限元分析的发展策略和计算能力的增加。

在概率模态分析的研究,模拟非均匀结构的方法基本上可以分为两类:随机变量方法和随机方法。在随机变量方法中,结构的材料特性建模为一组相互独立的随机变量(即。,没有任何相关)。这种方法是最适合的造型结构,由简单的组件,每个组件是离散成一个单一的元素在有限元分析。例如,丁等。29日)征收1%的不确定性与高斯分布的元素刚度参数平面桁架结构占建模错误。随机领域的方法,材料属性模型由一组随机变量的自相关。附近的两个元素,对方往往有相似的材料属性由于彼此高度相关。这种相关性随增加分离这两个元素之间的距离。第二类,即。,the random field approach, is more appropriate for modelling continuous structures. In this category, for example, Su et al. [26]认为杨氏模量和密度的简支梁与正态分布作为一个随机领域,开发了一种基于结构损伤识别的可靠性方法的响应面方法和蒙特卡罗模拟法(MCS)。

参考随机领域的方法,一个随机领域通常指的是两个组件:一个分布模型描述所有可能的值的概率密度分布的材料属性在不同的位置和相关函数,描述两个地点的材料性能之间的关系。有古典解分布模型(如正态分布和对数正态分布30.])和相关函数(例如,单指数函数(31日])的参数,通常是通过一个网站调查过程(32- - - - - -34]。目前,随机场理论已广泛应用于岩土工程来解决自然和人工的随机异质性土壤(35- - - - - -39]。它导致了许多鼓舞人心的研究范围广泛的应用程序。例如,随机场理论已被用于执行概率稳定分析斜坡和立足点40,41),执行海床液化的概率评价(42,43],描述土壤压实的效果[44),和描述土壤污染的水平45]。随机场理论在结构工程的应用特征结构材料特性是相对较少,而最近却在增加。

应用随机场时的方法来模拟非均匀结构,重要的是要认识到,确定材料属性的数据元素与特定的大小,即。在现场调查,测试样本的大小。可能会有相当大的不同大小的数据元素之间的差异。例如,材料属性的方差的一大元素往往是小于一个较小的元素由于空间平均效应。因此,随机场参数特征在一定规模不能直接应用到生成一个随机的材料属性在另一个领域。然而,在有限元分析中,网格的大小不需要与测试样本的大小相同。在某些情况下,大的元素大小采用降低计算费用。造型在不同尺度不均匀材料,FE-based至关重要的结构模态分析,仍然是一个话题的探讨较少。生成随机领域的关键知识差距存在材料特性在不同尺度和理解程度对模态分析的影响。

这项工作的目标是开发一个框架结构动力学的概率特征在多尺度随机域模型。特别地,一种方法评估随机场参数并生成随机领域不同尺度的材料特性,开发适应不同网格大小的必要性FE-based结构模态分析。本文的其余部分组织如下。部分2细节的制定在多尺度随机域模型。第三节框架描述的概率FE-based结构模态分析。第四节报告的结果一个说明性的例子使用一个简支梁,通过制定多尺度随机域模型的验证和对结构的模态参数的影响程度。基于研究结果,结论的工作进行了总结第五节。

2。多尺度随机域模型

2.1。一个随机领域的仿真

众所周知,材料的属性结构不同空间自相关结构。随机场理论是一种有效的方法,模拟空间变化和autocorrelated等材料特性(46- - - - - -50]。为了简单起见,这个工作集中在平稳随机领域,(1)分布,以及相应的统计,每个变量保持不变无处不在,(2)变量之间的相关性在不同的位置只取决于分离距离(51,52]。一个非平稳的字段可以转换为固定场通过移除一个低阶多项式趋势(51)或通过应用空间变形(53]。

在数学上,一个随机领域可以量化为一组随机变量在不同的地点,这些变量是符合联合多元分布(20.,39]。考虑一个固定高斯场的感兴趣的位置,随机领域可以量化为一组随机变量 ,与 代表材料属性值的位置 。变量之间的相关性和可以被描述为一个相关函数 ,在底层的变量代表之间的分离距离的位置和 。例如,一个指数函数(31日),采用这项工作,写成 在哪里是波动的规模。柯列斯基分解的方法开发的(54)是一种有效的方法来生成实现随机但autocorrelated变量。通过使用柯列斯基分解,可以与相关的随机变量的一组独立的随机变量 在哪里同样是一个向量的独立随机变量统计变量和协方差矩阵的柯列斯基分解吗令人满意的 。的协方差矩阵由组件(计算出方程(1)),它描述材料属性值的协方差的位置和 。

以致有多种材料属性和这些材料属性表现出彼此之间的互相关,这些可以模拟多个材料特性遵循类似的柯列斯基分解过程(49,55,56]。 在哪里代表的矩阵阐述材料属性地点,代表的价值矩阵cross-independent材料属性从方程(位置模拟2),代表了柯列斯基分解的协方差矩阵 ,的组件代表材料特性之间的协方差和 ,在哪里 是材料属性索引。

2.2。随机场参数在不同的尺度上

正如上面提到的,一个随机领域的统计评估测试样品有一定规模。为了建立一个随机场参数在不同尺度之间的关系,假设材料属性的值在粗尺度平均这个材料属性的值在相应的精细的位置。例如图所示1,在粗尺度对应于四个元素一个元素在细尺度。材料属性的值在粗尺度由4个值的平均值近似在小尺度。一般来说,材料属性值之间的关系在不同的尺度,通过平均效应,可以作为20.] 在哪里是做精密的数量没覆盖的元素的元素。

假设随机场参数(例如,意思是,标准差,和相关的物料性质给出了小尺度,这种材料属性的统计数据在粗尺度可以通过方程(4)。具体来说,的意思可以通过获得的期望方程(4),这样 在哪里代表了期望算子。因此,计算方差 在哪里代表了材料特性之间的相关位置和在小尺度。根据定义,材料特性之间的相关性在位置和在粗尺度是给定的 在哪里代表了方差算子。以类似的方式,代替和与方程(4)和简化的收益率 在变量和代表精细材料属性的元素的值和对应于没元素和 ,分别。

给出的随机场统计数据在小尺度,粗尺度的随机场统计数据可以根据上面给出的公式来进行评估。通过定理的一个多元正态随机向量的线性组合还有一个正态分布(30.),在粗尺度材料属性,作为一个普通的小尺度材料属性值,也展示一个高斯随机场。材料特性的随机领域粗尺度可以模拟中提供的通用程序2.1节。

2.3。非高斯分布

假定在前一节中,随机领域被认为是一个高斯过程。除了正常的分布,β,γ和对数正态分布也常用在自然科学和社会科学,有其独特的应用程序(20.,30.]。关于的精细材料属性服从一般分布,随机场参数在粗尺度仍然可以评估使用相同的配方在前一节中提出的。然而,没过材料的分布属性成为未知。要解决这个问题,陈等人。20.]提出的几个选项大概没过分布,总结如下。(我)经验功能:实现小尺度材料特性的第一次模拟和平均。经验概率密度函数或累积密度函数没过材料属性可以通过拟合这些模拟实现。(2)精细分布:当能细微元素由一个没过元素的数量很小,它是适合使用相同的精细分布近似没过材料属性模型,但在一组不同的模型参数来反映数据变化升级后小尺度粗糙的规模(见方程(5)和(6))。(3)高斯分布:当能细微元素由一个没过元素的数量足够大,在参考中心极限定理,它更适合使用高斯分布近似没过材料属性。

3所示。概率有限元分析的框架

概率有限元结构动力学分析的框架包括三个主要组件:(1)异构结构材料属性使用随机场理论模拟;(2)模拟非均质物质属性,结构的模态参数评估基于有限元模型;和(3),MCS的援助,这种结构的模态参数进行了分析以概率的方式。本节介绍了制定FE-based模态分析的方法将随机领域集成到有限元模型。

3.1。FE-Based模态分析

在参考一般固体力学问题,给出了广义运动方程 在哪里应力张量,是身体前向量,加速度是矢量,然后呢是材料密度。最基本的问题涉及一个线性弹性材料遵循胡克定律,矩阵方程的形式动态弹簧质量系统。 在哪里 , ,和的质量、阻尼和刚度矩阵,分别;位移矢量;和分别代表了一阶和二阶时间导数运算符;和力矢量。振动模态分析,阻尼通常被忽略,只留下左边第一个和第三个条件(4]: eigensystem遇到的一般形式的结构工程使用有限元分析。获得的模态固有频率和振型可以通过求解广义特征值问题 在哪里和分别代表模态的固有频率和振型。

3.2。与随机领域的集成材料属性

在有限元分析中,域离散成网格,底层材料属性也以离散的方式表示。有几种策略可以用来近似材料属性使用他们的价值观在有限的节点,如中点的方法,形状函数方法,集成点的方法,最优线性估计方法,空间平均法、加权积分法(57]。在这部作品中,中点方法,首次引入了Der Kiureghian和客58采用),由于其简单的实现和计算效率。即材料属性在每个元素是一个常数,材料属性值在该元素的重心。将多尺度随机领域在有限元分析中,有限元模拟的目标网格大小决定,和材料属性的统计数据在这个目标网格大小的统计计算这个材料属性在参考范围内使用多尺度随机域的方法。然后,模拟域离散成网格的目标网格大小和每个元素的材料特性是使用随机生成场理论。最后,材料特性的随机领域导入到有限元仿真代码,以便每个元素都有其特定的材料属性值。结合了随机领域,概率有限元分析MCS后可以执行计划。感兴趣的读者也被称为(59,60)的通用工作流将随机有限元分析领域。应该注意的是,MCS技术可以计算昂贵,因为它需要运行仿真反复大量的试验。有几种其他方法提高计算效率,如子集模拟技术(61年),支持向量机方法(62年),和贝叶斯回归技术(63年]。

4所示。数值模拟

在本节中,一个简支梁为例来验证配方的多尺度随机域模型和随机调查的影响域属性结构的模态参数。梁的跨度长达60 m(见图2)横截面积和惯性矩是11.2米²和20.87⁴,分别。在实践中,在参考范围内材料属性的统计数据,通常可以通过现场调查过程决定的。特别是确定尺度的波动,首先计算semi-variogram及规模的波动是由拟合的semi-variogram采用相关函数(22]。材料属性的统计特征测试样品的参考范围,这种材料属性的统计数据在粗尺度可以确定使用发达多尺度随机域的方法。在这部作品中,字段的质量密度和杨氏模量沿梁都是假定遵循平稳高斯过程互相关。统计数据的质量密度和杨氏模量字段引用(即规模。,筛孔尺寸0.5米)都列在表中1。质量密度之间的互相关和杨氏模量为0.8。这个梁例子曾经研究了苏et al。26证明可靠性框架损伤识别。然而,质量密度之间的互相关和杨氏模量和规模的影响随机场统计数据没有考虑工作。

4.1。一般概率模态分析的结果

首先,模拟随机领域在不同尺度和规模效应随机场统计数据调查。描述的过程2.1节,随机质量密度和杨氏模量可以模拟,并给出实现的例子在图3。在这个例子中实现,质量密度和杨氏模量在每个位置是随机的,但不同的空间有点光滑的方式。积极的质量密度之间的互相关和杨氏模量可以确定通过观察现象的位置有较大的质量密度也表现出更大的杨氏模量,反之亦然。

概率有限元分析考虑随机领域材料属性,mcs通常是需要方法的统计特征结构的动态响应。在这方面,10000实现的质量密度和杨氏模量生成之后将会转换为有限元模型进行模态分析。,10000个模拟随机的结果字段是首先分析调查随机方法和mcs的有效性。中间的梁的材料特性探测,直方图的结果,意思是,变异系数(x)聚集在图10000年实现4。从柱状图可以观察到,质量密度的分布和杨氏模量表现为一个钟形曲线,通过正态分布可以很好。mcs数量的增加,意味着和浸渐近方法指定值。

与10000年实现的物质属性,分别计算梁的模态参数。图5介绍了统计数据(即。,histogram, mean, and COV) of the first-order modal frequencies based on the 10,000 MCSs. The values of modal frequency also appear as a normal distribution with a mean of 13.45 and a standard deviation of 0.33. The COV is calculated to be about 0.025, which is considerably large if comparing with the COV of mass density and Young’s modulus (i.e., 0.05 and 0.1, respectively). The results indicate that the material heterogeneity has a considerably significant impact on the structure dynamic responses. Similar to the evolution pattern of material properties, the mean and COV of modal frequencies also asymptotically approach constants after a sufficient number of MCSs.

随着梁离散成120个元素有240自由度,240的模式形状向量组件。用于可视化、组件对应的梁的变形量提取并重新排列和归一化单位向量。图6显示了形状沿梁的一阶模式。90%可信区间(CI)的模式形状在每个位置形成一个小乐队,表明由于材料异质性变化相对较小。获得更多的洞察物质异质性的影响模式形状,模态保证标准(MAC) (64年进一步调查。MAC是一个统计指标就是最敏感的巨大差异和相对不敏感的小差异模式的形状。这产生了一个好的统计指标和一定程度的一致性模式形状(64年]。在这部作品中,MAC值模式形状之间的异构计算情况和均匀的情况,用于研究非均质性的影响。图7显示柱状图的结果,意思是,一阶模式的张开面积和张开体积形状。对所有10000 mcs, MAC值驻留在一个狭窄的范围从0.999到1。的意思是这些MAC值几乎是一个,和旁边的x是零(例如,约为1.5e−4)。结果进一步表明,材料异质性展览一个相当小的影响模式的形状。

4.2。多尺度随机域模型的验证

在本节中,提出了多尺度随机域模型的有效性将会调查。给出的随机场统计数据的参考范围,即。,0.5 m, the random field statistics at coarse scales can be calculated based on the proposed multiscale random field approach. In this work, mesh sizes of 2, 3, 4, 5, 6, and 8 times of the reference size are considered. After 10,000 MCSs, the statistics of the material property values of each element are calculated and compared with the analytical solutions (i.e., equations (5),(6)和(8))。图8介绍了x和杨氏模量的随机领域在不同的尺度上。对于每一个网格,每个网格的x元素表现出轻微的变化,但所有解析解驻留在一个合理的范围内。的杨氏模量随浸增加网格大小,这是符合事实的空间平均效应。

材料特性之间的相关性的结果呈现在图在不同的位置9。基本上,材料特性在两个地点之间的相关性随分离距离增加而减小。用相同的分离距离,更大尺寸的网格元素彼此之间表现出更强的相关性比那些更小的尺寸。更好地可视化相关变化由于网格大小的影响,粗的相关性变化的大小规模的参考比例计算,分析和仿真结果如图所示9 (b)。总的来说,基于解析解的相关变化和模拟随机领域表现出很好的协议。相关性的大小变化由于规模效应首先增加与增加分离的距离,然后消失的相关性趋于零。

接下来,使用多尺度随机领域进行模态分析的有效性。的模态分析简支梁进行基于网格大小的4 m,即。参考尺寸0.5米的8倍。生成随机领域材料属性是使用两种方法:(1)直接模拟,随机领域的材料属性对应参考网格大小首先生成的,然后加起来,平均生成随机领域目标网格大小的材料特性;和(2)提出了多尺度方法,随机场统计数据的目标网格大小首先评估基于方程(5),(6)和(8),然后转换为模拟的一般过程随机字段生成随机领域材料属性在目标规模。在此,采用直接模拟方法作为基准来验证提出的多尺度方法。图10介绍了累积分布的第一——基于10000年的mcs和sixth-order模态频率。的结果直接模拟方法和多尺度模拟方法表现出很好的协议,表明好该多尺度方法的有效性。类似的分析模式可以也进行了形状和MAC值但并不像他们所示这里介绍的网格大小影响不敏感。

获得更多的定量了解概率模态分析的结果和网格大小的影响,基于网格的模态频率的统计数据,总结了不同大小的表2。对模态频率不同的订单,不同网格大小的概率模态分析提供了几乎相同的结果。然而,轻微的,但值得注意的现象,高阶模态频率(例如,sixth-order模态频率)展示一个微小的增加的趋势随着网格大小。sixth-order模态频率增加从484.78到487.42在模态分析网格大小由八倍放大。

4.3。参数研究浸

自浸在不同的尺度和关联本质上是受浸和相关参考规模在不同尺度(平均值保持不变),然后研究感兴趣的一般关系浸在不同尺度和关联不同的x值和波动的尺度。等目的,x和参数研究和波动进行的规模。杨氏模量的浸在参考范围内改变从0到0.2,浸和相关性在粗尺度上可以计算。图11礼物的结果浸在粗尺度和关联不同的x值的参考范围。两个主要的观察可以基于这些结果。首先,浸在粗尺度增加线性增加浸在参考范围,而增加率随增加网格的大小。第二,在粗尺度相关性独立于浸在参考范围内无论在粗网格规模的大小。

图12显示了评价数据的模态频率的增加浸在参考范围。模态频率的意思是展品的微小却显著减少配置文件增加浸在参考范围。当浸增加从0.02到0.2,意味着第一模态频率展品(即减少约1.1%。从13.49到13.34)。浸的模态频率的变化是更重要的比的意思。它增加几乎呈线性增加浸在参考范围。一阶模态频率约为0.05的浸的浸杨氏模量参考规模增加到0.2。

图13介绍了MAC的结果值不同的x值的参考范围。MAC值计算基于图形模式的异构情况和均匀的情况。类似于模态频率的演化剖面,MAC值的均值下降和浸浸在参考规模增大而增大。当浸在参考规模增加到0.2 MAC的区别和团结是小于1000,和MAC浸也小于0.001。总的来说,结果表明,材料的异质性展品对模式的形状影响很小。

4.4。参数研究波动的范围

最后,随机场统计和模态参数对不同尺度的波动进行了分析。图14提出了浸的结果和相关的规模波动从10增加到50米。波动的规模增加,浸在目标规模增长和方法浸在参考范围内;减少的相关性和方法参考的相关计算规模。一般来说,一个随机领域会表现出严重的空间变化波动很小的规模,它将表现为均匀场如果波动趋于无限的规模。在均匀场的情况下,物料性质是相同的在领域,成为一个随机变量。结果表明,网格大小的影响随机场统计数据变得不那么重要的波动随着规模的增加。

统计数据的一阶模态频率为不同尺度的波动呈现在图15。虽然模态频率展品的均值与波动的增加规模增加的趋势,变化的意思是被认为是可以忽略不计,即。,不到0.1%。浸的模态频率增加的规模波动增加。这是合理的,因为x增加和相关的随机领域随波动的规模的增加而减小。浸的增加和减少的相关性表明更大的变异材料属性字段,从而导致更大的模态参数的变化。模态频率的浸展览相当重大的变化(即。,increases from about 0.016 to 0.028), when the scale of fluctuation changes from 10 to 50 m.

一阶MAC值的统计数据对不同尺度的波动呈现在图16。虽然MAC值的意思是先增加然后减少而浸先增加然后减少波动的增加规模,变化在旁边的张开面积和张开体积是微不足道的。基于概率模态分析的结果与不同网格大小和不同的随机场统计数据,指出材料异质性具有相当重要的对模态频率的影响,应该考虑在可靠性结构损伤识别等应用程序,虽然它有微不足道的影响模式形状以及MAC值,因此可以忽略这样的应用程序计算简单。

5。结论

统计数据(例如,意思是,方差,和规模的波动)的材料属性将有不同的值在不同的长度尺度的空间平均效应。这项工作提出了一种概率框架梁结构的模态分析在多尺度与随机场模型。一种方法评估随机场参数并生成随机领域材料特性在不同的尺度上开发基于元素平均。概率分析的简支梁为例,执行和多尺度随机领域的有效性方法和随机字段属性结构模态参数的影响进行了研究。结果,可以得出以下结论。(1)材料属性的不确定性减少,而相关元素大小的增加而增加由于空间平均效应,而意味着保持不变。不均匀材料属性不同的元素大小可以有效地使用发达多尺度随机生成方法。(2)有相对重要的模态频率的不确定性,由于不均匀材料属性,而不确定性模式形状相当小。结构动力学可以准确地使用多尺度随机域特征的方法,它允许使用粗网格的有限元模拟,从而提高了计算效率。(3)材料属性的不确定性特征较粗的规模与参考范围的不确定性增加,而相关性依然不变的对不确定性的变化在参考范围。与增加的规模在参考范围内波动,较粗的规模的不确定性增加,而较粗的规模减少的相关性。(4)不确定性的模态频率与材料性能的不确定性增加,同时也增加而增加的规模的波动。材料异质性具有相当重要的对模态参数的影响,应适当考虑在结构可靠性分析等应用。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家基金批准号51108472。的支持。作者想感激军军郑教授的评论和讨论在武汉大学经济与管理学院。