相场模拟裂缝各向异性材料

文摘

相场法是一种广泛使用的技术来模拟裂纹萌生,传播,聚结而不需要跟踪断裂表面。在相场理论,创建一个断裂表面单位面积的能量等于临界能量释放率。因此,精确的定义crack-driving部分是模拟裂纹扩展的关键。在这项工作中,我们提出一个修改后的相场模型来捕获复杂的裂纹扩展,弹性应变能的分解成volumetric-deviatoric能源部分。因为volumetric-deviatoric能源分裂,我们引入一个新的crack-driving能源来模拟复杂的形式。此外,提出了一种新的退化函数来模拟裂纹的过程在脆性材料不同的降解率。该模型由一个交错算法实现和验证相场模型的性能,和几个数值例子在平面应变条件下构造。所有给出的例子说明该方法解决问题的能力的脆性断裂传播。

1。介绍

在机械裂纹扩展是一个活跃的研究课题,能源、环境工程,如地下挖掘、石油开采、核废料储存(1- - - - - -3),在过去的几十年。特别是,预测调查摘要失败在岩石或如磐石般坚韧的材料是一个复杂的问题,由于先前存在的裂缝和孔洞的存在影响强度等机械性能。地质材料的混凝土和石膏/低监禁,失效模式是脆弱的压裂可以解释为格里菲斯的理论(4)和假设创建断裂表面单位面积上的能量等于临界能量释放率 。根据格里菲斯原理,研制了许多数值计算方法。数值模拟裂纹扩展的技术可分为离散和扩散/涂片方法取决于他们如何处理不连续。

离散方法试图捕捉准确的拓扑结构在一个显式的或隐式的方式方法。例如,扩展有限元方法(XFEM) (5,6)已成为一个流行的工具考虑不连续。它使精确的近似解与跳跃在元素通过额外的浓缩不连续的函数和渐近字段,从而避免再啮合了域。然而,算法跟踪复杂的断裂表面的演变是一个单调乏味的任务的数值实现。破解粒子方法(CPM) (7- - - - - -9)是一个务实的替代显式建模的裂纹表面裂纹是由一组粒子开裂裂纹传播时,可以很容易地更新。

弥散裂缝建模方法是基于假设裂纹材料的不连续不锋利,但可以解释为抹损伤(10,11]。最近,相场法(12,13)已经吸引了太多的关注,因为它的简单数值实现。在相场模型中,采用相场的光滑边界近似的内部不连续边界裂纹。骨折的相场模型的使用可以规避跟踪裂纹扩展的复杂性,通常需要在离散模型。在这个研究中,我们采用相场方法和提出新的修改为了优雅模拟复杂地质材料断裂过程。提出的相场法布尔et al。14),并进一步开发的博登et al。15)和Miehe et al。16,17]。由于其强大的能力来模拟复杂的断裂过程如成核、传播、和分支,努力为脆性断裂和扩展也被做(18- - - - - -24),混凝土裂缝(25,26],韧性断裂[27- - - - - -30.)、动态断裂(15,31日[],基本压裂问题32,33对各种材料。

这个模型背后的基本概念是标量损伤场的引入,范围从0(未损坏的材料)到1(完全损伤材料),代表材料的断裂或损坏的程度(13]。裂纹扩展的问题是按顺序重新作为标准multifield问题,可以使用传统的有限元方法处理二维和三维情况。因此,裂纹不连续问题规避,复杂裂纹演化可以治疗自然毫无困难。相场模型开发的框架内断裂的变分原理(14),这进一步增强了它的吸引力。原则(12,34)可以被视为一个泛化的格里菲斯理论使它不仅预测裂纹萌生的裂纹扩展路径。此外,变分原理的解决方案在全球范围内而不是局部最优;因此,任何新的裂纹成核可以提前发现自然没有指定[14,34]。

尽管有这些贡献,这些相场模型假设不同裂纹的临界能量释放率的模式是相同的,但事实上很多材料都没有。在如磐石般坚韧的材料,如混凝土、石膏、i型断裂的临界能量释放率明显低于Mode-II骨折。这个特性复杂的造型为岩石裂纹现象。与单斜裂纹岩石标本压缩下,翼裂纹首先出现次生裂缝紧随其后。据报道(35,36]翼裂纹是i型裂纹(拉伸裂纹),而二次裂纹通常是Mode-II裂纹(剪切裂纹)。连续出现的翼和二次裂纹的相当大的差异可以归因于不同的裂纹的临界能量释放率模式。因此,有人建议(37),这种现象不能被使用传统的临界能量释放标准,不考虑不同的临界能量释放率为i型和mode-II骨折。

摘要修改后的相场模型提出了脆性断裂区分模式下我的关键的释放率和mode-II裂缝。这是通过积极的能量密度分区成不同的部分对应于不同的裂缝模式。本文的组织结构如下:在部分2,相场法的基本原理是首先简要总结。部分3详细介绍了数值实现。节4验证了数值模拟的准确性,通过使用元素的例子;然后一些经典实验测试是模拟。最后,部分5总结了纸。

2。相场方法的基础

在本节中,一个任意有限计算域 被认为是与外部边界 和内部不连续 如图1。外部边界∂Ω分解成两个不相交的部分和 ,也就是说, 和 。域受到狄利克雷边界条件,为 ,和诺伊曼边界 ,与相应的外单位法向量和 。诺伊曼条件施加拉力在 。

2.1。能量函数

在简介部分已经提到,脆性断裂的相场方法是基于布等的工作。13)和正则化的变分公式由格里菲斯的脆性断裂理论,首次提出在1998年由弗兰克福特和Marigo12]。忽略了惯性效应和假设准静态条件下,总能量的功能 固体的弹性能量的总和 ,断裂的能量,和外部工作。因此,总功率是写成 与线性应变张量 给出的 在哪里表示身体的位移场和和分别表示梯度和对称梯度运算符转置运算符。

关于分裂的能量密度函数的选择,介绍了volumetric-deviatoric能源Lancioni提出的分割和Royer-Carfagni [38]。各向同性和线弹性假设固体时,弹性能量密度 被编写为 在哪里 是偏应变张量的分量吗 , 是材料的体积弹性模量,瘸子是常数,我二阶张量,单位和和是偏和体积弹性部分的张量 ,并定义如下:

2.2。相场近似为断裂能量

相场模型中,标量场(相场)是用于分散尖锐的裂纹拓扑(16,17)在一个域,避免了复杂的裂缝跟踪程序和裂纹表面的显式表示在离散裂缝方法(39]。因此,窄过渡带连接完全断裂和完整的域的位移仍然持续。准静态的上下文中脆性断裂的弹性固体,裂缝是近似的乐队有限厚度相场的特征 如图1满足下列条件:

这个变量表示材料的损伤。材料是完全坏了 ,和 代表了完好无损的状态。一个典型的一维相场与指数函数近似:

长度尺度参数起着重要的作用,控制裂缝之间的过渡区和完整的材料。

对于2 d和3 d问题,裂纹表面密度单位体积的固体是由17]

因此,利用方程(6),断裂能量方程(1)可以写成

2.3。对进化的相场控制方程

注意到制定相场方程(1)不区分断裂行为在张力和压缩。因此,基于弹性能量的volumetric-deviatoric分解,更充分的选择分割将采用(40]:

我们遵循Ambati et al。41)和假设相场影响积极的弹性能量的一部分: 在哪里 是稳定的刚度矩阵的参数确保数值收敛。利用方程(8)和(10),方程(1)可以写成

后Miehe et al。16,我们得到两个耦合的当地方程: 在哪里应力张量,定义为

退化函数描述残余应变能的比例和总应变能在裂纹演化。退化函数是一个单调 和 。实际上,退化函数的选择取决于材料的力学性能。出于这个原因,灵感来自于工作的42- - - - - -44),在这项研究中提出了一种新的退化函数来描述一个大范围的失败过程:

在这个退化函数,米是一个无量纲材料参数,描述应变能的降解速率相场的演变,如图2。为了防止裂纹愈合,我们利用当地历史的定义字段Miehe和Schanzel[提出的45)建立相场变量之间的关系和最大参考能源史上,即给出以下关系: 在哪里参考的身体和物质点t拟时间。因此,最终给出进化相场方程

脆性拉伸断裂的临界能量释放率明显低于compressive-shear骨折。捕捉这一特性,在这个工作中,该模型包含不同的贡献的能量成分裂纹增长,就是能捕捉拉伸和剪切裂缝根据应变状态。因此,方程(16)可以写成 的参数和是重要的能源强度和compressive-shear骨折,分别。和表示部分的弹性应变能的volumetric-deviatoric分裂: 在哪里是亥维赛函数。

3所示。数值算法

在本节中,我们描述的数值算法实现裂缝延伸在各向同性介质的相场模型。我们使用有限元方法离散化空间域和交错方案解决耦合方程和追求更高的收敛速度。

3.1。有限元离散化

给出了控制方程的弱形式

四边形节点元素的2 d和3 d立体eight-node元素实现批量域离散化 。节点值和离散如下: 在哪里n每个元素的节点总数。表示与节点相关联的形状函数我。相应的矩阵可以表示为空间的衍生品

然后可以表达梯度:

根据21)和(22),在元素的节点的贡献我剩余的整体系统方程给出 在哪里和表示外部力量和内部力量,分别对应于位移,而可以解释为内心的力量相场。我们使用牛顿迭代过程来获取解决方案通过 和 。相应的切线的元素水平可以获得基于内心的力量: 在哪里四阶弹性张量的吗

3.2。交错方案

采用交错方案;在每个增量步的地方,控制方程(23)解决u通过冻结d。更新弹性压力后,我们解决的相场演化d。重复这一步,直到达到收敛性判据。位移场之间的强耦合和相场引入了一个相对复杂的数值的过程。因此,N-R需要迭代过程求解这个非线性方程。为了清晰起见,我们的流程图N-R迭代计划图3。

4所示。验证所提出的方法

在这一部分中,从最简单的情况下,我们比较不同元素的方法,介绍了越来越复杂的情况下。在所有情况下,总结了相关的数值参数,然后结果和解释所示。在所有情况下(平面应变),元素的厚度是1毫米。网格是强化,预计裂纹传播,在文本中指定大小,网所示的一些数据。结果显示Miehe et al。17),长度尺度参数总是采取两倍裂纹路径周围的最小元素。

4.1。元素的

一个2 d平面应变元素是最简单的情况下,来验证该模型的正确性。几何形状和边界条件如图4(一)。底部节点限制在两个方向上,而我们允许节点纵向滑动。对于均质材料的情况下, , = 0.3, kN /毫米, kN /毫米, 毫米的报道(43,46]。加载历史分为1000步不断增加 毫米。

图4 (b)显示了宏观应力-应变关系和损伤演化的比较之间的解析解,该方法。很明显,这两个解决方案以及恢复彼此见此图。这表明提出的相场方法可以描述均质材料的破坏过程。

4.2。三点弯曲试验

在本节中,一个例子给出了三点弯曲试验的问题由Perdikaris和罗密欧47)和广泛的基准模型数值调查我面混凝土断裂能量。因此,一些以前的经验和结果可供比较。试样的几何和装载条件图所示5。两个不同的有限元网格,如图6。它相当于6252个元素在粗网格和细孔中的18474个元素。开槽梁上施加的位移 毫米。

杨氏模量是作为 MPa。的参数一方面提供了实验 N /毫米,另一方面,可以通过线性弹性断裂力学计算考虑到尺寸效应(48]。根据工作阐述了(48),一个人 N /毫米。

图7说明了裂纹演化过程预测的相场模型。从切口尖端裂纹将对梁的上表面和传播。比较裂纹演化过程图6,裂缝的速度增长的 N / mm是速度比另一个,和相应的compressive-shear临界能量释放率 N /毫米, N /毫米,分别。

图8从本研究比较了荷载位移响应实验数据。没有检测到两个考虑网格,网格依赖性和梁受非周期的加载。在的情况下 N /毫米, N / mm,最大力量,从模拟梁可以维持12.3 kN非常接近实验数据(12.0 kN)。然而,服用 N /毫米, N /毫米,高峰负荷约13 kN比实验结果高出8.3%。

模拟部队都下降速度远远超过达到承载力后的实验数据。这些偏差在一个方面源于一个线性骨折模型用于模拟,而真正的骨折是非线性的;模型忽略了任何塑性变形。它可以澄清通过检查荷载位移曲线周期和非周期的载荷。

4.3。l形板测试

在本节中,我们模拟裂纹扩展的l形板。问题的几何形状和边界条件是描绘在图9(一个)。实验结果从[49),和图9 (b)说明了裂纹路径得到的相场模型并添加实验的范围得到裂纹路径(阴影部分)。材料参数选择如下(50]:杨氏模量 MPa,泊松比 , 毫米,拉伸断裂能量 kN /毫米,compressive-shear断裂能量 kN / mm [51]。仿真是增量的步骤 毫米。

计算域离散使用51766元素与细网格分配给关键区。图10说明了裂纹发展几家加载阶段。相应的荷载位移曲线呈现在图11。为 ,从仿真的裂纹路径位于路径中观察到真正的考验。相应的荷载位移曲线如图(11日);全球响应匹配实验钟声负载。模拟的反应部队稳步增加到最大值,然后急剧下降。进一步调查长度尺度的影响,第二个模拟执行与规模更大的长度( )。为 ,扩散裂纹路径获得由于规模相对较大的长度。尽管通过使用获得的最大力量 甚至更低,如图11 (b),预测裂纹路径同意与实验数据(图10(b))。该模型与实验结果相当好协议的裂缝模式。

4.4。压缩的岩石板双缺陷

为了进一步验证修改后的相场模型提出和强调它的功能,涉及骨折合并被认为是裂纹扩展。图12显示了一个示意图说明问题的,与双斜打开缺陷试样在单轴压缩加载。这样的试验已被广泛研究实验(35和数值52)通过压裂前标本单轴压缩下的石膏。在测试中,石膏试样长76.2毫米,152.4毫米高。缺陷的长度和宽度是12.7毫米和0.1毫米,分别。缺陷的几何术语所代表的是“ ,”,如图12。这里我们考虑的情况下“45 - 2一个- 2一个“几何(2一个= 12.7毫米)。位移增量 规定符合实验室检测(35]。

材料的力学性能 MPa,泊松比 , 毫米,拉伸断裂能量 kN /毫米,compressive-shear断裂能量 kN /毫米。数值模拟了裂缝模式类似于实验观察,也就是说,四翼裂纹的增长和次要的聚结和一个翼裂纹。压裂过程中更详细地解释在图13。最初的四翼裂纹的稳定增长(图13 (b))。外翼裂纹继续增长,并随后剪切裂纹的尖端,接近内部发起的缺口;它凝结内翼裂纹的降低切口(图13 (d))。然后,内翼裂纹上切口位于一个强大的剪切应力状态和方法(图先前存在的缺陷13 (e))。最终,他们相互联系。到目前为止,模拟裂缝模式非常相似的实验(35]。

5。结论

本文提出一个新的框架基于分割的相场方法的断裂能量释放率模拟岩土材料中的裂纹扩展。拉伸裂纹的临界释放率明显低于剪切裂纹的能量释放率。建议的方法,crack-driving能量识别,和一个新的退化函数介绍,一个无量纲参数用于描述脆性材料的裂纹扩展与不同的削弱率。

一些数值例子。首先,修改后的相场模型被广泛使用的基准的例子,验证和仿真结果同意分析结果。此外,演示的能力修改相场模型在模拟裂纹扩展和分岔的脆性材料,提出了几个数值的例子。提出了裂纹扩展的现象表明,修改后的相场骨折模型给出了在良好的协议与实验观测结果对裂纹应力加载模式和至关重要的。

综上所述,修改后的模型能够描述脆性的失败行为和失败的过程。此外,值得注意的是长度参数和临界能量释放率的影响在仿真结果需要进一步调查53]。在未来的工作中,该方法可以扩展到预测裂纹扩展multi-physics问题,例如,水力裂缝延伸和传热。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关这篇文章的出版。

确认

这项工作得到了中国国家重点研发项目(2017号yfc1501100),中国国家自然科学基金(12072102),为中央大学(没有基础研究资金。B200203085),江苏省研究生创新研究与实践项目(没有。KYCX20_0440)、中国博士后科学基金会(2021号m690047),海外学者和科技创新项目在南京(B2004806)。作者还要感谢的支持江苏省六大人才高峰计划和项目培养中青年科学江苏省高校领导人,中国。

引用

1. j·f·邵、k . t .洲和x t·冯”建模脆性岩石的各向异性损伤和蠕变”国际岩石力学和采矿科学杂志》上,43卷,不。4、582 - 592年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. 学术界。陈,c。陈,黄永发。吴”,断裂韧性分析各向异性岩石破裂环磁盘上,“岩石力学和岩石工程第41卷。。4、539 - 562年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. 吴k和j·e·奥尔森,”同时multifracture治疗:完全耦合的流体流动和断裂力学水平,”石油科学与工程》杂志上卷,147年,第800 - 788页,2016年。视图:谷歌学术搜索
4. a·a·格里菲斯”破裂的现象和流动固体,”英国伦敦皇家学会哲学学报。系列,包含论文的数学或物理特性(1896 - 1934)卷,221年,第593 - 582页,1921年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. n .西红柿、j . Dolbow和t . Belytschko”没有再啮合裂纹扩展的有限元方法,”国际期刊工程中的数值方法,46卷,不。1,第150 - 131页,1999。视图:谷歌学术搜索
6. t . Belytschko r·格雷西和g·文图拉,“回顾扩展/广义有限元方法材料造型,“材料科学与工程的建模和仿真,17卷,不。4、2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. t . Rabczuk和t . Belytschko”,一个三维大变形meshfree任意发展裂缝的方法,”计算机在应用力学和工程方法,卷196,不。29 - 30日,第2799 - 2777页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. t . Rabczuk和t . Belytschko开裂粒子:一个简化meshfree任意发展裂缝的方法,”国际期刊工程中的数值方法,卷61,不。13日,2316 - 2343年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. t . Rabczuk g子、美国borda和h . Nguyen-Xuan”一个简单而强大的三维cracking-particle方法没有浓缩,”计算机在应用力学和工程方法,卷199,不。37-40,2437 - 2455年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. r d。Borst j·j·c·雷默斯a .裁缝,M.-A。Abellan”,离散和涂抹裂缝对混凝土裂缝模型:缩小差距,“国际期刊的数值,在地质力学分析方法,28卷,不。78年,第607 - 583页,2004年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. h . Mirzabozorg和m . Ghaemian”,大体积混凝土的非线性行为使用涂抹裂缝的方法,在三维问题”地震工程和结构动力学,34卷,不。3、247 - 269年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. g·a·弗兰克福特和j j。Marigo”,回顾脆性断裂的能量最小化问题,”固体的力学和物理学杂志》上,46卷,不。8,1319 - 1342年,1998页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. b·伯丁·g·a·弗兰克福特和j j。Marigo”,重温了脆性断裂的数值实验,”固体的力学和物理学杂志》上,48卷,不。4、797 - 826年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. b·伯丁·g·a·弗兰克福特和j·j . Marigo”断裂的变分方法,”杂志的弹性,卷91,不。1 - 3、5 - 148年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. m·j·博登c . v . Verhoosel m·A·斯科特·t·j·r·休斯和c m·兰迪斯”的相场描述动态脆性断裂,计算机在应用力学和工程方法卷,217 - 220,77 - 95年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. c . Miehe f . Welschinger, m . Hofacker”断裂的热动力一致的相场模型:变分原理和多领域有限元实现,”国际期刊工程中的数值方法,卷83,不。10日,1273 - 1311年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. c . Miehe m . Hofacker, f . Welschinger”则独立的相场模型裂纹扩展:健壮的算法实现基于算子分裂,”计算机在应用力学和工程方法,卷199,不。45-48,2765 - 2778年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. m·j·波登·t·j·r·休斯,c·m·兰迪斯和c . v . Verhoosel”脆性断裂的高阶相场模型:制定和分析isogeometric分析框架内,“计算机在应用力学和工程方法卷,273年,第118 - 100页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. m·a·Msekh j . m . Sargado m . Jamshidian p . m . Areias和t . Rabczuk”为脆性断裂相场模型的有限元分析实现,”计算材料科学卷,96年,第484 - 472页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. t . Gerasimov和l . De Lorenzis”一条线搜索辅助单片相场方法计算脆性断裂,“计算机在应用力学和工程方法卷,312年,第303 - 276页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. 美国他,:c . Anitescu s Chakraborty, t . Rabczuk”转移学习增强物理了解神经网络的相场模型骨折,”理论和应用断裂力学文章ID 102447卷,106年,2020年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. h·l . Ren x y壮族,c . Anitescu和t . Rabczuk“显式动态断裂脆性相场方法,”计算机与结构卷。217年,45-56,2019页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. p . Areias、t . Rabczuk和m . a . Msekh”相场的有限应变分析细分板块和壳包括元素,”计算机在应用力学和工程方法卷,312年,第350 - 322页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. w·j·李和朱问:z”,完全meshfree数值分析的非局部损伤分布从microtomography材料模型,”国际期刊的固体和结构卷,222 - 223 ID 111021条,2021年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. t·t·阮j . Yvonnet m . Bornert和c .城堡”起始和传播复杂的3 d的裂缝网络异构混凝土材料:原位testing-microCT之间的直接比较实验和相场模拟,”固体的力学和物理学杂志》上卷,95年,第350 - 320页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. t .灯芯,“修正牛顿方法求解完全单片相场静态脆性断裂传播,”计算机在应用力学和工程方法卷,325年,第611 - 577页,2017年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. m . Ambati t Gerasimov, l . De Lorenzis“韧性断裂的相场模型。”计算力学,55卷,不。5,1017 - 1040年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. m·j·波登·t·j·r·休斯,c·m·兰迪斯A . Anvari和j·李,“断裂韧性材料的相场配方:有限变形平衡法推导,塑料降解,和压力三维效果,”计算机在应用力学和工程方法卷,312年,第166 - 130页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. c . Miehe f . Aldakheel, a Raina“韧性断裂相场模型,在有限的特性:一个变分gradient-extended plasticity-damage理论,“国际期刊的可塑性卷。84年,学会年会,2016页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
30. t你,Q.-Z。朱,P.-F。李,肯尼迪。邵,”方法不对称进入塑性损伤相场模型的准脆性geomaterials,”国际期刊的可塑性卷,124年,第95 - 71页,2020年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. 副总裁阮和J.-Y。吴”,建模动态断裂的固体相场正规化软熔带模型,”计算机在应用力学和工程方法卷,340年,第1022 - 1000页,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
32. c . Miehe和美国Mauthe multi-physics领域建模阶段的断裂问题。第三部分。裂纹驱动力hydro-poro-elasticity和水力压裂流体多孔介质,”计算机在应用力学和工程方法卷,304年,第655 - 619页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. 美国周、x壮族和t . Rabczuk”的相场模型fluid-driven动态裂缝在多孔介质中,“计算机在应用力学和工程方法卷,350年,第198 - 169页,2019年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
34. a . Chambolle g·a·弗兰克福特和j j。Marigo”,当裂缝传播?”固体的力学和物理学杂志》上卷,57号9日,第1622 - 1614页,2009年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
35. a . Bobet h·h·爱因斯坦,“骨折合并在岩石类型材料在单轴和双轴压缩下,“国际岩石力学和采矿科学杂志》上,35卷,不。7,863 - 888年,1998页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
36. l . n . y . Wong和h·h·爱因斯坦”系统的开裂行为的评价在标本包含单一的缺陷在单轴压缩下,“国际岩石力学和采矿科学杂志》上,46卷,不。2、239 - 249年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
37. b .沈和o . Stephansson G-criterion修改为裂纹扩展进行压缩,”工程断裂力学卷,47号2、177 - 189年,1994页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
38. g . Lancioni和g . Royer-Carfagni“断裂力学的变分方法。法国巴黎万神庙的实际应用,”杂志的弹性,卷95,不。1 - 2,外墙面,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
39. 西红柿n和t . Belytschko粘性裂纹扩展,扩展有限元法”工程断裂力学,卷69,不。7,813 - 833年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
40. h·埃莫j j。Marigo, c . Maurini“正规化配方的变分与单边接触脆性断裂:数值实验,”固体的力学和物理学杂志》上卷,57号8,1209 - 1229年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
41. m . Ambati t Gerasimov, l . De Lorenzis”回顾脆性断裂的相场模型和一个新的快速混合配方,”计算力学,55卷,不。2、383 - 405年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
42. J.-Y。吴”,一个统一的相场理论力学的损伤和混凝土失败,”固体的力学和物理学杂志》上卷,103年,第99 - 72页,2017年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
43. 曹y . j . w .问:沈,j . f .邵和w·王,“小说FFT-based相场模型损伤和异质材料的开裂行为,”国际期刊的可塑性,第133卷,第102786页,2020年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
44. r·阿莱西j j。Marigo, s . Vidoli“梯度加上塑性损伤模型:变分公式和主要属性,“材料力学卷,80年,第367 - 351页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
45. c . Miehe L.-M。Schanzel”阶段领域建模橡胶聚合物的断裂。第一部分:有限弹性加上脆性破坏,”固体的力学和物理学杂志》上卷,65年,第113 - 93页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
46. Molnar和a . Gravouil“2 d和3 d有限元分析的实现一个健壮的交错相场解决方案建模脆性断裂,“有限元素分析和设计卷。130年,27-38,2017页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
47. p c Perdikaris答:罗密欧,“尺寸效应对混凝土断裂能和稳定性问题在三点弯曲断裂韧度测试中,“材料杂志,卷92,不。5,483 - 496年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
48. z . p . Bazant和j .本书骨折,在混凝土和其他Quasibrittle材料尺寸效应美国佛罗里达州波卡拉顿,CRC新闻,1997年。
49. b·j·温克勒Traglastuntersuchungen冯Unbewehrten和Bewehrten Betonstrukturen auf der Grundlage进行Objektiven Werkstoffgesetzes毛皮混凝土奥地利因斯布鲁克,因斯布鲁克大学出版社,2001。
50. v . p . j . y . Wu阮,c·t·阮相场模型的骨折,”应用力学的进步:多尺度理论和计算52卷,2018年。视图:谷歌学术搜索
51. j·f·昂格尔、美国的时候和c . Konke”造型粘性裂纹增长与扩展有限元方法,混凝土结构”计算机在应用力学和工程方法,卷196,不。41-44,4087 - 4100年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
52. 张x, s·w·斯隆,c .环和d .盛”混合模式的相场模型的修改如磐石般坚韧的材料裂纹扩展,“计算机在应用力学和工程方法卷,322年,第136 - 123页,2017年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
53. k . m . Hamdia m . Silani x壮族,p .他和t . Rabczuk“随机分析聚合物纳米复合材料的断裂韧性使用多项式混沌扩张,”国际期刊的骨折,卷206,不。2、215 - 227年,2017页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权©2021海丰李等。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。