分析二进制中子星形平坦近似的初始条件

文摘

空间形平坦近似(CFA)是一种可行的方法来推断出初始条件的后续演化二进制中子星使用完整的爱因斯坦方程。这里我们分析的可行性CFA的广义相对论流体力学初始条件的二进制中子星。我们说明形平坦的稳定性条件的流体动力学数值进化~ 100 quasicircular轨道。我们说明了利用这一近似的轨道中子星quasicircular轨道近似的状态方程依赖这些初始条件以及它们如何可能会影响紧急重力波频率的星球的方法稳定的圆形轨道。

1。介绍

引力波天文学的时代已经开始与第一检测(1,2二进制黑洞的合并的先进LIGO [3]。现在第一个地面重力波检测取得的,观察的二进制中子星合并应该很快即将到来。尤其如此,其他第二代天文台等先进的处女座4]和KAGRA [5很快就会在线。除了二进制黑洞、中子星二进制文件被认为是最好的候选人来源引力辐射(6,7]。这样的系统被先进的LIGO的数量估计(7- - - - - -14]的秩序几个事件每年根据观察到接近脉冲双星系统(15,16]。是有区别的中子星黑洞合并和兼并;然而,在中子星合并涉及复杂的进化的水动力方程除了强大的引力场方程。因此,我们必须仔细考虑水动力和这些系统的进化。

迄今为止曾多次尝试计算理论模板引力波从双星系统基于数值和/或分析方法(见,例如,17- - - - - -26])。然而,大多数方法利用相结合的后牛顿(PN)技术补充了quasicircular轨道计算然后只完整的GR申请前的最后几个轨道破坏。在本文中,我们分析了水动力演变的空间形平坦度规近似(CFA)来计算初始条件稳定PN政权的有效性的范围之外,也就是说,最后稳定轨道附近。我们建立这种方法的数值稳定性基于许多轨道模拟quasicircular轨道。我们表明,一个人必须遵循星星数轨道之前quasicircular轨道可以实现稳定。我们还说明了状态方程(EoS)依赖的初始条件和相关的引力波发射。

当二进制中子星分离,后牛顿近似(PN)是足够准确的(27]。PN方案,明星往往视为点质量,要么有或没有旋转。例如,在三阶据估计(28- - - - - -30.]假设星星点质量引起的误差小于1轨道旋转(28)~ 16000周期,通过LIGO探测器频带(7]。然而,它被指出在许多作品25,31日- - - - - -42]相对论水动力影响甚至可能是明显的分离(~ 10 - 100公里)相关LIGO窗口。

的确,生成的模板PN近似,除非进行第五和第六阶(28,29日),可能并不准确,除非有限规模和适当的流体运动的星星都考虑进去。本质上,发出的信号在最后阶段的inspiral取决于有限大小和状态方程(EoS)通过中子星的潮汐形变和截止频率潮汐中断发生时。

数值模拟和分析(43- - - - - -51二进制的中子星有探索的方法最内层的稳定圆轨道(ISCO)。虽然这些模拟代表了迄今为止最精确,模拟一般遵循进化轨道和少数的基于初始条件形平坦quasicircular轨道获得的近似。准确的引力辐射的模板需要稳定和可靠地计算轨道初始条件。CFA提供了一种方法来获得准确的初始条件ISCO附近。

空间形平坦近似GR首次详细开发(32]。原来的配方,含有一个数学错误首先指出弗拉纳根(52),随后更正(34]。这个错误的解决方案向量的转变导致了虚假的NS破碎之前合并。下面讨论的形式是修正方程。在这里,我们讨论了水动力解决方案开发的(31日- - - - - -34,53,54]。这个CFA形式包括GR固有的非线性和领导的耦合、非线性椭圆场方程,可以稳定发展。我们也注意到另一种光谱方法解决CFA配置是由(55,56),和方法超出了CFA也被提出(48]。然而,我们的目的是澄清水动力解决方案的可行性没有征收一笔向量或特殊的对称。举例来说,这种方法是最适应的初始条件如任意椭圆轨道和/或任意旋转的中子星。

在这里,我们总结了原始CFA的方法和相关的广义相对论流体力学形式开发的(32,34,53,54),说明它可以产生稳定的初始条件后牛顿ISCO政权之间的任何地方。我们量化这种方法需要多久收敛于quasiequilibrium和演示的稳定性通过随后整合为一个二进制的中子星~ 100轨道系统。我们也分析了EoS依赖这些quasicircular初始轨道并展示如何使用这些轨道做出初步估计(57]引力波信号的初始条件。

本文组织如下。节2的基本方法是总结部分3大量的代码测试中执行quasiequilibrium圆轨道限制来演示技术的稳定性。初始条件和相关的EoS依赖重力波频率进行了分析4。结论提出了部分5。

2。方法

2.1。场方程

场方程的解和水动力运动方程首次解决了在三维空间和详细解释了在1990年代在31日,32在[],随后进一步审查53,58]。在这里,我们提出一个简短的总结介绍目前的讨论相关的变量。

一开始于时空的切片在通常的单参数家庭的超曲面微分中定义的一个类时坐标位移()ADM形式主义59,60]。

在笛卡儿,,表示为各向同性的坐标,适当的距离 的失效函数描述了两个超曲面之间的差一段适当的时间。的数量是转变向量表示超曲面之间的空间坐标的转变。曲率度量的3-geometry描述位置相关的保形的因素乘以一个平坦空间克罗内克符号()。这形平坦条件(最大切计,)要求60] 在哪里外在曲率张量和吗是3维协变导数。这形平坦条件数值度量提供了一个有效的初始解决爱因斯坦方程。新形式的消失的张量固定系统在三维空间保证形平坦解决爱因斯坦方程的存在。

这种形平坦的后果之一近似three-metric是引力辐射的发射不显式地进化。然而,一个人可以提取引力辐射信号通过一个多极展开和反应(32,61年]。应用程序的决心的引力波发射quasicircular轨道计算给出在[57]。这种近似是共形平坦稳定的优点,简化了场方程的解。

作为第三测量条件,可以选择一个单独的坐标转换为矢量和水动力电网的转变速度分别减少场和物质运动的坐标。这组规条件是当前应用程序的关键。它允许一个稳定发展到数百甚至数千个二进制轨道没有相关的数值误差经常提倡通过网格流体。

给定质量和动量的分布在某些歧管,然后一分之一解决了约束方程的广义相对论在每次分配一个固定的问题。然后一个发展下一个时间步的水动力方程。因此,在每一个时间片相对论场方程的解和水动力演变的信息。

解决方案领域的变量,,减少在平坦空间简单Poisson-like方程。哈密顿约束(60)是用来解保形的因素(32,62年] 在牛顿极限下,园艺学会为主(32通过适当的物质密度,但在强大的领域和小型中子星内部能量密度也有贡献、压力和外在曲率。源也显著增强广义弯曲空间洛仑兹因子 在哪里的时间分量相对论四速度和协变空间组件。这个因素,最后稳定轨道附近,成为重要的具体动能恒星迅速增加。

以类似的方式(32,62年],哈密顿约束和最大切条件、失效函数提供了一个方程,

最后,动力约束收益率(60)改变向量的椭圆方程(34,52), 在哪里 在这里是动量密度的空间组件1 -如下定义。

我们注意到,在早期的应用这种方法,改变向量的源代码包含一个虚假的词由于不正确的逆变和协变形式之间的转换中指出的动量密度(34,52]。见那些报纸,这是早期的水动力计算的主要原因引起的一个有争议的额外的压缩使他们崩溃黑洞的恒星上inspiral之前(31日]。这个问题不再存在于这里的公式总结。

2.2。相对论流体力学

求解系统的流体运动在弯曲空间时间方便使用欧拉流体描述(63年]。始于一个理想流体欧拉应力能张量的观察者静止坐标, 在哪里是四个速度1 -相对论。

通过引入通常的洛伦兹收缩状态变量可以写出相对论流体力学方程的形式,这让我想起牛顿同行(63年]。水动力状态变量是协调重子质量密度 协调内部的能量密度 空间三个速度 和协变动量密度

这些状态变量而言,CFA的水动力方程如下:重子数守恒方程的形式 内部能量演化的方程 动量守恒形式 上学期的地方(15)是辐射反应的贡献潜力定义在[32,57]。quasistable轨道建设的初始条件,这一项设置为零。包括这一项允许计算的轨道通过重力波CFA进化。然而,没有保证这是一个足够精确的爱因斯坦方程精确解。因此,CFA是有用的为初始条件的建设。

2.3。和轨道角动量的频率

quasicircular轨道近似(忽视角动量在辐射场),这个系统有一个杀死在轨道平面向量对应的旋转。因此,这些计算角动量的定义,给出了一个积分的时空组件应力能张量(64年];也就是说, 调整的设在和角动量的矢量

找到相对应的轨道频率检测到一个遥远的观察者固定角动量我们雇佣稍微的修改推导轨道频率比(53]。渐近平面坐标的角频率探测到一个遥远的观察者仅仅是协调角速度;也就是说,一个评估

ADM形平坦()弯曲空间,我们唯一的任务然后演绎从代码坐标。对于这个我们做一个简单的极坐标变换保持形平坦坐标,所以 现在,代码使用协变四个速度,。这给了。最后,一个人必须平均密度的重量和体积在流体微分体积元。这给了 这种形式略有不同,(53),但导致类似的结果。

一个关键额外的成分,但是,一个网格的实现三个速度最小化对物质运动和。因此,总角频率到一个遥远的观察者,在刚性顺转的极限,,在那里。

轨道计算说明我们模型共转恒星,也就是说,没有自旋共转框架。这对电网减少物质运动。然而,我们注意到有需要的初始条件目前任意旋转的中子星,这里描述的方法同样能够提供这些初始条件。

作为一个实际的方法仿真(32的初始条件是最好的运行首先与流体动力学粘性阻尼足够长的时间(几千周期)放松星星一个稳定的状态。随后,一个可以运行没有阻尼。现在说明我们研究恒星的分离在quasiequilibrium圆形轨道和稳定的水动力配置。在最初的放松阶段,轨道是由阻尼环径向速度分量。在进化过程中,严格的角动量守恒是由调整轨道角速度(20.),(17)保持不变。这项工作描述的模拟轨道跨度从最后几分钟的时间轨道inspiral。这里,我们说明多个轨道的稳定水动力模拟和分析的初始条件强场轨道动力学计算偏离了后牛顿政权。

3所示。代码验证

3.1。代码测试

恒星进化的大分离距离最好是(53)将网格分解成一个高分辨率的域与细网格的恒星周围和粗域和一个扩展网格领域。图1展示了一个示意性的分解(54]。

如前所述(53)最好是保持区域的数量在25到40之间每颗恒星(54]。这保持了数值误差低于0.5%。它也指出[53]人工粘度(AV)冲击捕获方案有一个优势解决黎曼,因为只有一半的区域需要准确地解决明星当一个AV方案相比,采用黎曼解算器。

时间的步骤采取的最小时间步长由几个条件。每个条件也数量乘以一个小于1满足方程的非线性性质。

第一个条件称为报条件,也就是说,一个搜索在所有的区域最小声音穿越时间的区域: 在哪里声音的速度吗区。

牛顿的声音的速度是由压力与密度的变化。在相对论波速度相反的绝热导数给出压力对密度相对惯性。相对论的变量当地音速区就变成了(53]

第二个条件是搜索的区域与最低的时间材料跨区域流动 介绍了这个约束,确保稳定性和精度的数值计算平流。

第三个条件是引入人工粘度保持稳定的算法。粘性方程在四个速度类似于扩散方程扩散系数,在那里。然后我们可以定义一个最低粘性扩散时间跨区域由显式扩散方程的稳定性条件

的时间步然后分配给一些分数(称为报参数)这三个条件的最小 显然,更小的值提高计算的准确性,也增加了计算时间。

图2显示了一个阴谋的轨道速度和时间报参数的不同值。这图建立流体动力学稳定的例程(例如,改变报条件影响不大),只要。

图3说明了中央密度之间的区别和中央密度()在最高分辨率的52区单个孤立的恒星。这是部分误差表示为的函数区域的数量在一个明星。这个情节是计算相对软MW EoS,即零温度和零中微子化学势限制EoS,曾被用于模型的核坍缩超新星(32,53,65年]。

这个图说明中央密度误差只有1%≈15区在明星,同时增加区域的数量在明星> 35产生小于0.1%。下面的插图我们维护≈25区在每颗恒星作为速度和准确性的最佳选择需要计算稳定轨道初始条件。

3.2。轨道的稳定性

作为插图的轨道稳定性图4显示仿真结果(54角动量是固定的厘米²和柯朗参数集。这个轨道计算MW EoS受雇和每个明星都固定的重子质量在隔离和引力质量。

图4显示了轨道角速度的进化与30000年第一计算周期代码周期对应于≈20轨道。星星最初放在网格使用解决方案在各向同性坐标方程一个孤立的恒星。星星最初将共转但被允许进入他们的二进制平衡。注意,需要~ 5000周期,对应~ 3轨道,只是接近quasiequilibrium二进制的解决方案。事实上,星星继续逐渐紧凑,直到~ 10轨道轨道频率略有增加;随后,星星是完全稳定。

图5显示了失效函数的轮廓(大致相当于引力势)和相应的密度资料在周期数字,0,5200年和25800年(≈0、5、19轨道)。图6显示了中央密度和方向的轮廓二进制轨道对应于这些周期的数字。人能从这些数据明显看出恒星的放松后最初几个轨道和密度资料后多个轨道的稳定性。

然而,我们注意到,这个轨道ISCO的边缘。因此它可以是不稳定的inspiral即使许多轨道。数据7和8进一步的说明这一点。在这些模拟各种角动量计算与中子星质量略高(和),但MW EoS是相同的。在这种情况下,双星系统之后近100年的轨道。

图7说明了三个代表轨道角频率与周期数角动量ISCO托架。最低角动量轨道分离(厘米⁻²)显示在图7只是在ISCO。因此,尽管它需要大约10 inspiral之前轨道,轨道最终稳定。同样,图8显示了中央密度与许多不同的轨道6角动量。在这里你会发现轨道厘米⁻²是稳定的。事实上,在这些情况下,在第一个3轨道轨道的轨道继续几乎没有明显的变化频率或中央密度。

如前所述,数值相对中子二进制模拟(43]随后进化的所有从初始数据以不同的方式与他们相比。一个结论:可能是来自上面的模拟,然而,是初始数据必须进化出充足的时间(> 3轨道)的明星达到一个真正quasiequilibrium二进制配置。这并不总是在文献中完成的。

4所示。初始条件的敏感性轨道参数状态方程

4.1。状态方程

希望在即将到来的探测引力波的存在灵敏度中子星状态方程。为了说明我们利用几个代表性的状态方程,通常用于文学。这些跨度范围从相对软到硬核物质。这些是用来说明的EoS依赖初始条件。EoS通常采用是多变的,也就是说,,研究生院理事会,在单位,,g厘米⁻³。这些参数,g厘米⁻³,产生一个孤立的恒星半径和重子质量= = 17.12公里。正如前面提到的,我们利用零温度和零中微子化学势MW EoS (32,53,65年]。第三是状态方程由Lattimer和Swesty [66年)与两种不同选择的压缩,压缩系数兆电子伏,另一种拥有兆电子伏。我们表示这些LS 220和LS 375。第四个EoS开发了Glendenning [67年]。这个EoS兆电子伏,接近实验值(68年]。我们表示这个EoS GLN。表1说明(54)的性质与每个EoS孤立产生的中子星。针对每种情况重子质量被选为获得每颗恒星的引力质量。

在图9我们画出状态方程指数和密度,这里,各种eos考虑。这些比较简单的多变= 2 EoS通常用于文学。

4.2。EoS依赖初始条件的轨道参数

表2总结了初始条件的轨道参数(54)在不同的固定角动量各种状态方程。在轨道不稳定的情况下合并,该表列出了轨道参数inspiral之前。这些轨道跨度范围在特定角动量~ 5到10。在表中列出的状态方程1和2在近似的顺序从上到下提高刚度。

正如预期的那样,中央密度更高的相对软MW和GLN的状态方程。轨道角频率也低很多的扩展的质量分布僵硬的状态方程比更紧凑的软的状态方程。这些扩展的质量分布引起的灵敏度紧急重力波频率和振幅的强烈依赖重力波频率质量四极矩的分布。

4.3。重力波频率

物理过程发生在最后一颗中子星双星的轨道是当前一个热点课题。当星星接近最后的轨道预计的轨道运动的耦合水动力强劲的星星相对论领域的进化可以提供洞察各种合并系统的物理性质(58,69年]。在这方面,小心建模所需的初始条件是包括非线性广义相对论和水动力的影响以及现实的中子星状态方程。

图10显示了EoS重力波频率的灵敏度适当的函数分离恒星之间的各种轨道和状态方程总结表2。这些都是与圆轨道条件(post)牛顿近似,以后PN,分析文献[70年]。摘要,搜索了内心的最稳定的圆形轨道没有辐射的反应条件的运动方程。这是类似于执行的计算也分析轨道稳定性没有辐射的反应。

(职位)牛顿运动方程,推导出圆轨道通过设置时间衍生品的分离、角频率和径向加速度为零。这导致了圆轨道条件(70年] 在哪里圆形轨道频率和吗,在谐波分离坐标,是一个相对加速度参数等于质量的恒星变成了 方程(26)和(27)可以找到解决轨道角频率的函数谐波分离。重力波频率轨道频率的两倍,。

尽管这是一个gauge-dependent比较,说明我们显示在图10计算重力波的频率比PN期望作为适当的二元分离距离的函数公里。每个人都应该记住,然而,有一些不确定性将适当的距离与PN参数()。因此,比较与PN结果不是特别有意义。然而指导考虑数值结果的不同刚度的EoS是不同的。多变和激烈的eos开始偏离(> 10%)柔和的状态方程(MW和GLN)重力波频率低~ 100赫兹和或多或少地继续偏离星星方法ISCO在更高的频率。

事实上,图的一个显著特征10ISCO是星星的方法,频率变化较为缓慢柔和的分离距离递减方程的状态。逐步改变的频率可以意味着更多的轨道在LIGO窗口,因此一个更强的信号噪声(cf。57])。

同时,软EoS轨道变得不稳定inspiral在一个更大的分离。至少部分软、硬eos之间的差异可以归因于有限尺寸的影响的星星更紧凑的软状态方程(37]。

我们注意到,类似角动量,我们的EoS敏感性的研究结果是一致的37)基于一组方程的状态参数化分割多变指数和整体规模的压力。然而,他们的计算是基于两个独立的数值相对论代码。相似的模拟结果表2进一步证实了CFA的广泛有效性方法应用于初始条件。例如,他们的轨道参数总结在表二世37]。他们的柔软EoS是Bss221对应于绝热指数的核心和重子质量和一个ADM的质量每个明星为一个特定的角动量厘米²(在我们单位)与相应的重力波的频率530赫兹的适当分离46公里。这EoS相当多变,MW, GLN EoS显示在图10。例如,与我们最亲密的轨道多变EoS对应于一个特定的角动量厘米²和一个ADM的质量ADM相比,他们的质量在厘米²同样的重子质量。尽管如此,柔和的eos,他们的结果是仔细轨道比图上给出的数值点10,灰色的延伸线适合软eos的数值模拟预测的频率540赫兹的适当分离Bss221 46公里相比530 Hz的模拟的37]。

主要参数描述的最后稳定轨道后牛顿计算协调分离总质量的比例(隔离)。类似的数量在我们nonperturbative模拟是引力质量适当分离,。相对应的分离中最后一个稳定轨道后牛顿分析不会发生,直到星星已接近6.03。为星星,这将对应于一个分离的距离约25公里。研究结果最后稳定轨道的某处发生略低于7.7在一个适当的分离的距离公里多变和兆瓦星星了。

5。结论

CFA的相对论流体力学平衡仍然是一个可行的方法来计算初始条件计算二进制中子星。在本文中,我们说明,一个人必须构造初始条件为前至少几个轨道运行平衡是保证。我们已经表明,除了最初的几个轨道方程稳定在许多轨道(100年~)。我们还表明,等多个轨道模拟是有价值的一种手段估计的位置ISCO前一个完整的动态计算。此外,我们研究了初始条件的敏感性轨道参数和初始重力波频率的状态方程。我们已经说明了初始条件轨道属性(例如,中央密度,轨道速度,和结合能)和位置的ISCO EoS刚度的影响。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

圣母大学的工作(格兰特j·马修斯)是由美国能源部核理论下格兰特de - fg02 - 95 er40934和圣母大学的研究中心计算。报告的作者之一(n .问:局域网)的部分也支持由美国国家科学基金会通过联合核研究所的天体物理学(胜者)和和部分越南教育部(MOE)。n .问:局域网还要感谢款待的汤川理论物理研究所访问期间,这个工作的一部分。

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