文摘

本文提出了一种新的线性计算机病毒传播模型在多层网络探索计算机病毒传播的机制。理论分析表明,最大特征值的总和的子网是一个至关重要的因素在决定病毒患病率。然后,一个新的全局稳定性的充分条件取得平衡无毒化。计算机病毒传播系统的持久性也被证明。最终,一些数值模拟的结果验证了理论分析的主要结论。

1。介绍

1987年,第一个计算机病毒传播模型提出的科恩(1]。从那时起,数量的典型计算机病毒传播模型被提出,例如,susceptible-infected-susceptible (SIS)模型(2),susceptible-infected-removed(先生)模型(3,4),susceptible-infected-recovered-susceptible (SIRS)模型(5),susceptible-exposed-infected-removed-susceptible(西)模型(6),susceptible-infected-patched-susceptible (sip)模型(7],susceptible-infected-external-susceptible (sy) [8]。然而,这些模型忽略的事实支配大多数计算机病毒有一个相当长的传播时期爆发之前可以生动地表达节点高传染性的能力,而其他一些模型假设,在其延迟,受感染的计算机最近感染的感染能力较低而爆发节点,也被称为一个E电脑,没有传染性。然而,这与事实不符,在一般情况下,受感染的计算机是否具有传染性(9]。为了克服这些不足,杨等人提出了一个新颖的计算机病毒传播模型,称为Susceptible-Latent-Breaking-Susceptible (slb)模型中,所有的电脑连接到互联网分为三组:电脑无毒化,称为敏感的计算机(年代电脑),潜在的被感染的计算机(l计算机)和受感染电脑病毒的爆发,这意味着计算机具有高传染性级别(B计算机)。一个显著的区别slb模型和经典的检波器模型是一个潜在的计算机具有感染能力(9]。

虽然计算机病毒传播网络的机制是一个重要的研究领域,大量的基于网络的计算机病毒传播模型从susceptible-infected (SI)模型(2,10)和SIS模型(3- - - - - -5,8,11- - - - - -14)爵士模型(5,6,13,15,16)和slb模型(14)和sip模型(7)也被检查。然而,这些研究主要集中在单层网络(11- - - - - -13,15,17- - - - - -24]。在现实中,计算机病毒传播不仅通过单层网络还通过多层网络;例如,手机病毒(一种类型的电脑病毒)可以利用3 g网络,4 g网络,无线网络,甚至蓝牙网络的通信网络。

另一方面,从的角度研究方法、马尔可夫链方法,提出了货车Mieghem et al。10,25),可以准确描述计算机病毒传播过程常数过渡隔间之间在任何网络。然而,这种方法在数学分析是复杂的。为了克服这一缺陷,一些近似方法,研究计算机病毒的传播在网络上也是近年来提出的。例如,基于假设每个节点的动态统计独立的最近的邻国,王等。26),约瑟夫和岩27杨,et al。14)提出了所谓的基于单独的平均场理论(IBMF);基于假设所有节点的程度 统计上是等价的,Pastor-Satorras和Vespignani28,29日和巴特尔米等。30.)提出了所谓的mba平均场理论(DBMF),等等。

为了更准确地了解计算机病毒的传播机制在多层网络,在本文中,我们提出一种新颖的slb多层网络上计算机病毒传播模型。本文的亮点如下。

基于多层网络的假设,通过应用IBMF现有slb模型,高维动态计算机病毒传播模型,称为基于单独的slb模型,制定。该模型形式这项工作的基础。据我们所知,没有报告关于计算机病毒的传播的多层网络。

找出多层网络拓扑结构对计算机病毒传播的影响,通过数学分析,我发现传播阈值的最大特征值的总和多层网络的子网。然后,传染的全球稳定平衡进行了分析。系统已经被证明的持久性。大量实验证实了数学分析的结论。

随后本文组织如下的材料。节2,我们现在的多层网络和计算机病毒传播模型的细节;然后在节3该模型全面分析;数值模拟结果给出了部分4;最终,节5,我们概述这项工作。

2。假设和建模

为了详细描述模型,提出了以下符号:(我) :多层网络,包括 子网(2) ( ): th层子网;每一个子网 有 节点(3) :中包含的节点集 (iv) :边缘中包含的集合 (v) :从节点的联系 到节点 在 , (vi) :相应的参数化图的邻接矩阵 。

此外,动态交换网络 还必须满足下列条件:(我) 。(2) 和 对所有 。

条件(我)提出了节点的所有子网都是相同的。条件(2)表明,任何两个子网的边缘是不同的。

一个简单的例子如图的多层网络1。


图1
多层网络。

正如上面所讨论的,传统的slb模型可以将节点分为三个部分:敏感的节点( 使用节点)被称为健康节点和未感染的节点,潜在的节点( 节点)代表节点感染但只显示较低的感染能力,和爆发节点( 节点)。相比之下, 节点, 节点具有显著的高传染性的力量。让 = 0(1、2)代表节点的状态是敏感(潜伏、爆发) 。然后在一次多层网络的状态 可以表示如下:

让 ( )表示节点的概率 是 节点( 节点, 在时间节点) :

然后,给出以下假设(见图2):


图2
状态图slb模型的多层网络。

(H1)在 th层子网 ,一个敏感节点的概率 由病毒感染(包括潜在的和爆发)的邻居吗 是 ,在那里 表示的感染率 th层子网 。一个敏感节点的概率 被病毒感染的邻居吗 在所有层子网 。然后,一个易感节点的概率 在所有子网感染病毒所有的邻居吗 。

(H2)潜在的节点的概率成为爆发节点 。

(H3)爆发节点的概率成为易感节点 。

(H4)一个隐藏节点的概率成为易感节点 。

让 表示一个短的时间间隔。根据总概率定理,几个公式可以从上面的假设如下(见图2):

在这里 代表时间 高阶无穷小。根据(H1)- (H4)和(3),我们可以得到以下方程:

用(4),让上面的公式 ,我们推导出3 维微分方程组如下:

因为 , 可以表示由以下方程: 。然后,以下2 维子系统可以推导出:

不失一般性,我们引入一个感染的矩阵 ,在那里 (或 )。我们假设 表示矩阵的最大特征值 。

然后,系统(6)可以表示如下:

3所示。理论分析

系统(7)显然有一个独特的平衡无毒化 。这部分集中在传染均衡的稳定性和持久性的系统(7)。

首先,考虑的平衡系统(无毒化的属性7)。

让

让

然后,系统(7)的形式可以表示一个矩阵如下: 与初始条件 ,在那里

让

定理1。考虑线性系统(7):(一)传染均衡 是渐近稳定的,如果 。(b)传染均衡 是不稳定的,如果 。

证明。系统的特征方程的雅可比矩阵(7) 是 方程(14有两个可能的情况下。
案例1 。 ,(14)导出到 这个方程有一个消极的根 与多样性 ;剩下的 方程的根 , 。如果 ,然后 对所有 。因此,所有的根(14)是负的。所以,传染平衡系统(7)是渐近稳定的。相反,如果 ,然后 。所以,(14)有一个积极的根。结果,传染平衡是不稳定的。
案例2 不是一个根(14)。因此, 这意味着 是一个根(14)当且仅当 是一根 在哪里 如果 ,我们有 和 。根据赫维茨判据,两根(17)都有负的真实部分。所以,所有的根(14)有负的实际部分。因此,平衡无毒化是渐近稳定的。否则,如果 ,然后 与正实部根。因此,(14)与正实部根。因此,传染平衡是不稳定的。
证明已经完成。

然后,我们考虑全球稳定的无毒化的平衡系统(7)。

引理2(见[31日])。考虑一个系统 至少在一个紧凑的定义集 。然后, 是不变的,如果每一个点吗 在 ,向量 相切或指向 。

引理3。Ω是积极不变集系统(7)。也就是说, 意味着 对所有 。

证明。 包括以下3 超平面: 哪有 作为各自的外法向量。为 ,我们有 因此,声称结果遵循从引理2。

引理4(见[31日])。考虑一个 维自治系统 在哪里 是一个不可约 矩阵, 是一个地区包含原点, , 。我们假设存在一个积极不变凸集紧凑(16] 包含原点,一个正数 ,和一个真正的特征向量ω的 这样(C1) 对所有 ,(C2) 对所有 ,(C3)原点形式最大的积极不变集(16)包含在 。然后,我们有以下:(1) 意味着原点是全局渐近稳定的 。(2) 意味着存在 这样,对于每个 ,解决方案 系统(7)满足 。

定理5。考虑系统(7)。传染均衡 全局渐近稳定在吗 如果 。

证明。让 , , 。为矩阵 是不可约和它的所有nondiagonal条目都是非负的,从31日] 有一个积极的特征向量 对应的特征值 。
让 。然后, 意味着 。因此,声称结果遵循从引理4。

第二,我们调查的属性系统(7)当 。从引理4和定理1,我们可以很容易的得到以下结果。

定理6。考虑线性系统(7)。如果 ,我们有

注7。定理5表明病毒脱毒全球稳定的平衡意味着灭绝的病毒将会下降。

注8。定理6显示,如果 那么,计算机病毒在网络将继续存在。

4所示。数值模拟

在这一节中,本文的主要定理验证了一些数值模拟。让 代表感染节点的比例在所有节点时间 , 。

我们考虑一个两层的完全图,250个节点,和感染率的第一和第二层子网 = 0.0005, 分别为= 0.0007。然后, = 0.2988。

例1。基于 ,图3显示系统的动态行为7), , , 不同的初始条件。通过计算, 。因为 、计算机病毒就会死亡。


图3
时间的情节 例如1不同的初始值。

例2。基于 ,图4揭示了系统的动态行为7), ,γ= 0.5,η在不同的初始条件= 0.12。然后 = 0.1742。因为 ,计算机病毒将持续下去。


图4
时间的情节 例如2不同的初始值。

我们将三层Erdos-Renyi随机图,250个节点,用随机连接概率0.8。感染率的第一、第二和第三层子网 = 0.0005, = 0.0006, 分别为= 0.0007。然后, = 0.3583。

例3。基于 ,图5说明了系统的动态行为7), , = 0.5, = 0.6为不同的初始条件。通过计算, = 0.4909。因为 、计算机病毒就会死亡。


图5
时间的情节 例如3不同的初始值。

例4。基于 ,图6显示系统的动态行为7), , = 0.5, 在不同的初始条件= 0.2。然后 = 0.2571。因为 ,计算机病毒将持续下去。


图6
时间的情节 例如4不同的初始值。

我们用一个两层Barabasi-Albert (BA)无标度图,250个节点。1和2层子网的感染率 = 0.02, 分别为= 0.03。然后, = 0.2946。

例5。基于 ,图7说明了系统的动态行为7), , = 0.5, = 0.6为不同的初始条件。通过计算, = 0.4909。因为 、计算机病毒就会死亡。


图7
时间的情节 例如5不同的初始值。

例6。基于 ,图8显示系统的动态行为7), , = 0.5, 在不同的初始条件= 0.1。然后 = 0.15。因为 ,计算机病毒将持续下去。


图8
时间的情节 例如6不同的初始值。

考虑一个多层网络组成的三个子网;每个子网有250个节点。子网的1日,2日,3日完成连接网络、随机网络和无标度网络。和0.7的概率随机子网的连接。此外,感染率的1日,2日,3日子网 = 0.0002, = 0.0003, 分别为= 0.001。然后, = 0.2760。

例7。基于 ,图9说明了系统的动态行为7), , = 0.5, = 0.6为不同的初始条件。通过计算, = 0.4909。因为 、计算机病毒就会死亡。


图9
时间的情节 例如7不同的初始值。

示例8。基于 ,图10显示系统的动态行为7), , = 0.5, 在不同的初始条件= 0.1。然后 = 0.1。因为 ,计算机病毒将持续下去。


图10
时间的情节 例如8不同的初始值。

传播阈值 起着至关重要的作用在确定的动力系统(7)。作为 , , 严格增加对参数吗 , (见图11)。作为 ,当 , 增加 增加;当 , 减少, 增加(见图12)。


图11
的值 作为不同的函数 和 用固定参数 = 0.3。

图12
的值 作为不同的函数 和 用固定参数α= 0.25。

5。结论

探索多层网络上计算机病毒的传播机制,提出了新型计算机病毒传播模型。模型表现出的理论分析,计算机病毒患病率深深由多层网络的最大特征值决定的。平衡无毒化的全球稳定和持久的电脑病毒传播已经证明。一些数值模拟也被赋予。

众所周知,网络的拓扑结构不断变化而不是静态的。一个动态交换网络是一个网络的链接将会改变(消失和出现),然后网络将不同的结构在不同的时间。因此,它的实际意义理解动态交换网络病毒传播的影响。我们的下一个工作是研究计算机病毒的传播行为动态交换网络。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是在广东省自然科学基金的支持下,中国(没有。2014 a030310239)。