一种有效的近似算法对飞机到达的排序和调度问题

文摘

飞机到达的排序和调度(屁股)问题是一个突出的问题在机场跑道调度系统,该系统被证明是不确定性多项式(NP)。本文制定了屁股的形式约束排列问题,设计一种新的近似算法来解决这个问题。然后进行数值研究,验证新算法具有更好的性能比蚁群算法(AC)和最大化策略,特别是当飞机类型并不太多。最后,一些结论进行了总结。

1。介绍

航空业的快速发展,严重的交通堵塞,经常延误已经达到世界上最主要的机场,特别是在美国和欧洲(1]。如何提高空中交通容量和减少延迟成为一个严重的问题2,3]。

1998年,跑道已被确定为主要的瓶颈在空中交通4];,即使是小增强跑道吞吐量将显著降低延迟。然而,建造更多的跑道通常被认为是不现实的选择,因为实际的约束和巨大的投资成本。因此,许多研究和技术人员采取一种很有前途的方法,那就是更多的最优安排飞机到达跑道序列,以便能尽可能多的飞机着陆在一段时间内。摘要优化过程制定飞机到达的排序和调度(屁股)问题(见节2)。

然而,屁股本来就难解决(5];它是不确定性多项式(NP)硬6,7]。应对它,通常采用两种方法,混合整数规划(MIP)和蚁群算法(AC) (5,8- - - - - -10]。

屁股可以表达的MIP配方。1992年,布林(11]介绍了,据我们所知,第一个MIP配方和设计一个隐式枚举(IE)算法来优化它。在1993年,另一个MIP是由Abela et al。12single-runway屁股。一个分支界限法(B&B)算法来解决这个问题。早在1999年,提出了MIP不仅单一,而且在多个跑道(8]。比斯利et al。5]给出一个改进的B&B算法采用线性规划(LP)基于树搜索。然后Bennell et al。13提供一个广泛的文献综述的屁股。

蚁群算法(AC) (9,10,14屁股)是另一种有效方法。它最初于1992年提出的民宿。15- - - - - -17]。2002年,兰德尔(10屁股)首次提出了应用程序,显示了巨大的优势。交流是用于生成初始解决方案,将本地搜索启发式单和multiple-runway屁股9,18]。早在2010年,开发交流解决实时屁股基于滚动时域控制詹et al。14]。实验结果验证交流是健壮的、有效的、高效的屁股。

在这篇文章中,而不是使用上述两种方法,我们开发一个新的近似算法屁股。下界的核心思想是找到解决问题的屁股。然后无限接近这个绑定算法提出了解决方案。我们比较这种新算法的性能与AC和MIP(通过最大化策略)。计算结果验证该新算法返回更好的解决方案和成本更少的时间比AC和MIP,尤其当有几个飞机类型。

本文组织如下。节2介绍了屁股,一些约束。部分的近似算法3。节4、蚁群(AC)和MIP的屁股。设计部分5数值研究进行比较,新算法的性能与AC和MIP(通过最大化策略),虽然有些结论是总结部分6。

2。基本概念

2.1。飞机排序和调度(屁股)问题

屁股旨在充分利用跑道的使用,也就是说,着陆序列的最大完工时间最小化,以便尽可能多的飞机着陆在一段时间内。目标函数是 在哪里是最后一个飞机的着陆时间序列。为th飞机序列,它的着陆时间通过 在哪里和确保时间窗约束和MST确保最小分离时间约束。这两个约束条件,以及其他一些约束,如下所述。如果不满意,=。

2.1.1。最小间隔时间(MST)约束

MST很难约束以确保安全。当飞机飞在空中,它生成尾涡(西弗吉尼亚州)。然而,西弗吉尼亚州的不稳定可能会导致以下飞机(动摇或提升)19]。为了避免这种情况,一个MST严格保持它们之间。

表1演示了一个典型的MST表涉及三个主要类型的飞机。一般来说,一个更小的飞机,后跟一个比另一个更大的飞机需要更短MST。例如,一个小型飞机着陆后的196年代不得不等待一个沉重的飞机。然而,当一个沉重的飞机降落在一个小飞机,MST只有60年代。原因之一是大飞机通常生成和容忍更多的空气湍流,而小型飞机生成和容忍。

MST的不对称性质导致跑道调度的可行性和必要性。适当的调度策略可以节省大量降落时间。例如在图1的极小化序列1 = 288年代;然而,对于序列2 129年代考只是,可以节省时间50%以上。

2.1.2。时间窗约束

时间窗约束很难保证飞机之间的土地最早和最新的可能的着陆时间,间隔时间设置。最早的可能的着陆时间()取决于约束如最大速度加快,跑道的可用性,和可能的军事演习,而最新的可能的着陆时间()取决于燃料限制,最大允许延迟,最小空速等(13]。实际上,没有必要,飞机的时间窗口只有一个持续时间间隔设置(19]。虽然我们只讨论single-interval情况在本文中,我们的方法也适用于处理时间窗约束的情况是不相交的间隔。

2.1.3。优先约束

优先约束是成对需求以确保一架飞机是否必须在另一个(之前土地19]。这些限制有两个原因。一个是由于航空公司,有时有严格的限制,一个人应该首先土地优先的原因,银行业务,等等。另一个原因是由于飞机的路线,不允许两架飞机在相同的飞机路线(互相超车20.]。

3所示。近似算法的屁股

在本节中,我们设计一个近似算法来解决屁股。核心思想是找到的下限解的屁股,然后近似算法给驴无限接近这个绑定解决方案。

3.1。ASS-MST的下限解

在下面我们给驴的下限解。这必然涉及到一个新生成的MST(用),这是一个近似实际的MST。如何确定所示(公式(3)- (6))。

目标函数(公式(3)是最小化MST和之间的区别自MST措施分歧(公式(4))。

公式(5)计算。我们将每个元素分解分为两部分(见图2)。一个是导致飞机的能力生成WV(用),另一种是以下飞机承受扰动的能力(用)。

在公式(6),,,限制非负。确保元素不大于相应的元素在MST,确保定理1。

值得注意的是,我们不限制,因为它不影响导致定理1,2,4从数学的角度计算。此外,它允许更多的元素0: 受

定理1。每个序列的极小化在ASS-MST′的下界在ASS-MST。

证明。指的是公式(4)和(6),我们有。所以对于任何序列,。很容易确认(见公式(1)和(2))。

实际上,这个下界非常接近最优解在时间窗约束的考虑最优以来只取决于序列中的第一个和最后一个飞机(定理2)。

定理2。最大完工时间最小化的最优解ASS-MST′只取决于第一个和最后一个飞机在最后的序列,如果不考虑时间窗约束和和给出常数,。

证明。着陆顺序(),飞机,飞机之间和是。所以我们有 相当于
在公式(8),是一个常数,因为每个飞机的类型是已知的。所以考()是由,只有第一个和最后一个飞机的担忧。

定义3。一个序列被称为强烈的海波 当且仅当第一个和最后一个飞机的变化导致其最优性。

所以任何序列在屁股至少是强烈hypooptimal(商店)。图3列出了ASS-MST曲线和屁股——之间的关系曲线在时间窗约束的考虑。非常小。我们希望减少衡量一个解决方案是如何接近商店解决方案(下限)。

3.2。近似算法方法下界

近似算法给驴解决无限接近下限;也就是说,它试图找到一个序列以最小化(见图3)自衡量一个解决方案接近一个商店的解决方案(下限)在时间窗约束的考虑(也是一个有用的度量考虑时间窗)。数值结果5验证声明和算法的效率。

3.2.1之上。包含时间窗与飞机而不是太多

在屁股,每架飞机降落时间有关(英语教学),用于估计飞机降落的时候。英语教学与最早的和最新的着陆时间窗口的时间。一般来说,最早的着陆时间(英语教学)是一分钟不到,因为多一分钟向前移动往往是不经济的20.]。最新的着陆时间()可以60分钟后英语教学如果飞机有足够的燃料和没有任何紧急事故。

基于上述讨论,最早降落时间时间窗口的主要约束,因为最新的着陆时间通常是不活跃的,如果飞机的数量不是太多。所以我们首先开发一个算法的屁股没有太多的飞机(通常小于30)。然后我们扩展它来解决许多飞机的情况(通常超过30)。

核心理念是无限接近下限,即尽量减少额外的时间当比较ASS-MST和屁股。额外的时间由MST和最早的着陆时间()。我们给额外的极小化的近似。

为FSFC序列相同类型,所有飞机都根据他们的订单放在一起构造子序列。有子序列,,在那里,,是th飞机。

例如,先序列类型,。然后有三个子序列。由第一和第五飞机先根据他们的订单,第二,第四,第六飞机,然后呢第三,7日和8日飞机。完整的算法由以下3个步骤来确定最终的着陆顺序。

步骤1。确定的第一个飞机。找到最小的在公式(9飞机)和转移在第一个位置;删除从子序列。然后设置: 在哪里。

步骤2。确定th的飞机。发现飞机最小的在公式(10)。将其传输到th位置从子序列和删除它。然后设置: 在哪里和。

步骤3。终端标准:如果所有飞机的子序列(,)转移到返回序列;否则,去一步2。

定理4。近似算法的复杂性来生成最终的序列飞机和飞机类型。

证明。一步2成本找到最小的。因为有飞机,一步2重复的次了。因此,复杂性。

3.2.2。包含时间窗口有很多飞机

如果飞机的数量太大(通常超过30),最新的着陆时间的“不活跃”的假设往往是坏了,因为一些飞机可以转让土地1小时后。为了避免这种情况,我们首先安排第一个30飞机(从1日到30日)先通过上面的算法,然后安排接下来的30架飞机从31日(60),然后接下来的30飞机(从61到90),直到所有飞机被认为是。最后,我们连接的所有调度序列来构造一个接一个终极的序列。这里的长度30飞机基于部分的数值结果5。当然,我们可以设置其他长度等subrescheduling但是没有一个好的解决方案。这整个过程不超过定理的复杂性4。

3.2.3。包含优先

优先考虑,我们可能会冻结子序列。例如,飞机在子序列应该在飞机之前土地在;我们可以冻结子序列当在第一的位置。解冻的唯一的充分条件是飞机已转入最后的序列。

4所示。蚁群和MIP屁股

4.1。蚁群(AC)的屁股

蚁群算法(AC)是一个深入研究方法(13]。许多论文采用single-runway调度(9,10,14]。驴在这里交流是用来找到一个解决方案,这是一种比较有效的近似算法。以下是计算交流的一些重要设置。

以下4.4.1。状态转换检查

所有飞机都贴上先根据他们的位置。后参观飞机,所有的蚂蚁选择下一个允许飞机参观。确保大多数航线由蚂蚁返回满足时间窗约束,我们限制允许飞机整数集当一只蚂蚁访问。这一原则也被称为cps [19]。

在这一原则下,一架飞机前应该访问它的蚂蚁呢访问。如果飞机没有访问它当一只蚂蚁呢访问,它是被迫被这只蚂蚁访问。在这里的数值研究中,设置整数很好满足时间窗口。

4.1.2。状态转移规则

后参观飞机,所有的蚂蚁选择下一个允许飞机根据的概率:

4.1.3。信息素更新规则

每个弧上的信息素进行更新操作完成旅游如公式(12)和(13每只蚂蚁): 在哪里信息素的蒸发和模型是最近发布的信息素,蚂蚁。对一只蚂蚁,被定义为 在哪里是一个给定的常数和是考旅游路线的蚂蚁。

4.2。混合整数规划(MIP)

2000年,比斯利et al。5)提出了MIP single-runway调度问题。这里我们扩展它的屁股作为解决方案比较的近似算法。以下是一些重要的设置。

目标函数(公式(14)是最大完工时间最小化。(公式(18)确保最后飞机的着陆时间。

在公式(15),是一个0 - 1变量。(飞机土地之前),(后)。和不等于0(1)在同一时间。确保这个需求。

公式(16)是分离约束。有两种情况。(一) 。然后,确保一次分离。(b) 。然后如果,这是有效地无所作为足够大。

公式(17)确保时间窗约束:

我们使用最大化策略优化Studio 12.5来解决,传统的分支界限法(B&B)搜索功能最大化策略使用。从的角度LP放松,(公式(16)是希望尽可能小。因为大领导远小于即使很小,小的吗是通过取代它(5]。

5。三种方法的数值研究

这是屁股的数值结果的近似算法。AC和最大化策略作为一个有效的新算法的比较。

5.1。随机生成MST

在屁股,关于MST是很重要的。表1给出了一个典型的MST表由一个经典飞机类型分类。然而,还有一些其他的MST表被其他分类原则。例如,表2说明了另一个MST表超过3架飞机类型。我们相信,我们的算法适用于几乎所有可能的MST矩阵。所以在数值研究中我们随机生成MST矩阵有两个常见的属性。

MST矩阵的飞机类型,其一般性质总结如下。(1)大飞机着陆前相同的飞机需要更多的(至少等于)分离;也就是说,,;。(2)大飞机着陆后同样的飞机需要更少的(至少等于)分离;也就是说,,;。

在数值研究中,可以生成MST 在哪里是一个给定的数字吗是一个随机的数字。如果下面的数值研究,的时间间隔满足均匀分布;如果,是在满足均匀分布。该设置为不是太多的比。这是符合实际的MST;例如,表1和2基本上是满意的。

值得注意的是,即使一个MST并不严格满足以上设置,也可以应对的近似算法。

5.2。数值结果

我们测试的情况下和。在每种情况下,十组(飞机数量)飞机序列是随机生成的。每组包含20个随机序列;所有类型的飞机的数量在每个序列是相同的。MST为每个序列随机生成(见详细的设置及其参数的解释在公式(20.))。

估计(英语教学)的飞机降落时间是由泊松到达过程模拟,验证的Willemain et al。21]。期望邻居航空器之间的间隔时间在英语教学设置,在那里在MST是所有元素的平均值。这模型是多么拥挤的机场。最早的着陆时间设置为一分钟不到英语教学,因为超过一分钟向前移动往往是不经济的20.]。最新的可能的着陆时间设置60分钟后最早降落时间。

近似算法,长时间飞机序列(超过30飞机)计划每次30飞机(见部分的解释3.2。2)。AC算法的终止条件是100年的最大代。公式中的参数(11)- (13)被设置为,,,。允许飞机在设置限制当一只蚂蚁访问。MIP,传统的B&B搜索最大化策略使用和B&B的最大树节点搜索设置为4000。数值结果显示在表中3平均运行时间和平均跑道测试每组20序列的增强。对于每个序列,是通过“跑道增强”。这是比较最后之间的时间序列和FSFC序列先在当前跑道调度系统是一种广泛使用的方法。

当有更少的飞机类型(三种)、近似算法提高了跑道吞吐量超过交流和更少的时间最大化策略和成本。验证算法的性能。实际上飞机分类分为3类通常是足够的。如果有太多的飞机类型,我们可以飞机划分成几个大的类别和重建MST表关于大类别以外的飞机类型各大类别包含飞机类型与非常接近属性。所以驴在这种情况下也可以应对的近似算法。

有9架飞机类型时,近似算法通常具有较高的跑道增强当飞机的数量不是太多(100飞机)。太多的飞机(100 - 200飞机),交流提高跑道吞吐量。然而,近似算法比其他两种方法花费更少的时间。

通过比较AC和MIP,我们发现MIP(通过最大化策略)时具有更好的性能的飞机类型和数量都很小。大量的飞机(或许多飞机类型),最好是使用AC调度最大化策略。还值得注意的是,近似算法具有更好的性能比最大化策略在几乎所有的枚举情况下表3。

6。结论

应对飞机排序和调度(屁股)问题,我们设计一个近似算法,这是无限接近最优解的下界。数值结果验证,该算法,用更少的运行时,可以得到一个较小的考比AC和最大化策略,特别是当飞机类型的数量不是太多。这是一个巨大的增加跑道。

术语和符号

命名法

交流:	蚁群
驴:	飞机排序和调度
ASS-MST:	关于MST屁股问题;也就是说,在屁股飞机是由MST矩阵之间的分离
	在分离是由驴矩阵
先:	先到先得
LP:	线性规划
MIP:	混合整数规划
MST:	最小间隔时间(矩阵)。表示MST的飞机类型其次是另一个类型的飞机。,
:	一个新生成的MST矩阵。表示一架飞机的类型其次是另一个类型的
:	MST和之间的差异。。表示一架飞机的类型其次是另一个类型的。所有的元素在是负的
商店:	强烈hypooptimal
西弗吉尼亚州:	尾涡。

符号

:	一组允许飞机蚂蚁去飞机紧随其后
:	参数确定的相对重要性与
:	从飞机对飞机
:	整个飞机的数量先序列
:	在MST飞机类型的数量
Pb:	蚂蚁的概率选择弧
TP:	飞机的类型th飞机先
:	一个整数集
:	的时间序列在ASS-MST,最后飞机的着陆时间序列在ASS-MST
:	的时间序列在
:	额外的时间来;也就是说,
:	额外的添加类型的飞机一个序列
:	飞机的降落时间
:	主要类型的飞机的能力生成西弗吉尼亚州
:	以下类型的飞机的能力承受扰动
:	飞机类型设置
:	大量积极的常数
:	FSFC序列。是子序列相同类型的所有飞机在哪里根据他们的订单放在一起
:	飞机着陆顺序。是th飞机序列,是最后一个飞机吗
:	最后飞机着陆顺序。是th飞机
:	飞机土地上飞机之前(),后()
:	信息素的弧在交流。是初始信息素
:	启发式信息弧,在那里
:	参数建模信息素的蒸发比率。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者非常感谢编辑和审稿人的宝贵的建议和意见将极大地提高本文的演示。支持的工作部分是由中国国家自然科学基金(71071113,71071113),全国优秀博士论文的作者的基础的中国(200782)、上海哲学社会科学项目(2010 bzh003),中央大学和基础研究基金。

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