文摘
本文研究药物动力学的问题,这是人类血液中药物浓度变化的数学模型,从注射时间。分数阶微积分理论和应用程序是主要的工具,通过它我们建立的主要结果。psi-Caputo分数阶导数在研究中起着重要的作用。我们证明解的存在性和唯一性问题使用psi-Caputo分数导数。两个数据集的应用理论结果显示以下结果。第一数据集的psi-Caputo内核 是最好的方法,因为它的收益率均方误差(MSE) 。第二最好是简单的分级方法的MSE ;最后,经典的方法是在第三位置的MSE 。第二个数据集,psi-Caputo内核 是最好的方法,因为它产生一个MSE的 。第二最好是简单的分级方法的MSE最后,MSE的经典方法 。
1。介绍
治疗感染人类,甚至从一个动物,一个合适的剂量的药是实质性的。由于药物的血浆量下降随着时间的推移,医学必须在多个剂量。
在我的临床开发阶段,稳态的时间去成就一个新的方案是定期评估。时间的成就感稳定状态所需的时间,直到血液中的药物浓度稳定,即。由药物,不显示越来越倾向积累。如果一种药物是在有序的剂量间隔,药物从前剂量积累沉积物。稳定的浓度发生在剂量间隔期间药物丢弃的数量等于金额。为了评估时间达到稳定状态,血液样本在某个时间点在每个剂量间隔[1]。
在这些时间点后药物浓度(2成就]乔丹等人提出了一个模型的稳态血浆中的药物浓度。作者的3)提出了一个模型的预测”的大脑——等离子体”药物浓度比。Zhang et al。4)研究药物浓度的比值之间的组织和等离子体。
开发了一个简单的和小说传感器分析临床阿霉素(阿霉素)浓度基于评价阿霉素浓度的丝网印刷电极,看到5]。在[6]作者评估后期血液样本内的药物浓度,浓度略有不同的价值取决于示例站点。作用于血液中的药物浓度,我们参考读者参考7- - - - - -11]。
分数微积分(F.C)有助于描述模型和自然现象的问题。很多研究都致力于他们的工作在本部门(见,例如,以往的研究(12- - - - - -19])。获得的结果有显著积极的在不同领域医学和生物学。分数阶微积分的基础放在分数积分和衍生品。分数阶模型的效率对整数阶调查巴格利和Torvik20.]。通过分数微积分,Djordjevic et al。21)开发了一种气道平滑肌细胞的流变模型,这是一个替代最小二乘数据拟合技术通常用于这一目的。最近,分数阶微积分应用纳米技术提出了在22]。这些只是几个分数微积分的许多研究工作的例子已经证明它的效率比现有的经典方法。
本文的研究有助于显示使用分数微积分数学建模的能力。特别是,一个类部分衍生品 - - - - - -卡普托,引入了阿尔梅达(23),已证明其效率在不同的应用程序包括最近的一项研究Awadalla et al。24]。本研究初步调查的主题是由我们来完成。说调查的结果(提供参考25]。这项工作的主要贡献的文学是减少或进一步最小化均方误差在药物的浓度动力学建模。本文首先介绍;然后,一些分数阶微积分预赛。元素的药物动力学和血液中药物浓度的数学模型是在第三部分讨论。主要理论成果是建立在第四节在第五部分应用实例。最后,最后一节提供了总体研究的结论。
更普遍的是,实现这些工作是出于为了减少药物动力学的建模错误。
2。预赛
本节致力于初步工具,在接下来的部分将使一个平滑的研究。事实上,F。C理论构建由于定理,定义和引理。类似于古典微积分,积分和衍生品部分意义上是足球的根基有关上述句子,选择定义,定理,和符号将在本节中讨论。他们扮演了一个重要的角色在剩下的纸。
定义1(见[9])。的分数积分次序 的一个函数 Riemann-Liouville意义上被定义为 方程(1)只有在给定积分的右边是逐点上定义 。注意,这个函数是俗称伽马函数,定义如下: 。
定义2(见[9])。卡普托导数 的一个函数 被定义为 在哪里 的整数部分是吗 。
定义3(见[2])。让 和 选择是一个递增函数 ;然后,符号代表了部分的积分另一个函数 ,它被定义为 集成的概念被称为一个函数定义卡普托积分部分的积分卡普托意义上。这是用于制定解决的续集卡普托分级模型。
定义4(见[2])。让 和 在哪里是一个递增函数, 。然后,表示的分数阶导数关于 。 卡普托如果分数阶导数在卡普托意义上,它是由
引理5(见[2])。让 和是一个正整数,这样 。对于每一个 ,我们有
3所示。药物动力学和药物浓度模型
一个简短的定义和概述本节提出了药物动力学。从人体治疗感染,适当剂量的药是实质性的。一旦药物管理通过静脉注射个体,它有一个初始浓度随时间减少。衰减出现由于新陈代谢和排泄。药物动力学是医学的一个分支,研究动态(活体)药物动力学。由于药物在人体内的数量随时间药必须在多个剂量。
两个主要的流药物动力学研究中存在的理论方法和实验方法。前方法侧重于药物动力学的发展(数学)模型,预测血液中药物的浓度。后一种方法包括经验开发基于生物样品,在此期间测量药物及其代谢产物的分析方法。在这种情况下,它需要有足够的实验设置数据收集和处理。本文结果对数学发展的药物动力学模型。整个过程的吸收,分布,代谢,排泄(ADME)的药物是在接下来的图中描述(26,27]。
图1代表药物后的ADME过程管理人类。这个过程是由浓度随时间的变化。可以用改变率 。更普遍的是,让我们表示体内的药物浓度;然后,给出了描述速度变化的数学模型 在哪里是一个常数实验确定为每个药物。如果病人给出一个初始药物剂量, ,然后,他的身体在任何药物水平时间定义的微分方程的解情商。6),也就是说,
这项工作的目标是证明药物浓度动力学建模的优点使用分数微分方程。事实上,我们将展示经验,建模结果使用F。C是比从古典微积分。出发点是建立一个分数对应的情商。6)。表示方程建立如下 或者简单地
下面的引理引入一般形式定义解决方案的情商。9代表药物浓度动力学与初始条件)。
引理6。让我们考虑 ,假设它是一个可积函数,定义了 。它遵循分数微分方程的解给出的情商。9)有一个一般形式可以表现出下列积分方程
值得强调的是情商。10)从引理6的存在 - - - - - -卡普托部分积分。
证明。让我们应用算子两边的情商。9)导致 。
方程(10以下形式)可以改写 在哪里 是米塔格-莱弗勒函数。
在应用程序中,核函数选择数据分布。没有一个稳定的规则。然而,一个线性内核在许多情况下行之有效。其他常用的内核包括但不限于 。
4所示。Psi-Caputo药物浓度模型的主要结果
本节的目的是调查在情商理论研究。(9)。的最终目标是建立证明解的存在和唯一性情商。9)。
让 是连续的实值函数的空间 具有一致收敛的准则: 对于每一个 。然后, 巴拿赫空间。
一个操作员 定义和连接到情商问题。(9)可以建造
接下来,解决情商的存在。(10)证明了说解的唯一性的证明。建立主要结果的证明之前,让我们首先建立以下语句。事实上,语句的数学假设用于部分致力于证明。
至少存在一个解决问题的办法情商。9下面的定理证明
定理7。让我们假设这三个条件 , ,和持有。然后,至少存在一个解情商。9)。说,解决方案是在间隔 。
证明。heorem的证明7将被分为几个步骤。第一步包括显示操作员 地图有界集的有界集 。让 是有界的 。然后
应用的上确界两岸的情商。17)导致
第二步的证据表明,该操作符 地图有界集到equi-continuous组 。
让 与 和 。下面的关系作为假设的结果 - - - - - - 情商的右边。19)趋向于零 。这是 作为 。
值得观察的是,右手情商的一部分。(19)不依赖 ,这意味着通过Arzela-Ascoli定理完全是连续的。
第三步的证明要求最后一个中间步骤完成Leray-Schauder非线性替代定理的假设。这包含所有解决方案的集合方程的有界性 。假设情商是一个解决方案。9),然后,它遵循从情商。10),
反相的两边情商。20.),他们除以相对湿度年代的情商。20.)会导致下面的关系
回忆 ,存在一个常数 ,这确实是这样吗 。此外,让我们构建一组 。很明显,操作员 完全是连续的和连续的。基于构造 ,存在 这样对于一些 。因此,通过非线性替代Leray-Schauder类型,我们推断出有一个固定的点 这是一个解决问题的办法定义为情商。10)。
定理8。让我们假设条件和持有。此外,如果条件 持有;然后,问题定义为情商。9)有一个独特的解决方案。说解决方案属于区间 。
证明。让我们考虑到运营商定义在情商。12)。还让我们定义一个球 在哪里 。
首先,让我们证明 。对于任何 ,和使用情商。12),我们有以下关系
另一方面,
用适当的片段情商的方程。24)情商。25这是由)意味着一个新的关系
方程(26)是足以断定 。
第二步的证据表明考虑操作符是一个收缩映射。对于每一个 ,以下关系。
从情商。27),我们推断出是一个收缩。巴拿赫收缩映射定理,情商定义的问题。9)有一个独特的解决方案。说解决方案属于区间 。
5。应用实例
在本节中,应用实例提供支持上述理论工作发展。数据集来自现实生活中的实验。经典的方法,简单的分级方法和内核部分方法被用来适应数据集。最后,比较的结果是支持的理论结果。
5.1。第一个实验的数据集
这个数据集从[检索28]。作者进行了一项实验,他测量药物浓度(毫克/升)/ 6小时的抗生素。表示一个剂量的抗生素静脉注射管理商会进行分装的女人。剂量水平20毫克/公斤。浓度数据的散点图显示了一个衰变。三种确定方法被用来适应数据集。第一种方法是被称为经典的方法,一般的解决方案是定义为情商。7)。第二个和第三个方法分数微分法和内核分数微分法,分别由情商的通用解决方案。(11),分别 ,微不足道的内核, ,纯粹的内核。这里的选择纯粹的内核是线性的 。这是观察到的经验,使用任何线性内核 ,与 ,产生类似的结果的情况吗 使用。
表1总结一方面最佳估计参数的经典和分级方法。另一方面,它显示了每个方法的MSE。观察到部分内核方法 表现最好的,其次是分级方法 最后的经典方法。值得强调的是结果的一致性。事实上,经典方法的解决方案是一个一阶微分方程;因此,人们会预计解决部分同行是这样的 。
图2原始数据集的图,安装线从古典模型,获得和安装线从分数获得方法 。彼此都安装线重叠在一开始的情节,但最后显示差异。的分级方法 似乎更接近真实的数据。MSE表1是一个证据。
图3原始数据集的图,安装线从古典模型,获得和安装线从分数获得方法 。类似于图2,仔细研究图表明,分数的方法 这份工作比经典的方法。此外,召回数据2和3以及表1顺序分类( 分级方法 ; 分级方法 ;和 经典方法)的三种方法用于这项工作变得明确。
5.2。第二个实验数据集
在这个实验中,一种新开发的药物是一个病人的管理。管理是通过一个完成的注入。血液样本定期,药物血浆浓度决定。数据集被检索(29日]。
类似的实验程序的第一个例子。最佳的参数值以及下面表中每个方法的委托。
表2总结并显示第二个实验的结果。观察到部分内核方法 表现最好的,其次是分级方法 最后的经典方法。此外,衍生品的分数阶总是这样 ,证明结果符合一阶微分方程。因此,结果是一致的。
图4显示原始数据,经典的解决方案,和部分与内核 。结果在表2反映的事实部分的方法比经典方法更符合原始数据点。
图5原始数据集的图,安装线从古典模型,获得和安装线从分数获得方法 。仔细检查图表明,分数的方法 这份工作比经典的方法。
6。结论和未来的工作
在这项工作中,我们研究了 - - - - - -卡普托类型的分数微分方程。这个导数部分所谓的模拟导数在古典微积分。的存在性和唯一性,讨论了该方法在应用程序的例子。实验结果表明,该 - - - - - -卡普托方法使用一个纯粹的内核函数表现最好,其次是一个简单的分级方法和最后的经典方法。的分数阶导数,让最适合数据总是这样 ,这是符合研究的设置问题,因为解决方案是一个一阶微分方程的经典方法。实验部分揭示了以下结果:
第一数据集的psi-Caputo内核 是最好的方法,因为它的收益率均方误差(MSE) 。第二最好是简单的分级方法的MSE ;最后,经典的方法是在第三位置的MSE 。
第二个数据集,psi-Caputo内核 是最好的方法,因为它产生一个MSE的 。第二最好是简单的分级方法的MSE最后,MSE的经典方法 。
在未来的工作,我们的目标是调查如果结果持有全部或大部分现有的部分衍生品。我们也研究属性可以帮助选择合适的核函数。在目前的研究中,选择随机函数完成,在尝试和错误的基础上,直到我们发现线性函数的家庭很可能做这项工作。
数据可用性
应用程序中使用的数据集部分是可以通过url中提供27]。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
每一个作者,M。一、陈文贤Y, K。一个,净收益,contributed to each part of this work equally and read and approved the final version of the manuscript.
确认
这篇文章是由科研院长以来,费萨尔国王大学(KFU) Ahsa,沙特阿拉伯。因此,作者承认技术和金融支持下纳什跟踪与格兰特(NA00080) KFU安全域的数量。