文摘
我们研究西尔维斯特的低度解矩阵方程 ,在哪里 和 是常规的。使用替代的参数变量 ,我们假设矩阵和是可逆的。因此,我们证明,如果方程是可以解决的,那么它有低度的解决方案 ,满足学位条件 。
1。介绍
处理问题规定输出控制理论导致广义西尔维斯特矩阵方程: 矩阵的矩阵多项式(例如,1- - - - - -7])。有一个广泛的研究和应用广义西尔维斯特矩阵方程的(例如,8- - - - - -11])。这项工作调查低度的约束方程解(11)矩阵多项式)学位和 。
我们采用以下术语(12]。让 与 ,我们表示矩阵多项式的程度通过 。如果 ,我们设定的程度 。一个矩阵多项式被称为普通如果 莫尼如果 是一个单位矩阵。
威默约旦多项式链用来描述广义西尔维斯特方程的可解性(13]。这个条件对溶解度延伸的结果Kučera [14)和Gohberg勒雷(15]。在[16Barnett),研究了低度解的存在性和唯一性。对于首一矩阵 ,和 ,他证明了方程(1)有一个独特的解决方案满意 当且仅当的决定因素和coprime。范斯坦和Bar-Ness17]扩展这个结果的情况或定期(不一定)。矩阵方程的可解性(1)也研究[18,19]。
众所周知,有多项式和 ,这样 和 ,在哪里 莫尼最大公因数吗 。当我们考虑在西尔维斯特矩阵多项式方程(1),结果表明,莫尼矩阵多项式和 ,如果方程(1)解决方案,那么它有一个解决方案 令人满意的 。然而,这句话在20.)表明,命题是假当该值和不是首一矩阵多项式。方程(1)与普通矩阵多项式和尚未完全开发的程度,我们将探讨低度的解决方案 在哪里 和 是常规的。我们使用索引矩阵来描述低度的绑定解决方案。
2。初步
为了证明定理2,我们首先回忆矩阵多项式的除法(12]。我们限制自己的红利是一个通用矩阵多项式: 除数是一个首一矩阵多项式:
在这种情况下,我们有以下表现: 在哪里是一个矩阵多项式,即正确的商,然后呢是一个矩阵多项式满足吗 。矩阵多项式被称为剩余的部门吗通过 。同样,我们有 在哪里是左商,是左余数。
引理1(引理3.1 (20.])。假设矩阵多项式和首一, 。如果矩阵多项式方程, 是可以解决的,那么它有一个解决方案吗 令人满意的 , 。
以下关于Drazin逆的定义可以发现在21]。
定义1。最小的正整数的 拥有被称为指数和用印第安纳州 。
定义2。让是一个 矩阵, 。如果满足的方程 然后被称为Drazin逆的和用 。
3所示。主要结果
我们从下面的定理的特殊西尔维斯特矩阵方程。
定理1。假设 , 。然后,这个方程 方程有解当且仅当 有一个解决方案。
证明。假设方程(12)持有。乘右侧的方程(12),我们有
这意味着方程(11)持有。
另一方面,通过Drazin逆矩阵的性质,存在一个矩阵令人满意的
乘右侧的方程(11),我们有
由方程(14),我们有以下方程:
因此,存在一个矩阵
满足
完成证明。
定理2。假设 可逆矩阵。如果西尔维斯特矩阵方程 有解决方案,那么它有低度解决方案吗 令人满意的
证明。假设西尔维斯特矩阵方程
有一个解决方案
,在哪里
然后,
不失一般性,我们可以假设
。增加双方的方程(22)
,左边的方程(22)
,和右边的方程(22)
,我们有
在哪里
,和
通过矩阵多项式的除法,我们理解的表示形式
在哪里
。
用表达式(25)方程(23),它可以表示为
由引理1方程(26)解决相当于存在
令人满意的
也就是说,
通过对比系数两岸的方程(28),我们有
。然后,取代通过
,方程(27可以减少)
由定理1,存在一个矩阵
,这样
在哪里
。
让
然后,我们有
同样,方程(18)有一个解决方案
令人满意的
这就完成了定理的证明2。
我们使用上面的定理来计算一个例子。本例还表明,一定程度的定理1是最低的一个。
例1。考虑方程
在哪里
。
由定理2和
我们假设
和
,也就是说,
如果我们把(36)(34)和解决方程,我们得到一个解决方案
实际上,没有矩阵多项式度0满足方程(34)。
数据可用性
没有数据、模型或代码生成用于支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是在山东省自然科学基金的支持下,中国(ZR2018PA002)。