文摘
在本文中,我们建立的存在孤立波与耗散KdV-mKdV方程摄动运用几何奇异摄动技术和Melnikov函数。稳定流形的距离,计算不稳定流形的存在相关的常微分方程系统的同宿循环慢流形,这意味着KdV-mKdV的孤波的存在与耗散摄动方程。
1。介绍
KdV-mKdV方程孤子物理学中扮演最重要的角色,出现在许多实际场景如热脉冲和波传播的粒子(1]。最近,许多数学家感兴趣研究KdV-mKdV方程行波解,还有很多工具来找到行波解,如逆散射法(2),双subequation法(3],正弦余弦方法[4,5),达布变换(6],Exp-expansion方法[7,8,动态系统的分岔方法(9]。KdV-mKdV方程是一个最受欢迎的孤子方程;因此,有广泛的相关调查(10- - - - - -14]。相反,基于孤立波解之间的关系和相关的常微分方程的同宿轨道,风扇,田15]证明了孤立波持续的奇摄动方程mKdV-KS几何奇异摄动的角度来看,当适当小的扰动参数。曼苏尔证明行波解的存在性的一些奇异摄动方程(16利用几何奇异摄动理论)。燕et al。17]研究了摄动广义KdV方程。他们证明了孤立波的存在和周期性的波通过应用几何奇异摄动理论和哈密顿正则摄动分析的系统。
孤波是一种特殊形式的超短脉冲,而维持一个恒定的形状、幅度和速度在传播。从物理学的角度来看,孤波是一种特殊的物质的非线性影响的产物。在数学上,它是一种稳定、energy-finite,非色散非线性偏微分方程的解决方案。孤波的特殊特征,我们将使用Fenichel持久性定理[18,19]研究存在的奇摄动KdV-mKdV方程的解决方案。 在哪里 和 ,不研究了相同的方法。我们试图调查存在的问题(孤波解的1利用几何奇异摄动技术)。
2。Fenichel理论
在本节中,我们审查的必要理论,我们将使用我们的讨论。我们在克里斯托弗博览会(19]。详情,可以诉诸Fenichel [18琼斯]或[19]。几何奇异摄动理论最初是由Fenichel和通常被称为Fenichel理论。理论的一个全面的概述,以及许多定理和详细的示例应用程序的新证据,是由琼斯(19]。
考虑到标准快慢系统: 在哪里的导数是 , 是一个真正的参数, , , , ,和对应的方向和速度对应于缓慢的方向。 是在一组 ,在哪里 和是一个开区间包含0。假设, ,系统有一个紧凑的正常双曲流形包含在一组 。管汇的是双曲通常的线性化(2在每个点)正好有与零特征值实部,中心点的维数。
Fenichel持久性定理1。根据上述假设,如果 足够小,存在一个函数上定义这样多方面的是不变的流动下的本地(2)。此外,是 - - - - - -光滑的任何 ,和是接近 。
变化的时间尺度 ,系统(2)等价于 当 ,系统(2)和(3)是等价的,系统(2)的快速系统,系统(3)缓慢的系统。几何奇异摄动理论利用微分方程的几何结构,如慢速(中心)导管及其快速稳定和不稳定的纤维。
3所示。奇异摄动分析KdV-mKdV方程
对于一个给定的常数 ,替换 到(1),它减少了一个普通的微分方程
条件下的 , ,和 ,积分方程,并设置积分常数为零,我们有
假设是一个持续的解决方案(5) 和满足 。如果 , 被称为孤波解。如果 , 被称为扭结波(次方)的解决方案。孤波解对应于一个同宿轨道(5),一个扭结(次方)波解对应于两个轨道(5),一个周期轨道对应于一个周期行波解(5)。
》(5可以给出)
系统(6)制定显然是一个缓慢的时间尺度,因为小的位置参数 。相应的快速系统
一般来说,系统(6)被称为慢系统因为时间尺度是缓慢的。和系统(7)被称为快速系统由于时间尺度是快。两种体系是等同的 。
在本节中,我们会发现平衡系统(点7),确定当地的行为在附近的平衡。让 和
系统(7)可以作为制定
有 平衡满足 ,也就是说, 在哪里 。
让
然后,特征方程是 ,和上面的判别方程 ;它的意思是 对于任何积极的和 ,和矩阵有两个共轭复杂和一个真正的特征值 。Viete定理, 会满足
很容易知道,如果 ,这两个复杂的特征值和有负实部。所以,稳定子空间 ,命名为 ,是二维的所有积极的吗和 。和 ,的不稳定子空间 ,是一维的。让和分别被当地的稳定和不稳定流形。动态线性化理论,它认为 和 。作为 在 ,并不足以证明同宿轨道和周期轨道的存在。在下一节中我们将解决这个问题。
4所示。持久性的孤波
设置 ,(7雅可比矩阵)
自可以描述为一个函数的图像,我们有吗 在哪里取决于顺利,满足 。因此,(6)可以简化为以下微分方程 : 限制的形式
自光滑,向量场(6)是光滑的,可以描述为一个函数的图像;我们可以扩展 在为 足够小,
在下面,我们将检查是否存在一个与小同宿轨道与否。从原始方程,我们找到原点 是一个临界点,(6),它仍然是一个临界点,必须属于 ;因此,我们应当寻找原点的同宿轨道 。临界点可以解释为一个表面的临界点,指出作为吗 ,参数化的和 ;据说 ,它跨越了一个不稳定流形和一个稳定的管汇 。当 , 和相交于一条曲线,曲线(同宿轨)我们正在寻找,用 。因此,条件下 ,为 和 ,我们参数化和远离临界点附近的十字路口,分别。
定义 并观察的0 。0的数量同宿轨对应的数量。因为有同宿轨独立当 ,我们有 ,和 。是由Melnikov函数
为 ,定义的参数方程如下: 在哪里 。为此,我们使用Melnikov函数的参数(20.];Melnikov函数表示为 在哪里 。
在不同的值和 ,不同的Melnikov函数值。有一些值如下:
公式(22)- (25)表明,Melnikov函数 具有独特的零在不同 ,分别。这意味着所有相应的轨道上有一个独特的十字路口 - - - - - -轴,这是一个独特的马鞍。换句话说,同宿轨的存在是足够小;因此,KdV-mKdV方程的孤立波解(3)坚持当 , , ,和 (见图1)。同样的,我们可以计算值和然后证明 具有独特的零。
(一)
(b)
(c)
(d)
5。结论
摄动KdV-mKdV方程是通过使用几何奇异摄动理论,和孤波的存在证明了足够小扰动参数。我们已经证明了扰动下的慢流形的持久性,然后构造波同宿轨的横向交叉适当的稳定和不稳定流形的慢流形。遗憾的是,几何奇异摄动理论不能给一个明确的证明了孤立波解的表达式。然而,介绍了持久性方法应该有广泛的适用性问题其他摄动方程的孤立波解;它可能是一个有趣的工作在未来。
数据可用性
所有的基础数据支持我们的研究结果可以发现从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金委广西(2020 jjb110007),中年和青年教师的基本能力提升项目广西(2020 ky16019和2020 ky16020)和广西财经大学项目(2019 qna03)。