不变性和守恒定律之间的关系的微分方程

文摘

在这篇文章中,我们强调的免费性质的结果Anco & Bluman和Ibragimov建设保护法律,而前者建立乘数的作用,后者提供了一个正式的程序来确定流。其次,我们表明,有一个潜在的对称性和守恒定律之间的关系在一般环境中,扩展卡拉& Mahomed的结果。结果有明显不同的形式为点对称发电机和高阶对称。相似的存在,在某种程度上,与先前建立微分方程的对称性和乘数相关的结果。大量的例子。

1。介绍

与守恒定律现在相关的角色和方法建立和有一些重大工作近年来在这些领域的贡献Noether通常处理那些承认变分对称变分问题。它是不足为奇了大部分的近期作品关注一概而论守恒定律的结构,可能nonvariational对称性的,最好是独立的知识。大量和广泛引用作品由于Anco & Bluman [1,2),尤其,安德森(3,4],和卡拉& Mahomed [5),一个有用的工作的深入论述了Olver [6绕了一大圈,就是在讨论“递归运营商”的概念。第一个广泛处理“乘数”的概念,如果一个微分方程乘以一个系数(微分函数)是一个总发散,欧拉算子歼这个产品,然后找到守恒流数量的因素。事实证明,乘数是伴随方程的解决方案。当然,人们仍然需要确定相应的守恒流使用,在别人,同伦公式(7]。大量的软件构造守恒的向量的各个组件可用;参见[8,9]。

自从守恒定律似乎具有不变性特性联系在一起,目的为了避免对称的路线可以被证明是困难的。这部分是由于构造守恒流所需的工作量;它可以麻烦和繁琐的处理出现的大型系统的微分方程在物理、宇宙学和工程。例如,构建保护直接从简单的标量的定义可能是简单的常微分方程,但更复杂的微分方程,在体液,宇宙学,薛定谔方程的各种系统,丰富的文献(等等),更大的任务。诺特定理的流行在于一个公式的存在。试图模仿这个公式甚至在nonvariational是诱人的,部分成功;参见[10]。特别是,Ibragimov的最近的工作11)开发过程使用Noether算子构造守恒的向量,对称微分方程的伴随方程的解决方案。

深入研究结果由于Anco & Bluman [1,2]和Ibragimov [11)表明,相似之处是丰富的;参见[12]。然而,它也表明,因为使用的方法在很大程度上是不同的,有一些内在差异,这里介绍的是试图表明这些差异,实际上,让这些作品是相辅相成的。例如,底层方面在乘数方法主要是构造乘数导致微分方程是守恒的。这些乘数可以选择特定的顺序(衍生品)记住,然后一个可以选择的方法来构造守恒的向量。在[11)、特定方法吸引Noether运营商知识后的对称和伴随方程的一个解。它将显示的总散度守恒流形式依赖于使用的对称是一个点是否对称或进化/规范对称性;一般导致后者的情况下将包括普遍的对称性。

2。符号和预赛

下面是一个总结的定义、概念和符号,将利用在续集。

考虑一个阶的偏微分方程(pde)的系统独立变量 和因变量 ,也就是说, 本地解析函数在哪里 有限数量的因变量 表示集合的第一,第二, , 阶偏导数是一个多变量;也就是说, 分别与总微分算子对给出的 为了确定和通量守恒的密度,我们求助于不变性和乘法器的方法基于众所周知的结果,即欧拉算子湮灭掉散度。首先,如果 是一个保守向量对应一个守恒定律,然后呢 微分方程的解决方案 。

此外,如果存在一个重要的微分函数 ,称为“乘数”,等 对于一些(守恒)向量 ,然后 在哪里 是欧拉算子。因此,可以确定乘数,使用(6),然后构造相应的守恒的向量;几种方法对于这个存在的更著名的一个是“同伦”的方法(13]。

如果pde变分,守恒定律可能由诺特定理。可以表明,谎言点对称,离开微分方程组的代数不变量包含Noether /发散/变分对称(6,11]。

守恒定律可以表述为守恒形式(4]。例如,如果 ,守恒形式 ( 是守恒的向量,这样吗 在pde的解决方案 )。在这里,导致“守恒密度”和分别的时间和空间。

3所示。守恒定律

3所示。1。在第一种情况下,我们认为守恒流之间的关系和各自的点对称微分方程的发电机。

例1。首先,我们利用热方程 作为一个说明性的例子。最终结果提出了一个命题。的乘数 和 讨论了(11]构造守恒的向量;那里被称为伴随方程的解决方案 。因此, 。一般来说,然后, 所以,(11),通过点对称守恒流 是 总散度 也就是说,总发散的 在哪里 。如果 , 的特点是 。如果在 ,

(我) ,然后 导致乘数吗 ;

(2) ,然后 导致乘数 。

例2。考虑一维波动方程 和洛伦兹旋转对称 与特征 和伴随方程 。详细的计算使用的结果[11)导致 这 在哪里 。

下列命题之间的关系定义点对称,乘数和守恒定律构造通过Noether运营商(11可以很容易地证明。

命题3。如果 (特征 )是一个谎言点对称发电机的二阶偏微分方程(pde) (其伴随方程 ), 和 然后散度 在哪里 和由保角决定因素。也就是说,如果 和 ,然后 ; 不需要一个常数。在特定的解决方案 伴随方程的守恒流 与乘数 。

一些繁琐的计算后,命题3很容易多维pde普遍 。

例子4(一)。三阶KdV方程 ,伴随方程是 。的计算11),使用对称点 和一个扩展版(13),导致保守向量组件 因此,经过详细得到简化 在哪里 和 。在命题3, 。

例子4 (b)。考虑最简单的与立方非线性薛定谔方程 。如果我们把 然后定义 在哪里 系统的解决方案吗 , ,的伴随 , 。守恒的向量的组件使用 然后 因此,一些操作后, 在哪里 , ,和 。当 和 ,我们得到了著名的节能通过(17)使用乘数 。

3所示。2。我们现在考虑广义对称性之间的联系,高阶对称,进化/规范对称性和守恒定律相关联。再一次,我们假设 (11]。

例5。在这个例子中,我们重新审视热方程 进化的对称 (从对称 和更高的对称性 和 用于构造守恒流 。
(我) ,我们获得保守向量的分量 这 在哪里 和 相关的递归运算符 。
(2)使用 ,我们得到了 这 (3)与 ,我们得到了 经过简化总散度 在哪里 和 是各自的递归运算符。

例6。众所周知,波动方程 ,“乘数”或任何变分方程等价于解决方程的伴随方程的对称,这样在简单的情况下进化的向量场 是一个普遍的对称和 乘数。应用诺特定理构造一个守恒定律显然是有效的途径。另外,如果我们假设 使用程序[11),我们得到 这 在哪里 和 。

命题7。在命题3,如果是一个普遍对称或进化/规范的向量场,这样吗 ,在哪里是相关的递归运算符 ,然后 再一次,可以普遍命题多维的情况。

示例8。我们重新审视KdV方程及其进化的向量场 。它可以显示 这 在哪里 , ,我们注意到, 。

4所示。讨论

很明显,在每种情况下,守恒流 是重要的因为 不相同的消失,而是在微分方程的解决方案。该方法的依赖在伴随方程的解决方案相当于乘数方法由于乘数是伴随方程的解决方案。因此,正如前面提到的,这两种方法在1,11)互补,后者有一个正式的程序构造守恒流使用微分方程的对称性。此外,我们表明,总发散,相当明确,显示对称性之间的关系(点或普遍)和守恒定律一般设置;比较的结果(5]。本文的主要结果模仿,在某种程度上,结果建立在微分方程的对称性和因子之间的关系,讨论了(14]。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。