Noninvariant超曲面的近Trans-Sasakian导管gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

本文着重于研究noninvariant近trans-Sasakian歧管配备超曲面gydF4y2Ba结构。最初的一些性质讨论了这种结构。进一步,第二基本形式的noninvariant超曲面近trans-Sasakian集合管和近cosymplectic集合管gydF4y2Ba结构计算提供gydF4y2Ba是平行的。此外,特征值gydF4y2Ba已经发现并证明noninvariant超曲面gydF4y2Ba结构近cosymplectic歧管接触结构变得完全测地线。最后本文总结了调查的必要条件完全测地线或完全脐noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

这样的超曲面,超曲面的切向量的变换gydF4y2Ba结构张量场gydF4y2Ba定义几乎从来没有超曲面的切线接触结构研究了Goldberg和矢野(1970年gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]。矢野和时候gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]介绍了gydF4y2Ba结构,称为一个noninvariant超曲面的接触度规管汇。在这篇文章中,他们发现,总是存在gydF4y2Ba结构,给结果,并不存在一个不变的超曲面的接触多方面的。因此,一个不变的超曲面的(几乎)cosymplectic歧管(几乎)卡勒是多方面的。进一步,他们证明没有noninvariant Sasakian歧管的超曲面。1990年,陈gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]介绍了斜子流形是不变的泛化和anti-invariant子流形的埃尔米特多方面的。最近,普拉萨德(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba]研究了noninvariant trans-Sasakian歧管的超曲面。在本文中,我们研究noninvariant超曲面的设置几乎trans-Sasakian歧管。gydF4y2Ba

2。预赛gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba是一个几乎与度量歧管联系几乎接触指标结构gydF4y2Ba;也就是说,gydF4y2Ba是gydF4y2Ba张量场,gydF4y2Ba是gydF4y2Ba—构成,gydF4y2Ba是一个兼容的黎曼度量,这样gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

几乎接触度规管汇gydF4y2Ba被称为gydF4y2BaSasakian廖gydF4y2Ba如果存在一个杀死向量场gydF4y2Ba单位长度的gydF4y2Ba张量场gydF4y2Ba类型的gydF4y2Ba,定义为gydF4y2Ba,满足条件gydF4y2Ba 对于任何一个向量场gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

的概念gydF4y2Batrans-Sasakian结构gydF4y2Ba是由Oubina [gydF4y2Ba5gydF4y2Ba]。1990年,布莱尔和Oubina [gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]找到条件gydF4y2Ba 为所有的向量场gydF4y2Ba,gydF4y2Ba在gydF4y2Ba在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是光滑的函数。在这种情况下,我们说trans-Sasakian结构类型gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

Gherghe引入了一个gydF4y2Ba近trans-Sasakian结构类型gydF4y2Ba 。几乎接触度规管汇gydF4y2Ba几乎接触指标结构gydF4y2Ba据说是一个gydF4y2Ba近trans-Sasakian廖gydF4y2Ba(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba 为所有的向量场gydF4y2Ba,gydF4y2Ba在gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在光滑的函数gydF4y2Ba和gydF4y2Ba协变微分算子的对吗gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

此外,近trans-Sasakian结构类型gydF4y2Ba近Sasakian或近Kenmotsu或近cosymplectic据吗gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba,分别。gydF4y2Ba

从(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 给出了高斯和温嘉顿公式gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba黎曼和诱导黎曼连接gydF4y2Ba和gydF4y2Ba分别为,gydF4y2Ba单位法向量在正常包吗gydF4y2Ba。在这个公式gydF4y2Ba第二基本形式gydF4y2Ba有关gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba几乎是一个超曲面的接触度规管汇;然后我们定义如下:gydF4y2Ba 为gydF4y2Ba,我们得到一个诱导gydF4y2Ba结构(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)noninvariant超曲面满意gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba;gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

因此,我们看到,几乎每个横向超曲面的接触黎曼流形也承认gydF4y2Ba结构。gydF4y2Ba

3所示。Noninvariant超曲面与gydF4y2Ba结构gydF4y2Ba

一个noninvariant超曲面的一个几乎接触多方面的(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)是一种超曲面的切向量变换的超曲面的一个线性变换gydF4y2Ba类型的gydF4y2Ba在每一个切线空间gydF4y2Ba的gydF4y2Ba,gydF4y2Ba定义几乎接触结构,从来不是超曲面的切线。让gydF4y2Ba的切向量noninvariant超曲面gydF4y2Ba永远不会超曲面的切线(定义的gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

超曲面的一个几乎接触多方面的一般不具有复杂的结构。戈德堡和矢野gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)表明,不存在一个不变的超曲面的接触多方面的。声明说,这是不可能埋藏一个歧管作为不变的超曲面的接触空间。众所周知,一个超曲面(真正的余维数1)几乎复廖承认几乎接触结构。然而,这显然超曲面不是不变的,因为真正的余维数是1;否则它几乎承认一个复杂结构。gydF4y2Ba

集合管考虑noninvariant超曲面的接触gydF4y2Ba。这些又承认几乎复杂的结构,但除此之外,有一个杰出的gydF4y2Ba—构成gydF4y2Ba引起的接触形式gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

引理1。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构gydF4y2Ba。然后gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba考虑gydF4y2Ba 通过使用(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)。然后从(gydF4y2Ba16gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba),我们(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba
接下来,gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba 类似的gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba),我们得到了(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba
此外,考虑gydF4y2Ba 这证明(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

命题2。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba从(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 将切向和正常的部分,我们有gydF4y2Ba

现在我们找到一些结果完全测地线noninvariant超曲面。gydF4y2Ba

定理3。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个完全脐noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构。那完全是测地线gydF4y2Ba 同样,如果近trans-Sasakian歧管承认接触结构,gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba考虑gydF4y2Ba 然后,我们有gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba28gydF4y2Ba),我们计算gydF4y2Ba 我们将正常的一部分,gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba完全是脐呢gydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaKahlerian指标(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba我们知道的关系gydF4y2Ba在gydF4y2Ba有关gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba,然后(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba)给gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba完全是测地线,gydF4y2Ba,然后(gydF4y2Ba32gydF4y2Ba)给(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)。如果近trans-Sasakian歧管接触结构,然后从(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)我们(gydF4y2Ba26gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

定理4。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构。如果gydF4y2Ba平行,那么人呢gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是一个张量场的类型gydF4y2Ba。同时,gydF4y2Ba完全是测地线如果gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba从(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba),我们很容易发现的关系gydF4y2Ba 自gydF4y2Ba平行(gydF4y2Ba35gydF4y2Ba)减少gydF4y2Ba 应用gydF4y2Ba双方,我们获得gydF4y2Ba 鉴于(gydF4y2Ba37gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
以类似的方式gydF4y2Ba 使用(gydF4y2Ba37gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba39gydF4y2Ba),结果(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba
接下来,从(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 如果近trans-Sasakian联系结构gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba

因此,我们有以下。gydF4y2Ba

推论5。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个noninvariant超曲面gydF4y2Ba近cosymplectic歧管的结构。如果gydF4y2Ba平行,那么人呢gydF4y2Ba

定理6。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个noninvariant超曲面gydF4y2Ba近trans-Sasakian歧管的结构。如果一个向量场gydF4y2Ba平行,那么人呢gydF4y2Ba 因此,如果gydF4y2Ba完全是测地线和gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba的特征值gydF4y2Ba是gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba考虑gydF4y2Ba 因此gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba47gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 然后从(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba)我们有gydF4y2Ba 使用(gydF4y2Ba46gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba48gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba49gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba 现在将切向部分,我们有gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba平行(gydF4y2Ba51gydF4y2Ba)意味着gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba完全是测地线然后gydF4y2Ba;也就是说,gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
因此gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba,这意味着gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
因此,特征值的gydF4y2Ba是gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定理7。gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba平行向量场noninvariant超曲面gydF4y2Ba与gydF4y2Ba近cosymplectic歧管的结构gydF4y2Ba承认接触结构gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba我们知道,对于一个几乎cosymplectic歧管gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 从(gydF4y2Ba28gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba55gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 将切向部分,我们有gydF4y2Ba 因为近cosymplectic歧管承认接触结构gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba是平行的,那么gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba,因此gydF4y2Ba ,这使gydF4y2Ba ,这意味着gydF4y2Ba完全是测地线。gydF4y2Ba
命题gydF4y2Ba2gydF4y2Ba也使我们能够推断出上述结果取代gydF4y2Ba,gydF4y2Ba近cosymplectic歧管承认接触结构(例如,gydF4y2Ba)提供gydF4y2Ba是平行的。gydF4y2Ba

利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突有关的出版。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

作者要感谢匿名审稿人的宝贵的意见和建议,提高论文的质量。他们也感谢Rajendra普拉萨德博士对他的帮助。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

1. s . i . Goldberg和k .矢野”Noninvariant超曲面的接触集合管,”gydF4y2Ba日本数学学会杂志》上gydF4y2Ba,22卷,不。1、25 - 34,1970页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
2. k .矢野和m .时候,”gydF4y2Ba$(gydF4y2Ba\mathrm{FgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ggydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ugydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{vgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{\lambda gydF4y2Ba})gydF4y2Ba$结构。”gydF4y2Ba恒大数学研讨会报告gydF4y2Ba22卷,第423 - 401页,1970年。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
3. b . y .陈gydF4y2Ba偏子流形的几何gydF4y2Ba鲁汶,Katholieke项目,比利时的鲁汶,1990。gydF4y2Ba视图:gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
4. r·普拉萨德”non-invariant trans-Sasakian导管的超曲面,”gydF4y2Ba加尔各答数学学会公报gydF4y2Ba,卷99,不。5,501 - 510年,2007页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
5. j . a . Oubina”几乎接触度量结构的新类,”gydF4y2Ba出版Mathematicae德布勒森gydF4y2Ba,32卷,不。3 - 4、187 - 193年,1985页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
6. d·e·布莱尔和j . a . Oubina“保形及相关指标的变化在两个几乎接触指标集合管的产品,”gydF4y2BaPublicacions MatematiquesgydF4y2Ba,34卷,不。1,第207 - 199页,1990。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
7. c . Gherghe”近trans-Sasaki导管,调和性”gydF4y2BaDemonstratio MathematicagydF4y2Ba,33卷,不。1,第157 - 151页,2000。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
8. d·e·布莱尔,gdp Ludden, k .矢野“诱导结构子流形,”gydF4y2Ba恒大数学研讨会报告gydF4y2Ba,22卷,不。2、188 - 198年,1970页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba
9. s . i . Goldberg”Kaehler导管的保角变换gydF4y2Ba《美国数学学会gydF4y2Ba卷。66年,54-58,1960页。gydF4y2Ba视图:gydF4y2Ba出版商的网站gydF4y2Ba|gydF4y2Ba谷歌学术搜索gydF4y2Ba|gydF4y2BaMathSciNetgydF4y2Ba

版权gydF4y2Ba

版权©2014萨提亚普拉卡什Yadav和Shyam基肖尔。这是一个开放的分布式下文章gydF4y2Ba知识共享归属许可gydF4y2Ba,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。gydF4y2Ba