文摘
我们引入了一类多价统一函数不同参数,给这个类中的函数的一些性质,并获得结果包括系数估计和失真定理。最后,我们给这个类的极限点。
1。介绍
让表示函数的类下面的形式: 分析和化合价的公开单位圆盘。一个函数据说是化合价的星形的订单如果它满足如下不等式: 我们表示所有的类化合价的星形的功能。还一个函数 据说是化合价的凸的,如果它满足如下不等式: 我们表示所有的类-valently凸函数。的类和介绍了由帕蒂尔和Thakare [1]和Owa [2]。进一步从(2)和(3),我们可以看到 也为一个函数,微分算子卡马利被定义也展示和Orhan3],Orhan和Kiziltunc [4],和Aouf Mostafa [5)如下: (一般) 我们注意把在(6),我们的操作员通过引入Sălăgean [6]。
在[7),艾克和Şeker介绍了类如下。
定义1。为,,让类的功能它满足
专业的参数,我们得到以下子类研究不同的作者:(我)
和(见Khairnar和更多8]);(2)
和(见帕蒂尔和Thakare [1]和Owa [2]);(3)
(见艾克和Owa [9]);(iv)
(见艾克和Owa [10]);(v)
(见乐观和Murugusundaramoorthy [11]和Aouf [12]);(vi)
和(见Shams et al。13),一代诗人et al。14])。
我们也注意到,
西尔弗曼(15单价的函数的类定义的在这样一种规定是单价的,当且仅当吗是星形的。在本文中,我们介绍的子类化合价的函数在不同参数如下。
定义2。一个函数的形式(1)是在课堂上如果和对所有。如果另外存在一个实数这样
对所有,然后据说是在课堂上。的结合接管所有可能的序列和所有可能的实数用。
让表示的子类组成的函数
。
我们注意到,介绍和研究了西尔弗曼(15]。
专业的参数,,我们获得以下类不同参数相关的子类之前提到的:(我)
和;(2)
和;(3)
;(iv)
;(v)
;(vi)
和;(七)
。
在本文中,我们班上获得函数的系数范围,进一步得到失真定理和极限点这个类的函数。
2。系数估计
除非另有所提到的,我们假设在本文的提醒,。
我们需要下面的引理。
引理3。的充分条件由(1在课堂上)是,
证明。这足以证明不等式(7)适用。然后就可以证明 我们有 或者,同样, 然后我们有 让我们通过实际值,然后 上面最后一个表达式是有界的如果 因此引理的证明3就完成了。
备注4。(我)结果从引理3纠正结果通过艾克和Şeker [7定理1]。
(2)将在引理3,我们正确的结果通过艾克和Owa [9定理2.1)。
定理6。让的形式(1),然后当且仅当
证明。鉴于引理3我们只需要显示功能满足系数不等式(17)。如果,然后从(7),我们有
然后我们有
或
自,是在课堂上对于一些序列和一个实数这样
集在(20.),我们得到
让,然后我们有不平等(17)。
因此定理的证明6就完成了。
推论7。如果,然后 函数的结果是锋利的给出的
3所示。失真定理
定理8。函数定义为(1在课堂上。然后 在哪里 结果是锋利的。
证明。我们使用相同的技术,所使用的西尔弗曼(15]。针对定理6,因为
是一个增加函数的,我们有
这是
因此,我们有
同样,我们得到
这就完成了定理的证明8。最后结果是锋利的下列功能:
在。
推论9。假设下的定理8,包含在一个圆盘半径和中心在原点吗给出的
定理10。函数定义为(1在课堂上。然后 在哪里被定义为(26)。定理的结果10是锋利的。
证明。同样的定义为(27很明显,是一个增加函数的针对定理6,我们有 这是 因此,我们有 同样的, 最后,我们可以看到,定理的断言10锋利的函数定义为(32)。这就完成了定理的证明10。
推论11。假设下的定理10,包含在一个圆盘半径和中心在原点吗给出的
4所示。极端点
定理12。函数定义为(1在课堂上,,在那里 。定义 然后当且仅当可以表达形式,在那里和。
证明。如果与和,然后
因此,。
相反,让函数定义为(1在课堂上。定义
从定理6,所以。自,然后
这就完成了定理的证明12。
的话13。(我)把和在所有上述结果,我们得到相应的结果,西尔弗曼(15]。
(2)把(我)和和(2)和在所有上述结果,我们得到相应的结果由Aouf et al。16]。
(3)将在所有上述结果,我们得到的相应结果类,定义为(8)。
承认
作者感谢裁判的有价值的建议导致本研究改进。