文摘

本质上的概念介绍了汉克尔运营商在空间。除了讨论一些代数和的拓扑属性集,基本上所有的集合汉克尔运营商在本质上,它表明一个托普利兹Rhaly运营商确定序列是在 当且仅当

1。介绍

托普利兹运营商的概念引入了托普利兹(1在1911年。汉克尔运营商的正式同伴托普利兹运营商。众所周知,托普利兹和汉克尔运营商特征算子方程的解决方案和分别在哪里表示单方面提出的转变。算子方程的解决方案(任意复数在1984年[被太阳2]。在2002年,阿根廷3]介绍的概念汉克尔运营商和运营商满足算子方程。在一个不同的方向,阿根廷4]研究汉克尔运营商的概念指的是鞋底铁掌代数和介绍的概念本质上汉克尔运营商。出于这些发展,在这篇文章中,我们介绍和研究的概念汉克尔运营商的空间。

对于一个固定的复数,我们都表示的集合汉克尔运营商在通过。一组显示是norm-closed向量的子空间基本上不含可逆算子。结果表明,对于一般的,既不是一个代数的运营商也不是自伴的。虽然集不包含任何非零托普利兹运营商,它是不变的乘法下托普利兹运营商。事实证明,是一个代数没有身份,在哪里表示所有的类本质上托普利兹运营商。特别是,纯粹是虚构的,是一个代数。我们还表明,如果,不包含noncompact Rhaly运营商。

我们从下面开始

定义1(见[5])。一个有界的线性算子在据说是一个本质上托普利兹运营商如果满足吗 对于一些紧凑的运营商在。基本上所有托普利兹运营商用。

定义2(见[4])。一个有界的线性算子在据说是一个本质上汉克尔运营商如果满足吗 对于一些紧凑的运营商在。基本上所有汉克尔运营商用。更多细节,可以参考(4]。

定义3(见[3])。 据说是一个如果它满足汉克尔运营商。
显然,0-Hankel运营商只是一个汉克尔运营商。

定义4(见[6])。给定一个序列标量的Rhaly矩阵(梯田矩阵)(6)被定义为 这意味着Rhaly矩阵下三角矩阵恒行段。众所周知,(6如果是有界的,那么Rhaly矩阵代表一个有限的空间上的线性算子(确定),。

我们现在介绍的概念汉克尔运营商的空间如下

定义5。对于一个固定的复数,一个有界的线性算子在据说是一个本质上吗汉克尔运营商如果它满足算子方程 对于一些紧凑的运营商在,指示前进的单方面转移。
我们都表示的集合汉克尔运营商在通过。一些基本的事实和见解从定义本身遵循如下:(我) ,在那里表示所有小型运营商的理想,(2)因为在零操作符紧凑,每汉克尔操作员在,(3)如果,然后,在那里基本上是所有汉克尔运营商由阿根廷引入[4),(iv)如果是一个汉克尔算子,然后呢。因此,每一个汉克尔运营商。(v)我们看到,操作员不能压缩,对于任何复数。因此,对于任何,在那里表示单位算子,(vi)为,当且仅当 (七)从定义本身,显然,如果是一个汉克尔操作员和是一个紧凑的运营商,然后是在。也就是说,紧凑的扰动汉克尔运营商都在。由阿根廷显示相反的含义是不正确的。阿根廷(4证明采查罗操作符(即。,the Rhaly operator corresponding to the sequence)的矩阵与标准正交基是由 是在但不使用0-Hankel加上紧凑的形式,(八) 是一个norm-closed向量空间的,所有的空间有界的线性算子。

证明。为在和,我们有 在哪里。因此,。同样,如果在,每个是在,然后在。因为每个和统一是一个封闭的子空间的,接下去。因此,。因此,结论明确。

我们看到,如果,然后 在伴随的双方,我们得到的 因此,。

因此,是一套自伴的,我们表明,对于一般的复数吗,这并非如此。也就是说,不是一套自伴的。我们从下面开始。

定理6。如果和是不同的复数呢

证明。让。然后, 在哪里。我们减去前面的两个方程 在哪里。这意味着。因此,。反向包含明显的定义。

定理7。如果,然后,在那里。

证明。让。然后, 对于一些紧凑的运营商在。两岸伴随(13),我们得到 在哪里。因此,。这意味着,在那里。

推论8。非紧算子的必要条件在,自伴的是纯粹是虚构的。

证明。让,在那里非紧算子在吗。然后,,在那里。现在,如果,然后。作为非紧化,我们有什么。也就是说,。也就是说,纯粹是虚构的。

定理9。让。然后,,在那里表示算子的本质谱。

证明。让。然后, 在哪里是一个紧凑的运营商。
(我)。:在这种情况下,满足 在哪里。很明显,如果不能弗雷德霍姆,弗雷德霍姆运营商指数吗,然后和弗雷德霍姆运营商有指标吗和分别导致,这是荒谬的。因此,。
例(2)。 :在这种情况下,如果本质上是可逆的,然后呢是一个紧凑的运营商。这导致了同样重要的和,这是一个矛盾,在那里在复平面表示单位圆。所以,在这种情况下。

在接下来的定理,我们表明,没有非零托普利兹运营商。我们需要下面的前题。

引理10。一个非零托普利兹运营商不能汉克尔算子。

证明。让是一个非零托普利兹算子。然后, 如果可能的话,假设是汉克尔。然后, 从(17)和(18),它遵循 也就是说, 对所有。这意味着是有限维的,因此一个紧凑的运营商。但非零托普利兹运营商不紧凑。因此,我们有一个矛盾和结论。

引理11。如果是一个非零托普利兹运营商,那么是什么,指示前进的单方面转移。

使用前两个引理,我们现在证明不包含任何非零托普利兹算子。

定理12。 ,在那里表示所有托普利兹的集合操作符。

证明。让。然后, 对于一些紧凑的运营商在。自托普利兹运营商,也是一个托普利兹运营商。由此可见,托普利兹运营商吗。作为一个非零托普利兹运营商不能紧凑,我们必须有。也就是说,是一个汉克尔运营商。现在,使用引理10,我们得到。因此,

在接下来的定理,我们表明,该设置不变的是根据托普利兹乘法操作符。

定理13。如果和是托普利兹运营商吗,然后和都是在。

证明。让托普利兹运营商在空间。然后,我们有 自本质上是统一的,我们有换向器的与,这与是紧凑的。现在,让。然后,(我)考虑 因此, (2)考虑 因此, 因此,结论是清楚的。

更普遍的是,我们有以下。

定理14。如果和,然后,。

证明。让和。然后, 现在, 因此,。
同时, 因此,。
我们这里提到的以前的结果是证明了特例由阿根廷(7]。很容易看到是一个代数。这一事实给了我们,连同之前的定理是一种代数的运营商如以下所示。

定理15。 是一种代数的运营商没有身份。

证明。自是一个代数和是一个向量的子空间,接下去是一个向量的子空间。同样,如果然后利用定理14,我们得到。因此,是一种代数的运营商。作为定理证明。

备注16。我们已经看到,如果纯粹是虚构的呢是一套自伴的。因此,纯粹是虚构的吗,将是一个代数。

定理17。如果,然后 对于一些紧凑的运营商在。

证明。让。然后, 对于一些紧凑的运营商在。
如果,然后。从(32),。也就是说,。这意味着,在那里。因此,,在那里。因此,结果是明确的。

推论18。如果,然后 对于一些紧凑的运营商在。

证明。让。然后,,在那里。应用定理17来,我们得到 对于一些紧凑的运营商在。这意味着 因此, 在哪里。所以,结论。

评论19。众所周知,(3,7)的核汉克尔运营商的不变子空间和关闭的范围汉克尔运营商的不变子空间。我们提到以下这些事实汉克尔运营商遵循定理的推论17和推论18。因为如果是汉克尔然后在定理17和推论18导致和,分别。

众所周知,Rhaly算子本质上是托普利兹当且仅当它本质上是汉克尔。也就是说,当且仅当。我们表明,情况并非如此。事实上,本质上是托普利兹Rhaly运营商 当且仅当它是紧凑。准确地说,我们有以下。

定理20。让Rhaly运营商确定序列。然后当且仅当。

证明。让。然后,(4]。现在,如果,那么我们就有。作为,我们有通过定理6。众所周知,(8]Rhaly运营商决定顺序紧凑当且仅当吗。期望的结果。

承认

UGC的支持科研补助金no.8-1 (2) / 2010 (MRP / NRCB)开展研究工作。