文摘

我们研究一个基于非线性向量延迟与多个偏差变元的微分方程。一些标准保证方程的零解的不稳定性给出了利用Lyapunov-Krasovskii功能的方法。与先前的文献相比,我们的结果是新的,补充了一些已知的结果。

1。介绍

李雅普诺夫函数和泛函,得到成功应用,仍被用来获得稳定、不稳定,有界性,和微分方程的周期解的存在性,与功能延迟微分方程、泛函微分方程(1- - - - - -18])。

应该注意的是,在2000年,利用李雅普诺夫函数方法,李和段2]讨论了不稳定的解决方案,基于非线性及时标量微分方程:

之后的2011年,使用相同的技术,Tunc [12]研究了不稳定的解决方案基于非线性标量时滞微分方程:

在本文中,我们考虑到基于非线性向量multiple-deviating时滞微分方程参数: 质数的地方(3)表示分化有关,,;,某些积极的常量,固定的延迟,是一个常数对称矩阵,和是连续的对称矩阵函数相应的参数,与是连续的相应参数。让和表示的线性算子和来 在哪里,,,的组件,,,,分别。接下来,假设和存在,是对称的,连续的。

方程(3)是向量版本系统的非线性微分方程的第五个顺序:

而不是(3),我们考虑相应的微分系统 这是获得通过设置吗,从(3)。

然而,迄今为止的文献回顾表明向量微分方程的解的不稳定的第五阶偏差参数没有被调查。本文是第一个已知的不稳定的解决方案的非线性向量时滞微分方程与multiple-deviating第五阶参数。本文的动机来自上面的论文进行标量非线性微分方程的第五阶没有延迟和第五秩序的矢量微分方程。通过这项工作,我们改善的结果(2,12)一个向量与multiple-deviating第五阶时滞微分方程参数。定义Lyapunov-Krasovskii功能和考虑到Krasovskiĭ的标准(19),我们证明我们的主要结果。得到的结果是新的,有贡献的话题,可能是有用的研究人员定性微分方程的解决方案的行为。

定义1。零的解决方案,的,如果对于每一个是稳定的存在这样意味着对所有。零解是不稳定的,如果是不稳定的。
符号对应于任何一对在代表一般的标量积,也就是说,=;因此和是真正的对称的特征值矩阵。矩阵据说是负定,什么时候对于所有非零在。

2。主要结果

在陈述主要结果之前,我们需要下面的结果。

引理2。让是一个真正的对称矩阵和 在哪里和是常数。
然后 参见[20.]。
让被给予,让与
为定义通过
如果是连续的,那么,对于每个在在被定义为
让是一个开放的子集并考虑一般有限自治时滞微分系统延迟: 在哪里是连续的和封闭的和有界集映射到有限集。它遵循从这些条件每个初始值的问题, 有一个独特的解决方案定义在一些区间。该解决方案将会用这。

本文的主要结果是由下面的定理。

定理3。除了对基本假设,出现在(3),我们假设存在正的常数,这样,下列条件:
,是对称的, 如果 然后的零解(3)是不稳定的。

证明。我们定义Lyapunov-Krasovskii功能 在哪里某些积极的常数,并将决定后面的证明。
很明显,。
让
使用的假设,我们有 对于所有任意,验证的属性Krasovskiĭ[19]。
使用一个基本的计算,对时间的导数的解决方案(6)的结果 这个定理的假设下,施瓦兹不等式,它可以很容易地看到 因此
让。然后,利用定理的假设和估计我们得到了
如果那么,一些积极的常数我们有 验证,有财产Krasovskiĭ[19]。
除此之外, 这个估计的替换成系统(6)的结果 也就是说, 因为 常数向量,因此,自不是零矩阵,我们有什么常数向量,。但是,鉴于定理的假设,这意味着也因此,,这,。这些估计结果。因此,房地产Krasovskiĭ[19适用于Lyapunov-Krasovskii功能
定理的证明。