文摘

我们介绍的概念有缺陷的统计的实值函数序列的收敛性。我们也给这个收敛之间的关系和强烈的有孔的点态收敛统计。此外我们引入的概念有缺陷的统计柯西序列功能序列和证明它相当于缺项的统计的实值函数序列的收敛性。

1。介绍

统计的思想实际和复数序列的收敛,迅速推出了(1由巴克(独立),也2]和Shoenberg [3]。Gokhan和我4)定义的点态统计收敛序列的实值函数的说或 在当且仅当每一个,

通过一个有孔的序列,我们的意思是越来越整数序列这样和作为。在本文的间隔由将用和比例将缩写。

最近et al。(5]定义了强烈有孔的收敛序列的实值函数的方式。

对于任何有缺陷的序列,一个函数序列据说是强烈有孔的收敛吗在一组如果存在这样 对于每一个。我们表示这个象征性地写 在。

Fridy和Orhan6)定义有缺陷的统计收敛,说或当且仅当每一个, 此外,Fridy和Orhan [7]介绍了有缺陷的统计柯西序列。

2。有缺陷的统计收敛

现在,我们介绍的概念有缺陷的统计的实值函数序列的收敛性。

定义1。让缺项的序列,序列是有缺陷的统计收敛到在前提是每,
在这种情况下我们写或 在。
现在,我们先给一些强烈有孔的收敛性之间的关系和有缺陷的stratistical收敛性和有界序列显示他们是等价的。我们也研究 在 在和 在在一定的限制。

定理2。让是一个有缺陷的序列;然后(我) 意味着 在;(2) 对于每一个和 意味着 在;(3)让对于每一个。然后 当且仅当 在。

证明。(我)如果和 在我们可以写 哪种方法的结果。
(2)假设和在说, 对所有和每一个。鉴于我们得到了 对于每一个,结果如下。
让被给予和定义是,在第一个整数的,否则在。请注意,不是有界。我们为每一个, 也就是说,。另一方面, 在;因此。
我们的话,(ii)中给出的例子表明,有界性条件不能省略了假说的定理2(二)。
(3)这是一个直接后果(i)和(ii)。

引理3。对于任何有缺陷的序列,意味着在当且仅当。

证明。第一个假设;那么存在一个这样足够大的,这意味着 如果在,然后每对于足够大,我们有 这证明了充分性。
相反,假设。继续在引理2.1 [5我们可以选择一个子序列缺项的序列这样 在哪里。
现在定义一个有界序列通过如果对于一些和否则在。引理2.1所示(5),不是强有孔的收敛吗,但强烈采查罗可和性。定理2(2)暗示不是有缺陷的统计收敛,但它遵循从定理2.3。(我)的5),是统计上点态收敛吗。因此我们获得点态统计收敛吗,但它不是有缺陷的统计收敛。这与假设,那里。

引理4。对于任何有缺陷的序列,在意味着在当且仅当。

证明。如果,然后有一个这样对所有。假设在,让 由(4)给,有一个这样
现在我们对于每一个,让是任意整数满意;然后我们可以写 对于每一个立即,充分遵循。
相反,假设。在引理2.2[想法后5我们可以选择一个子序列缺项的序列这样,定义一个有界序列如果对于一些,否则在。引理2.2所示(5), 在但在。由定理2我们得出结论,(我) 在但定理2.3的5)意味着 在。因此 并不意味着 在。
结合前题3和4我们得到以下。

定理5。让是一个有缺陷的序列,让是一个函数序列在一组;然后和当且仅当

3所示。柯西准则

现在我们介绍了有缺陷的统计模拟的柯西收敛准则,正如我们将看到的,相当于有缺陷的统计收敛。

定义6。让 是一个有缺陷的序列,让是一个函数序列在一组。序列据说是一个有缺陷的统计柯西序列如果有子序列的这样为每一个,在,每

定理7。序列有缺陷的统计收敛当且仅当吗是一个有缺陷的统计柯西序列。

证明。让在,写 为每一个。因此,对于每一个,对于每一个和
选择这样意味着对于每一个。下一个选择这意味着对于每一个。然后为每个令人满意的,选择这样对于每一个。一般来说,选择这样意味着对于每一个。然后对所有令人满意的,选择对于每一个,即: 对于每一个。因此,我们得到对于每一个,(20.)意味着对于每一个。此外,我们为每一个, 使用的假设在和在,我们推断(17),从是一个有缺陷的统计柯西序列。
相反,假设是一个有缺陷的统计柯西序列。对于每一个,我们有 由此可见,在。

4所示。结论

知道几个不同类型的融合可以定义序列其中重点是实值函数在实线有一个共同的域。本文给出了有缺陷的统计收敛序列的实值函数并给出了一些这个收敛和强烈有孔的收敛性之间的关系,表明他们是等价的实值函数的有界序列。此外,本文证明了这个收敛相当于缺项的统计柯西序列。