文摘
本文包含模糊半群的充分条件是模糊组使用模糊点。内核的存在模糊半群是探索。已经表明,每一个模糊理想的半群包含每一个最小模糊左和最小模糊理想的半群。模糊的内核是最小的类和模糊左(右)理想的半群。每一个模糊左理想模糊内核也是一个模糊理想的半群。已经表明,产品的最小模糊理想和最小模糊理想的半群形成一个集团。的表示最小模糊左(右)理想和十字路口的表示最小模糊左理想和最小模糊的理想。模糊半群的核是类的所有最小模糊左(右)理想的半群。最后模糊内核的充分条件是完全简单的半群已被证明。
1。介绍
德在1965年引入了模糊集的基本概念在他的论文(1)提供一个有用的数学工具来描述系统的行为过于复杂或不明确的承认经典的精确的数学分析方法。文学模糊集理论和其实用性功能迅速uptil现在。这些概念的应用程序现在可以看到在人工智能等多种学科,计算机科学、控制工程、专家系统、操作研究,管理科学和机器人。
Mordeson [2已经证明了模糊半群的基本探索。他也给出了模糊半群的现象的阐述及其在模糊应用程序编码、模糊有限状态机、和模糊语言。模糊理论在自动机和日常语言广泛讨论(2]。
模糊集是一组非空的。主要的思想是,每个元素的被赋予一个会员级别在,对应nonmembership,部分成员,完整的会员。在数学上,一个模糊子集一组是一个函数的在闭区间。模糊数学理论在许多领域提供了概括,如代数、拓扑,微分方程,逻辑和集合论。研究了模糊理论在组织结构和广群罗森菲尔德(3),定义了模糊子群化和模糊左(右,双侧)广群的理想。他已经使用了特征映射 的一个子集广群的表明子群化或左(右、双边)理想的当且仅当是模糊子群化或模糊左(右、双边)理想的。模糊半群第一次被Kuroki [4他研究了半群的bi-ideals]。他还认为模糊内部理想的半群,对团体、联盟组织,和semilattices组通过模糊bi-ideals。谢n . Kehayopulu x y、m . Tsingelis产生了数篇论文在半群的模糊理想。
一个非空的子集半群的是左(右)理想如果是理想的,如果是左和右理想的。一个理想的的被称为最小的理想吗如果不正确地包含任何其他的理想吗。如果十字路口半群的理想非空的,那么我们将电话吗的内核。亨廷顿在[5)显示的简化定义半群是一个组。我们使用这个概念模糊半群和显示产品的最小模糊左理想和最小模糊理想形成一个集团。克利福德(6]给最小的表示左(右)理想的半群。我们使用这个想法扩展模糊理想的理论最小模糊理想的半群,给出模糊的表示内核的最小模糊左(右)理想的半群。
半群的,表示集合的模糊子集的吗。让和半群的两个模糊子集。操作”“在被定义为; 为简单起见,我们将表示作为。
2。半群是一个集团的充分条件
模糊点的第一个定义是由聚氨酯和刘7]。让是一个非空的并集。一个模糊的点的意味着是一个模糊子集的定义为
每个模糊点的是一组模糊子集(7]。每一个模糊集可以表示为欧盟所有的模糊点吗。注意,对于任何和在,,在模糊点和的包含关系当且仅当和。
在以下文本,在,我们表示,的模糊点不同的模糊子集。
定理1。如果在半群,下列条件:(我)对于任何模糊点和的存在在,这样,(2)对于任何模糊点和的存在在,这样,然后是一个模糊组。
证明。首先我们将表明,模糊点和存在的假说是唯一确定。表明定理的条件(i)是独一无二的,让我们假设存在两个模糊点的相反和这样,和。因此,
条件(2)的定理意味着模糊点和的有一个模糊的点的这样。因此(4)意味着,
现在,我们将展示,如果任何模糊点的,然后为每一个模糊的点的,。条件(2)的模糊点和的有一个模糊的点的这样。现在,假设,
因此(6)意味着,所以。它已被证明在左消法律。
同样的,我们可以显示任何模糊点和的存在一个独特的模糊点在,这样。同样,我们可以证明是一个正确的消。
因此取消法律适用于半群从而为每一个模糊的点的我们有,和。现在存在模糊点和的这样和。让是任意模糊点然后是在,这是存在在这样。因此,,这意味着正确的身份吗。同样我们可以显示左边的身份在吗。现在自是左身份和这样是正确的身份吗。因此,这意味着有一个单位元素在。现在在,存在和在这样和。现在
因此存在一个逆元素为每个模糊点。身份的唯一性和逆元素可以很容易证明。
以下推论可以很容易地断言的定理的证明1。
推论2。一个模糊半群是一个模糊组当且仅当和对于所有模糊点的。
3所示。最小的模糊半群的理想
半群的模糊理想的非空的十字路口被称为模糊半群的核吗。模糊的理想的被称为最小模糊理想如果不包含适当的模糊的理想。一种半群被称为模糊简单如果它不包含任何适当的模糊理想的。
在我们之前的知识(以下前题2]。
引理3。对于任何非空的子集和半群的,我们有当且仅当。
引理4。让是一个非空的半群的子集,然后是一个理想的当且仅当是一个模糊的理想。
引理5。让和是模糊半群的理想,然后和也是模糊的理想吗。
引理6。让和是模糊半群的理想,然后和也是模糊的理想吗。
定理7。一个非空的子集半群的是最小的理想当且仅当是最小的模糊理想的。
证明。让是一个最小的理想由引理,然后4,是一个模糊的理想。假设不是最小的模糊理想的,然后存在一些模糊理想的这样,。因此通过引理3,,在那里是一个理想的。这是一个矛盾的事实是最小的理想。因此的最小模糊理想吗。相反,让的最小模糊理想由引理,然后4,是最理想的。假设不是最小的理想,然后有一些理想的这样。现在由引理3,,在那里模糊的理想吗。这是一个矛盾的事实的最小模糊理想吗。因此最小的理想吗。
定理8。如果一个半群包含一个最小模糊理想的然后模糊的内核。
证明。让是任何模糊的理想然后对最小模糊理想的,。因此非空。因为在引理6,是一个模糊的理想和,这意味着。但后来,所以包含在每一个模糊的理想因此是一个模糊的内核。
定理9。如果半群模糊内核然后是一个简单的subsemigroup的。
证明。自是一个模糊的理想,所以是一个模糊subsemigroup,因为。显示很简单,让是任何模糊的理想,然后是模糊的,因为和。也,而是由定理8,是最小的模糊理想的因为每一个模糊的内核,如果存在,是一个最小的模糊的理想。因此。也,这意味着。因此,意味着很简单的subsemigroup。
引理10。如果的最小左理想是半群吗和是任何模糊的为在然后也是一个最小模糊左理想吗。
证明。因为最小模糊左理想的,,这意味着是一个模糊左理想。假设模糊左理想吗,让。让对在,是一个模糊的点然后在,是在所以。现在,这意味着。因此模糊左理想吗中包含的最小模糊左理想的所以。因此对所有在,,这意味着。因此,所以是最小的模糊左理想。
引理11。一个模糊的理想半群的包含每一个最小模糊左理想。
证明。让是任何最小模糊左理想,然后模糊左理想吗因为,。也作为是一个模糊左理想。但是最小的。因此每一个最小模糊左理想的包含在每一个模糊的理想。
定理12。如果一个半群包含至少一个最小模糊左理想然后它有一个模糊的内核,模糊内核的类和剩下的最小模糊理想的。
证明。让是欧盟的最小模糊左理想。自包含至少一个最小模糊左理想,所以非空。让的最小模糊左理想然后,,这意味着模糊左理想吗。现在它必须显示是最小的。让,在,和是任意的模糊点和,分别。根据定义的模糊点在某些对于一些,这样。现在自最小的模糊左理想吗通过引理10,也是最小的模糊左理想吗因此包含在。因此,所以。因此是模糊的理想吗所以模糊的理想。现在由引理11,每一个模糊理想包含最小模糊左理想所以被剩下最小模糊理想的联盟包含在每个模糊理想。因此模糊的内核。
定理13。让半群包含至少一个最小左理想然后向左每一模糊理想模糊内核也是一个模糊的理想。
证明。让模糊的内核由定理,然后12,是类的和剩下的最小模糊理想的。让是一个模糊的理想,然后每个模糊点为在的,属于一些最小的模糊理想的。现在是一个模糊左理想,因为。也,在那里是最小的模糊左理想。因此意味着,在那里最小的模糊左理想吗所以。因此,模糊左理想吗。
备注14。每一个最小模糊左理想内核是一个最小模糊左理想模糊的反之亦然。
定理15。让半群包含至少一个最小模糊左理想然后每个模糊左理想包含至少一个最小模糊左理想。
证明。让模糊左理想由定理,然后12,有一个模糊的内核,在那里是类的和剩下的最小的理想吗。现在是一个模糊左理想,因为,也。因此是其中一个最小的模糊左理想吗或者包含一些最小模糊左理想。但也包含在。因此包含至少一个最小模糊左理想。
备注16。前题10和11和定理12,13,15也适用于模糊理想的半群。
定理17。如果一个半群包含至少一个最小模糊左理想和一个最小的模糊的理想,那么这个类的所有最小模糊的理想配合的类和所有的最小模糊理想和构成了模糊的内核。
证明。由定理12类的所有最小模糊的理想是一个模糊的内核。同样的类和最小模糊的理想也是模糊的内核。但模糊半群的核是独一无二的,因为它是所有的模糊理想的十字路口。
从现在开始我们假设和将表示最小模糊理想和最小模糊左理想的半群,分别。一个模糊幂等点半群的据说是在另一个模糊幂等点如果。模糊幂等被称为模糊原始如果没有模糊幂等下吗。一个简单的模糊半群据说是完全简单如果每个模糊幂等的吗为每个模糊模糊原始和意义的存在模糊幂等和这样。
引理18。让在和在,然后有一个模糊的点在这样。
证明。请注意,是一个模糊的理想吗因为,也。但是最小的模糊理想的所以。因此。
引理19。让在和在,然后有一个模糊的点在这样。
证明。自是一个模糊左理想因为,也。但最小的模糊左理想吗所以。因此。
定理20。 是一组。
证明。自,这意味着是一种半群。让和有两个模糊的点然后和既在和,因为和。因此,前题18和19存在和在这样,和。因此通过定理1,是一组。
引理21。让的单位元素组,然后和。
证明。因为单位元素自。现在,这意味着是一个模糊的理想吗并包含在最小模糊理想的因此。同样我们可以显示。现在,也。
定理22。对最小模糊理想和最小模糊左理想半群的,。
证明。我们只需要证明。让是任意的模糊点,让的单位元素然后通过引理18存在模糊点的这样。让逆模糊的元素在然后,。现在由引理,所以21,。因此所以是在。
引理23。身份模糊点模糊组的是一个模糊的原始。
证明。让是一个模糊幂等,然后。此外,引理21意味着是在。由定理22 在模糊组吗只能包含一个模糊幂等点,即单位元素,所以。
定理24。让半群至少有一个最小模糊左理想和至少一个最小模糊的理想吗然后模糊内核的完全是简单的半群。
证明。每一个模糊半群的核是简单的。每个模糊点模糊的内核的确切地仅属于一个最小模糊了理想和一个最小模糊理想的,否则和不是最小模糊左和最小模糊的理想吗。所以模糊点属于独特的模糊组。因此是不相交的模糊组的结合。每个模糊幂等点必须在一个模糊组,这只能模糊幂等点点,即身份。但是通过引理23身份问题是模糊的原始。第二个条件完全简单很简单每个模糊点的在一个模糊组在模糊幂等这样。因此完全是简单的半群。