文摘
让是一个可分离的巴拿赫空间近似属性。为一个整数,让的理想quasinormed紧凑的运营商与quasinorm,这样,在那里的特征值和是一个常数独立的。我们建议上界和下界为运营商的正规化的决定因素以及范围的决定因素两个操作之间的区别。应用程序的加法操作符、Hille-Tamarkin积分操作符,Hille-Tamarkin矩阵,Schatten-von诺伊曼运营商,和洛伦兹算子理想进行了讨论。
1。声明的主要结果
让是一个可分离的巴拿赫空间近似属性和单元操作符。让维尔斯特拉斯的主要因素: 黎兹经营者与他们的代数特征值计算的多样性是用 ,介绍了正规化的行列式 提供 正规化的决定因素的经典理论Schatten-von诺伊曼运营商有着悠久的历史,它是,特别是在1,2]。康尼锡(3]发达正规化理论的绝对因素加法操作符巴拿赫空间。在[2,4),经典模式后,正规化的决定因素是为运营商定义的形式巴拿赫空间中,不一定本身,而是至少一些权力承认一个跟踪。这个想法是为了取代所有公式零的未定义的痕迹。
让冯Neumann-Schatten理想的紧凑的运营商在一个可分离的希尔伯特空间与有限的规范,在那里是伴随。以下不平等是众所周知的: 与一个未知常数,看到书11106页]和[2,194页)。在[5,6这些不平等略有改善。在[7这是证明一个可以,在那里
在本文中,我们调查quasinormed理想紧凑的运营商与quasinorm。也就是说,满足所有的一般属性规范,除了三角不等式,取而代之的是 与一个常数独立的。此外,对于一个整数和任何的不平等 持有,是一个常数独立的(但依赖)。本文的目的是概括的不平等(4)操作符。此外,一个下界建立了。
现在我们能够制定我们的主要结果。
定理1。让为一个整数。然后
这个定理证明在下一节。
注意,如果是一个标准呢;如果,然后。
2。定理的证明1
让是一个quasinormed空间,也就是说,它是一个线性空间quasinorm。也就是说, 与一个常数。
引理2。对所有,让是一个纯量值整个函数和有一个单调不减少的功能,这样 对所有。然后
证明。把
然后都是一个完整的功能和
由于柯西积分,
因此,
此外,通过(11),
因此根据(15),
采取,我们得到所需结果。
我们还需要以下结果,证明在7引理2.3]。
引理3。对于任何一个整数和所有,一个。
定理的证明1。通过前面的引理
现在(8)遵循从后者不平等和(7)。
此外,(8)和引理2意味着(9)。
3所示。下界
让和是约旦曲线连接 和 ,躺在阀瓣 和这样的 让的长度。例如,如果没有特征值,然后一个可以。在这种情况下和 如果谱半径的小于1,然后呢,。
定理4。让,和条件(20.)举行。然后
证明。我们有 很明显, 但 自 所以 因此, 在哪里 因此, 但对于任何,因此,(7) 因此, 声称。
推论5。让为一个整数,和条件(20.)举行。此外,如果 然后是可逆的。
4所示。应用程序
假设这一个线性算子。据说是总结,如果有一个常数这样,无论一个自然数不管选择我们有 cf。8]。最少的这个不等式的用。的集合加法操作符在与有限的规范是一个理想的cf。9用的)。由著名的定理3.7.2章(9,159页), (参见定理17.4.3 [10,298页)。自是一种常态,定理1和4意味着以下。
推论6。让对于一些整数。然后和 此外,如果(20.),然后
此外,让标量函数的空间上定义与一个有限的积极措施和规范 让是积分算子 的内核上定义满足条件 在哪里。然后被称为-Hille-Tamarkin算子。众所周知(843页)-Hille-Tamarkin运营商是一个加法操作符和 自是一个规范,通过定理1和4我们得到的。
推论7。让和是-Hille-Tamarkin运营商为一个整数。然后和 此外,如果条件(20.)适用于,然后
现在让我们考虑一个线性算子在 由无限生成矩阵,满足 然后被称为-Hille-Tamarkin矩阵。众所周知(843页)-Hille-Tamarkin矩阵是一个加法操作符与 cf。9,部分和,230页)。
推论8。让和是-Hille-Tamarkin矩阵为一个整数。然后和 此外,如果条件(20.)适用于,然后
现在我们是一个可分离的希尔伯特空间 洛伦兹的紧凑的运营商与有限quasinorm 在哪里奇异的数量吗用他们的多样性。所以 的细节,请参阅[11,1.1节)。由(11引理1.4), 为一个整数,让和。计算表明,那么简单。由持有人不平等,我们获得 与 所以我们有 因此,(51)意味着下面的结果。
引理9。为一个整数和一个,让与。然后