文摘
让被定义的积分算子每一个函数在哪里和分别是解析函数和函数用积极开放单位圆盘中定义的实部。本文的目的是获得几个单价条件积分算子。我们的主要结果包含一些有趣的推论是特殊情况。
1。介绍和定义
让表示归一化的类函数的形式 分析在开放单位磁盘。进一步,通过我们将表示所有功能的类这是单价的。同时,让类的所有功能的分析并满足。
Frasin和Darus1)(参见[2)定义了家庭它包括功能满足的条件
最近许多作者研究了积分运营商维护类的问题(见,例如,3- - - - - -15])。在本文中,我们获得新的充分条件的单价一般积分算子定义为 在哪里,,,对所有。
这里整个的续集,每多值函数是用的主要分支。
备注1。注意,积分算子概括以下运营商引入和研究了几个作者:(1)如果我们让,尽管,(3),我们获得积分算子: 引入并研究了d Breaz和n . Breaz [16]。(2)如果我们让,尽管,(3),我们获得积分算子: 引入并研究了Frasin [17]。(3)如果我们让和,尽管,(3),我们获得积分算子: 引入并研究了d Breaz和n . Breaz [16]。
为了得到我们的主要结果,我们这里有回忆下面的前题。
引理2(见[18])。让与如果满足 对所有那么,对于任何复数与,积分算子 是在课堂上。
引理3(见[13])。让与与如果满足
对所有,然后积分算子定义为(8)是在课堂上。
引理4(见[19])。如果,那么我们就有
引理5(见[20.])。如果,然后 同时,我们需要以下一般施瓦茨引理。
引理6(见[21])。函数普通的磁盘,固定。如果有一个零与多样性大于订单吗为,然后
平等可以容纳只有
在哪里是恒定的。
2。一价的条件运算符
我们首先证明以下定理。
定理7。让;和对所有。让与。如果 那么积分算子定义为(3)是在课堂上。
证明。定义的正则函数通过
然后它很容易看到
和。区分双方(16)对数,得到
因此,我们有
自和对所有,从(18),(11)和(10),我们得到
两边的19),我们得到
对所有。
让我们表示,,,。这是很容易证明的
从(20.),(21)和假设(14),我们有
对所有。应用引理2函数的,我们证明。
让,,,,在定理7,我们获得以下推论。
推论8。让;和。同时,让与。如果 那么积分算子定义为 是在课堂上。
如果我们将在推论8,我们有以下。
推论9。让和。同时,让与。如果 那么积分算子定义为(24)是在课堂上。
接下来,我们证明以下定理。
定理10。让满足, 对所有,在那里,,与,那么积分算子定义为(3)是在课堂上。
证明。假设对所有
。因此,我们有
在哪里对所有。区分双方(27)对数,得到
定义的正则函数在(15)。因此从(28)和(17),我们有
形式的假设(26)和(29日),我们立即
对所有。应用引理6,我们获得
因此从(29日)和(31日),
对所有。让我们表示,,,。很容易证明获得了最大点,因此我们有
鉴于这种不平等和(32),我们得到
应用引理2函数的,我们证明。
让,,,在定理10,我们有以下推论。
推论11。让满足, 在哪里, 与,那么积分算子定义为(24)是在课堂上。
利用引理3我们得出以下定理。
定理12。假设每一个功能满足,
对所有,在那里,,
和
,那么积分算子定义为(3)是在课堂上。
证明。从(29日),我们有
现在通过使用假设(36),我们得到
最后,通过应用引理3,我们得出这样的结论:。
让,,,在定理12,我们有以下推论。
推论13。假设函数满足, 在哪里,,和,那么积分算子定义为(24)是在课堂上。
承认
作者要感谢裁判对他有益的意见和建议。