文摘
我们确定的最小和最大数量的在树上边缘色素。我们证明了星是一个独特的树的数量最大化所有边缘色素,最大限度地减少它的路径是一个独特的树。
1。介绍和初步结果
一般概念,看到1]。斐波那契序列由二阶递归地定义递归关系为与初始条件。一个相关的序列是佩尔序列定义为为与,表1包括第一次的序列斐波那契的条款和佩尔序列被称为斐波纳契数列和佩尔数字,分别。斐波那契的数字类型发挥重要作用在不同的数学领域,和他们有许多不同的应用程序和解释。其中有一些是Hosoya指数密切相关(定义为图中所有的匹配,包括空匹配)和Merrifield-Simmons指数(定义为一个独立集的数量,包括空集);参见[2)和它的引用。众所周知,和,因为,在那里是一个顶点的路径,是一个顶点完全图,表示两个图表的日冕。斐波那契数字的类型也在图论的研究集中在3- - - - - -15]。
考虑一个简单的无向图设置了顶点和边集在[11我们引入了一个图的边着色定义在以下方式。让是边缘彩色图的集合地,在那里此外,让是正整数。我们说的子图是单色如果所有边缘颜色一样的颜色这个图据说是边缘的,如果每一个最大(对集包含)单色的子图可以分割成edge-disjoint路径的长度吗,这种类型的边缘着色的图概括边缘着色介绍Piejko和Włoch [10)和边缘着色单色Trojnar-Spelina引入的路径和Włoch [13]。关于一些特殊类型的许多有趣的结果边缘着色图中可以找到的10,11]。我们回忆起其中的一些。
让是颜色的集合。通过边缘着色我们表示3-edge着色的图,这样每单色的子图甚至可以分割成edge-disjoint路径的长度。让是所有的数量图的边缘色素以下给出的结果是(10]。
定理1(见[10])。让是一个整数。然后
让被定义的顺序关系为与初始条件,我们可以先找到几个方面在表1。
序列也有许多不同的解释图。值得一提的是,Hosoya指数电晕的完成图吗和;也就是说,为更多的解释见(16,17]。
另一种解释的序列图,这是密切相关的边着色的边缘明星,是在11]。
定理2(见[11])。让是一个正整数。然后
在[12]Prodinger和Tichy证明了明星是最大化Merrifield-Simmons索引树,而树路径最小化。在本文中,我们得到一个类似的结果的数量在树上边缘色素。
让和得到图与杰出的顶点和通过我们表示图中获得和通过识别顶点和(见图1),由我们表示图中获得和通过添加边缘(见图2)。
为的符号意味着从获得的图通过删除边我们证明如下。
定理3。让,,让是邻居的,让是邻居的,在那里和是正整数。然后 此外,如果然后
证明。通过,,我们表示所有的数量图的边缘色素这样的优势有一个颜色,,或,分别。它很容易看到和的数量是相等的图的边缘色素,乘以图的边缘色素此外,等于所有的数量图的边缘色素的数量乘以边缘色素的图,在那里,再加上所有的数量图的边缘色素的数量乘以边缘色素的图,在那里换句话说,和
自,然后我们获得平等(1)。
通过我们表示边缘,在那里并通过我们表示边缘,在那里假设和让是所有的数量图的边缘色素与完全单色的路径,这样和观察到和
应该注意的是,所以,这使不平等(2)。此外,如果然后还我们获得平等(3)。这就完成了证明。
2。最大数量的边缘色素在树上
在本节中,我们将显示,在所有树木与给定数量的顶点,这颗星最大化的数量边缘色素。而且明星独特的树的属性。证明我们需要以下。
定理4。让是一个整数。然后一个图表和任意一个人 在哪里的叶子和的中心是
证明。让和让顶点的度,让是邻居的由(3在定理3我们有 和不平等(2在定理3我们有 应该注意的是,所以(8)给 自,然后从(7)和(9)我们有,完成了证明。
定理5。让是一个整数,让是一个树顶点。然后
证明(由感应程度的顶点数在树上)。让是一个顶点树完全顶点的度如果然后结果是显而易见的,因为是一个顶点的星。假设不平等(10)适用于具有任意。我们将证明它适用于。请注意,对于每个树存在,这样是同构的,在那里恒星的叶子吗和应用定理4我们有 在哪里恒星的中心吗请注意,是顶点树顶点的度。因此,通过我们的归纳假设,完成了证明。
注6。从定理4和5我们可以看到明星是一个独特的图形的数量最大化鉴于秩序的边缘色素在树上。
3所示。最小的数量边缘色素在树上
现在,我们表明,在所有树木与给定数量的顶点,路径最小化所有的数量边缘色素和它独特的树这样的财产。证明我们需要一些初步结果。首先我们佩尔的证明下面的属性数据。
定理7。让和是整数然后 在哪里
(用归纳法证明)。为我们有 我们可以检查上面的不平等使用佩尔的著名的身份号码 假设不平等(12适用于任意我们证明它适用于;也就是说, 在哪里是一个正整数,使用(14),我们获得的归纳假设 结束的证明。
让,是正整数。通过我们表示恒星的细分这样,一个在结果图th的边缘取而代之的是路径的长度吗,为这个图是一个明星和这个图是一个路径为明星细分被称为一个三脚架。在[11我们证明了 对所有正整数,,我们将使用以下符号:
定理8。让,是正整数。然后
(用归纳法证明)。如果结果我们立即从(17)。假设不平等适用,任意。我们将证明它适用于。请注意,是同构的,在那里的中心是,的叶子,是一个正整数。因此,应用(3)的定理3我们获得 注意,所有 通过归纳假设对所有和。因此(21)和定理1和7给 因此,(20.),(22),定理1我们有 通过我们的归纳假设所以(23)给 使用身份(14)我们有,完成了证明。
定理9。让,是正整数,让。然后一个图表和任意一个人 在哪里的中心是和叶子的路径吗
证明。让顶点的度,让是邻居的请注意,是同构的,在那里获得的图像来自哪里通过添加一个顶点和一个边缘因此,平等(3)的定理3给了 此外平等(1)的定理3给了 由(27),定理1和的定义我们获得 从定理8我们有和所以(26)和(28)给,结束证明。
定理10。让是一个整数,让是一个树顶点。然后
证明(由感应程度的顶点数在树上)。让是顶点树完全顶点的度如果然后结果是显而易见的,因为是一个顶点的路径。假设不平等(29日)适用于具有任意我们将证明它适用于请注意,对于每个树存在,这样是同构的,在那里的中心是,,应用定理9我们有 在哪里叶子的路径吗请注意,是顶点树顶点的度。因此通过归纳假设和完成的证据。
备注11。从定理9和10我们可以看到,道路是一个独特的图形的数量降至最低鉴于秩序的边缘色素在树上。
我们也从以前的定理以下。
推论12。如果是树的顶点,然后 此外,如果不同于和,然后
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。