基于广义指数二分法的概念,本文考虑了拓扑解耦问题之间的两种非线性微分方程。拓扑等价的函数。
1。介绍和动机
著名的哈特曼微分方程的线性化定理指出,1:1线性自治系统之间存在通信解决方案和摄动系统,只要满足一些善良的条件,比如小气,连续性,或被哈特曼(1]。基于指数型二分性,帕尔默(2这个结果扩展到非自治系统。其他改进的帕默的线性化定理在文献报道。例如,一个人可以施指(3江),(4],Reinfelds [5,6]。最近,夏et al。7广义帕默的线性化定理时间尺度上的动态系统。考虑到线性系统
在哪里和是一个矩阵函数。
定义1.1。系统(1.1据说)拥有一个指数二分法(8如果存在一个投影和常量这样
持有,基本矩阵的线性系统。
然而,林9)认为,指数型二分性大大限制了动力学的概念。因此重要的是要寻找更多的一般类型的夸张行为。林(9提出的概念<我>广义指数二分法比经典的更一般的概念<我>指数型二分性。
定义1.2。系统(1.1)据说是一个广义指数二分法,如果存在一个投影和这样
在哪里是一个连续函数,满足。
例1.3。考虑到系统
然后,系统(1.4)有一个广义指数二分法,但是经典的指数型二分性不能满足。
出于这个原因,基于广义指数二分法,我们考虑两种之间的拓扑解耦问题的非线性微分方程。我们证明1:1之间存在通信拓扑解耦系统的解决方案,即和。
2。相当于函数的存在
考虑以下两个非线性非自治系统:
在哪里,,是矩阵。
定义2.1。假设存在一个函数这样(我)对于每一个固定,是一个同胚的成;(2)
作为,均匀;(3)假设也有财产(ii);(iv)如果是一个解决方案的系统(2。1),然后是一个解决方案的系统(2。2)。如果这样的地图存在,则(2。1)是拓扑共轭(2。2)。被称为一个等效的功能。
定理2.2。假设有一个广义指数二分法。如果完成
在哪里
在哪里是可积的函数和,正的常数,那么非线性非自治系统(2。1)拓扑等价的非线性非自治系统(2。2)。此外,等效的功能完成
接下来,我们总是假设条件的定理2。2感到满意。表示,是一个解决方案(2。2)满足初始条件这是一个解决方案(2。1)满足初始条件。证明的主要结果,我们首先证明一些前题。
引理2.3。为每一个、系统
有一个独特的有界解与。
证明。让所有连续有界函数的集合与。为每一个和任何,定义的映射如下:
简单的计算会导致
这意味着是一个球体的self-map半径。对于任何,
由于这一事实,有一个独特的不动点,即,
很容易证明是一个有界的解决方案(2。6)。现在,我们要证明有界解是独一无二的。为了这个目的,我们假设还有一个有界的解决方案(2。6)。因此,可以写成:
请注意,
这意味着是收敛的;表示通过。也就是说,
同样的,
因此,它遵循的表达式那
注意到是有界的,也有界。所以,是有界的。但是我们看到,没有重要的有界解。因此,;由此可见,
简单的计算显示
因此,,因此。这意味着有界解(2。6)是独一无二的。我们可以叫它。从上面的证据,很容易看到。
引理2.4。为每一个,系统
有一个独特的有界解和。
证明。引理的证明类似2。3。
引理2.5。让任何解决方案的系统(2。1),然后独特的有界解系统吗
证明。很明显,是一个有界解的系统(2.19)。我们证明有界解是独一无二的。如果不是,那么还有另一个有界的解决方案,可以编写如下:
由引理2。3,我们可以得到
由此可见,
也就是说,。因此,。这就完成了引理的证明2。5。
引理2.6。让任何解决方案的系统(2。2),然后独特的有界解系统吗
证明。很明显,是一个有界解的系统(2.23)。我们将证明有界解是独一无二的。如果不是,那么还有另一个有界的解决方案。然后,可以写成:
由引理2。3,我们可以得到
然后,它遵循
也就是说,。因此,。这就完成了引理的证明2。6。
现在,我们定义两个函数如下:
引理2.7。对于任何固定是一个系统的解决方案(2。2)。
证明。取代通过在(2。6);系统(2。6)是没有改变。由于有界解的唯一性(2。6),我们可以得到。因此,
区分它,注意到,的解决方案(2。1)和(2。6),分别;因此,我们可以获得
它表明,系统的解决方案(2。2)。
引理2.8。对于任何固定,是一个系统的解决方案(2。1)。
证明。证明引理相似2。7。
引理2.9。对于任何。
证明。让任何解决方案的系统(2。2)。从引理2。8,是一个解决方案的系统(2。1)。然后,通过引理2。7,我们看到,是一个解决方案(2。2),写成。表示。区分,我们有
这意味着是一个解决方案的系统(2.23)。另一方面,下面的定义和和前题2。3和2。4,我们可以获得
这意味着是一个有界解的系统(2.23)。然而,通过引理2。6系统(2.23)只有一个零的解决方案。因此,,因此,也就是说,。自任何解决方案的系统(2。2),引理2。9遵循。
引理2.10。对于任何。
证明。证明引理相似2.10。
现在,我们能够证明的主要结果。
定理的证明2。2。我们要显示满足四个条件的定义2。1。条件(i)的证据。对于任何固定,它是前题2。9和2.10那是同胚,。条件(2)的证据。从(2.27)和引理2。3,我们得到。所以,作为,均匀。条件(3)的证据。从(2.23)和引理2。4,我们得到。所以,作为,均匀。条件(iv)的证据。使用前题2。7和2。8,我们很容易证明条件(iv)是正确的。
因此,系统(2。1)和(2。2)是拓扑共轭。这就完成了定理的证明2。2。
确认
作者想表达他们的感谢编辑和匿名评论者的仔细阅读,提高本文的演示。这项工作是由中国国家自然科学基金支持下格兰特(没有。10901140)和ZJNSFC格兰特(没有。Y6100029)。
