𝜃 integration method to derive the equations of motion of electrostatic microactuators and find a solution to these equations. Nonlinear equation difficulties are overcome by using the differential quadrature method. The stresses of electrostatic actuators are determined, and the residual stress effects of electrostatic microactuators are simulated."> 残余应力的影响在机电静电各层的行为 - raybet雷竞app,雷竞技官网下载,雷电竞下载苹果
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主动和被动电子元件
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主动和被动电子元件/2008年/文章

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体积 2008年 |文章的ID 905628年 | https://doi.org/10.1155/2008/905628

Ming-Hung许, ”残余应力的影响在机电静电各层的行为”,主动和被动电子元件, 卷。2008年, 文章的ID905628年, 9 页面, 2008年。 https://doi.org/10.1155/2008/905628

残余应力的影响在机电静电各层的行为

Ming-Hung许1

1澎湖大学电机工程系,880年澎湖,台湾

学术编辑器:陆非政府组织
收到了 2008年10月22日
接受 2008年12月21日
发表 2009年3月16日

文摘

这项工作模拟静电各层的非线性机电行为不同。应用微分求积法,哈密顿原理,和威尔逊- 积分法导出静电各层的运动方程和找到解决这些方程。非线性方程的困难是克服利用微分求积法。静电致动器的压力确定,静电模拟各层残余应力的影响。

1。介绍

Osterberg et al。1]分析了静电变形膜片使用一维数值模型和三维模型。Osterberg和Senturia2]表明,静电临界行为的急剧不稳定现象的悬臂梁和惯性梁致动器可以用来提取材料特性的微机电系统。Elwenspoek et al。3]研究活动关节的动态行为对各种静电致动器的设计。平井一夫et al。4- - - - - -6]介绍了静电致动器的偏转特性与修饰电极和悬臂的形状。王(7)应用反馈控制来抑制静电致动器的致动器梁的振动。施等。8)结合静电学的外部边界元法和有限元法对弹性评估静电力之间的耦合效应和弹性变形。Gretillat et al。9)采用三维有限元程序模拟非线性执行器的动力学,考虑压膜阻尼的影响。挂和Senturia10]提出了利用弯曲和strain-stiffening方法扩大疏散距离的极限拉片之前静电致动器。这项工作将分析的非线性同步引入行为与各种不同类型的microactuator使用微分求积法残余应力。Chebyshev-Gauss-Lobatto点分布在每个驱动器将被使用。的完整性和计算精度微分求积法在解决这个问题将通过一系列的评估案例研究。悬臂梁的动力学方程microactuator使用微分求积法推导。方程描述microelectrostatic致动器是派生的残余振动。微分求积法用于产生静电场方程的矩阵形式。

2。微分求积法

本文采用微分求积法,其易于使用和无网格技术,分析不同类型的非线性偏差行为microactuator不同的残余应力。有许多解决方案技术复杂梁问题,比如Rayleigh-Ritz方法、分析方法、伽辽金方法,有限元法和边界元法。微分求积方法已广泛用于解决各种各样的问题在不同领域的科学与工程不需要能源配方。微分求积方法已被证明是一个强大的竞争者在解决初始边值问题和,因此,成为替代前面的方法。张成泽et al。11)提出了 方法,边界点选择在一个小的距离。的 技术可以应用于双板和梁的边界条件问题。解决方案的准确性取决于足够小 。边界点是选择在一个小的距离 。的 技术可以应用于双板和梁的边界条件问题。的使用 在边界使得矩阵病态的11]。小王和伯特12)被认为是找到边界条件的微分求积权重系数。马利克和伯特(13)解决了这个问题的自由振动板和显示边界条件可以内置在微分求积权重系数。在他们的配方,多个边界条件直接应用于微分求积加权系数,因此没有必要选择附近的一个点。换句话说,计算结果的准确性将独立的价值 时间间隔。微分求积权重系数可以通过逆矩阵相乘13]。而和Pandey14使用微分求积法]解决了屈曲问题。从上述讨论,在过去二十年中,微分求积法被广泛应用为解决一系列问题的有效手段在各领域的科学与工程。关丽珍和张15,16]导出的权重系数以更明确的方式。冯和伯特(17]分析了几何非线性梁的弯曲振动分析采用正交法。陈和中18]介绍了研究非线性计算的微分求积法和微分容积法。Tomasiello [19应用初边值问题的微分求积法。王等人。20.]介绍了圆环形板的自由振动分析与非均匀厚度的微分求积法。小王和顾21]介绍了静态分析框架结构的微分求积单元法。刘等人。22,23]介绍了微分求积法Mindlin盘子温克勒地基和厚与一阶对称正交铺设复合材料剪切弹性。杜et al。24]介绍了广义微分求积法的应用结构性问题。Mirfakhraei和Redekop25)解决了圆柱壳的屈曲微分求积法。Moradi和塔26]提出的分层屈曲分析复合材料正交异性层合梁一般用微分求积法。De罗莎和Franciosi [27]介绍了圆形拱门的精确和近似动态分析使用微分求积法。太阳和朱28)使用的局部微分求积法求解不可压缩粘性流动。顾和王29日]介绍了圆板的自由振动分析与加强厚度同心微分求积法的地区。杜et al。30.]介绍了广义微分求积法进行屈曲分析。汉和刘31日]分析了轴对称环形厚板的自由振动。田中和陈32)应用双互惠boundaryelement方法使用微分求积法瞬态弹性动态问题。陈等人。33)解决了高精度正交平面应力和板元素的元素的方法。微分求积法的本质是一个函数的导数样本点可以近似为线性加权求和函数值在所有采样点的域。使用这种近似,然后化为一组微分方程的代数方程。位置相关的影响静电力和轴向残余应力都被认为是在拟议的模型。虽然Rayleigh-Ritz方法的效率和精度取决于所选的比较函数的数量和准确性;微分求积法没有这个困难的选择合适的比较函数。微分求积法接近 阶偏导数 ( , ) 关于 。为一个函数 ( , ) 的微分求积近似 阶的导数 采样点是由 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( 1 , ) ( 2 ⋮ , ) ( ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ≅ , ) ( ) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( 1 , ) ( 2 ⋮ , ) ( ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ , ) f o r , = 1 , 2 , … , ( 1 ) 在这 ( , ) 样本点的函数值吗 , ( ) 的微分求积权重系数 阶微分附加到这些功能价值。关丽珍和张15,16]介绍了拉格朗日插值多项式来克服数值生病的条件确定微分求积权重系数 ( ) ,也就是说, ( , ) = = 1 ( ) ( − ) 1 ( ) ( , ) , ( 2 ) 在哪里 ( ) = = 1 ( − ) , 1 ( ) = = 1 , ≠ ( − ) f o r = 1 , 2 , … , 。 ( 3 ) 方程(2)替换成(1)。然后给出微分求积加权系数 ( 1 ) = 1 ( ) ( − ) 1 ( ) f o r , = 1 , 2 , … , , ≠ , ( 1 ) = − = 1 , ≠ ( 1 ) f o r = 1 , 2 , … , 。 ( 4 ) 一次抽样点,等 为 = 1 , 2 , … , 选择,微分求积系数的加权矩阵可以得到(4)。高阶导数的微分求积也可以直接通过矩阵乘法计算权重系数(34),这可以表示为 ( 2 ) = ∑ = 1 ( 1 ) ( 1 ) f o r , = 1 , 2 , … , , ( 3 ) = ∑ = 1 ( 1 ) ( 2 ) f o r , = 1 , 2 , … , , ( 4 ) = ∑ = 1 ( 1 ) ( 3 ) ⋮ f o r , = 1 , 2 , … , , ( ) = ∑ = 1 ( 1 ) ( − 1 ) f o r , = 1 , 2 , … , 。 ( 5 ) 有很多可用于动态分析计算方法。本文的残余振动microelectrostatic执行机构使用微分求积方法调查。最方便的方法来解决一个梁结构问题是统一空间采样点。采样点的选择对微分求积法的准确性很重要的解决方案,但不准确的结果取得了在使用均匀分布。非均匀采样点分布,如Chebyshev-Gauss-Lobatto分布(34),提高了计算的准确性。完整性和微分求积法的计算效率解决这个问题将使用一组案例研究。然而,仍在寻求另一种有效的技术。在这项研究中,每个梁的不均匀地间隔采样点选择使用Chebyshev-Gauss-Lobatto分布 = 2 1 − c o 年代 ( − 1 ) − 1 f o r = 1 , 2 , … , 。 ( 6 ) 微分求积方法已被证明是一个强有力的候选人解决初始边值问题,并因此成为替代其他方法。Rayleigh-Ritz方法的效率和精度取决于所选择的数量和准确性比较函数,而微分求积法没有这样一个困难。这样的多项式方法,使用这种方法的准确性解决方案是改善通过增加采样点的数量。微分求积法使用高阶元素水平,有限元法使用低阶多项式近似函数。

3所示。各层的动态行为

一个形状的微光束弯曲电极图所示1。图中描述了一个锥形的几何静电microactuator。 0 指定了致动器厚度的根源。 microactuator的长度。 ( ) 是负载。负载 ( ) 作用于 = 0 ∼ 在梁。作为一个驱动电压之间的惯性微光束和电极位置相关静电压力分布微光束向弯曲变形的电极。状微光束和弯曲电极之间的差距决定了静电压力的分布。为了防止短路后拉片接触,一个隔离层或其他结构是必需的。力把微光束形状的电极。提出了不同电极形状来改善静电力分布和致动器的变形形状。的动能microactuator 1 = 2 0 2 1 + 2 0 2 + 1 2 0 2 , ( 7 ) 在哪里 位移的方向吗 设在, 位移的方向吗 设在, 是扭转角的方向 设在, 是微光束的横截面的面积, 是极矩的方向 设在, 致动器的材料的密度。


图1
静电惯性执行机构的示意图。

而外部电压 应用变形梁与固定电极,创建一个位置相关静电压力变形梁拉向地面电极。这种静电压力大约是成正比的平方的倒数之间的差距。当电压达到临界电压时,惯性梁将突然被拉向电极。电动边缘效应被忽略在以下分析。microactuator可以近似的应变能 1 = 2 0 2 2 2 + 2 + 2 2 2 + 1 2 0 2 − 1 2 0 2 1 − 2 0 2 , ( 8 ) 在哪里 杨氏模量的致动器, 是剪切模量, , , 的时刻。负载 是剩余轴向载荷作用于执行器的固定端。的价值 是 0 0 。 残余应力, 0 波束宽度。由于机械之间的耦合和静电效应,静电致动器的行为比弹性行为显得更加复杂。外部阻尼礼物的横向位移致动器的粘性阻力,和内部阻尼提供了一个紧张的粘滞阻力microactuator材料。阻尼力 ( / ) , ( / ) , 和 ( / ) 被假定为抵抗横向速度的传动装置。阻尼力 ( 2 / 2 ) ( ( 3 / 2 ) ) , ( 2 / 2 ) ( ( 3 / 2 ) ) , 和 ( / ) ( ( 2 / ) ) 被假定为抵抗microactuator的应变速度。考虑静电力和执行机构的内部和外部阻尼的影响,虚拟工作 通过弯曲的致动器 = − 0 − 0 2 2 3 2 − 0 − 0 2 2 3 2 − 0 + 0 2 + 0 0 0 2 2 ( + − 年代 我 n ( / ) 0 / 2 − ) 2 − 0 ( ) , ( 9 ) 在哪里 外加电压, 0 是空气的介电常数,如 0 = 8 。 8 5 × 1 0 − 1 2 , 0 致动器的宽度, 如图是初始差距1。致动器的截面面积 ( ) = 0 0 ( 1 + 年代 我 n ( / ) ) , 是常数。 ( ) 横截面的惯性矩的致动器,是哪一个 ( ) = 0 ( 1 + 年代 我 n ( / ) ) 3 和 0 = 0 3 0 / 1 2 。形状函数 ( ) 描述曲线的形状电极,它提出了 ( ) = + 年代 我 n ( / ) 。 是弯曲电极的固定端距离的差距在哪里 = 0 和 = 。电极形状是不同的值 和 。然而,由于难度之间没有线性致动器的偏转和静电力,这种残余振动现象研究很少论文,就像剩余反应电极形状的影响。用(7),(8)和(9)为哈密顿方程: 2 1 ( − + ) = 0 , ( 1 0 ) 惯性的动态挠度micro-actuator非线性微分方程可以表示为以下: 2 2 2 2 + 2 3 3 + 4 4 + 2 2 2 2 + 2 3 3 + 4 4 + 2 2 + + 2 2 3 2 + 2 2 = 0 , 2 2 2 2 + 2 3 3 + 4 4 + 2 2 2 2 + 2 3 3 + 4 4 + 2 2 + + 2 2 3 2 + 2 2 = 0 0 2 2 ( + ( ) − 年代 我 n ( / ) 0 / 2 − ( ) ) 2 − − ( ) + − 2 + 2 2 = 0 , ( 1 1 ) 在哪里 0 是空气的介电常数。相应的边界条件clamped-clamped micro-ctuator ( 0 , ) = 0 , ( 0 , ) = 0 , ( , ) = 0 , ( , ) = 0 , ( 0 , ) = 0 , ( 0 , ) = 0 , ( , ) = 0 , ( , ) = 0 , ( 0 , ) = 0 , ( , ) = 0 。 ( 1 2 ) 方程(1)替换成(11)- (12采用微分求积法。microactuator运动方程的矩阵形式可以是离散的采样点 2 2 + ( ] + ( ] { } = { } 。 ( 1 3 ) 采样点的位移矢量 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ { } = ( 1 ) ( 2 ) ⋮ ( ) ( 1 ) ( 2 ) ⋮ ( ) ( 1 ) ( 2 ) ⋮ ( ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 。 ( 1 4 )

质量矩阵中的元素 = 0 f o r = 1 , 2 , = f o r = 3 , 4 , … , − 2 , = 0 f o r = − 1 , , = 0 f o r ≠ , = 1 , 2 , … , , = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = 1 , 2 , … , , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = 1 , 2 , … , , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 2 , = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = + 1 , + 2 , = f o r = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = 0 f o r = 2 − 1 , 2 , = 0 f o r ≠ , = + 1 , + 2 , … , 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 2 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = 2 + 1 , = f o r = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 − 1 , = 0 f o r = 3 , = 0 f o r ≠ , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 。 ( 1 5 ) 阻尼矩阵中的元素 = 0 f o r = 1 , 2 , = 1 , 2 , … , 3 , = + 2 2 ( ) ( 2 ) + 2 ( ) ( 3 ) + ( 4 ) f o r = 3 , 4 , … , − 2 , = 2 2 ( ) ( 2 ) + 2 ( ) ( 3 ) + ( 4 ) f o r ≠ , = 3 , 4 , … , − 2 , = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = 3 , 4 , … , − 3 , − 2 , = + 1 , + 2 , … , 3 , = 0 f o r = − 1 , , = 1 , 2 , … , 3 , = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 2 , = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = + 1 , + 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = + 2 2 ( ) ( 2 ) + 2 ( ) ( 3 ) + ( 4 ) f o r = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = 2 2 ( ) ( 2 ) + 2 ( ) ( 3 ) + ( 4 ) f o r ≠ , = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = 2 − 1 , 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 2 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 2 + 1 , = 1 , 2 , … , 3 , = 0 f o r = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 − 1 , = 1 , 2 , … , 2 , = − ( ) ( 1 ) − ( ) ( 2 ) f o r = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 − 1 , = − ( ) ( 1 ) − ( ) ( 2 ) f o r ≠ , = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 − 1 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 3 , = 1 , 2 , … , 3 。 ( 1 6 ) 刚度矩阵中的元素 1 1 = 1 , 1 = 0 f o r = 2 , 3 , … , 3 , 2 = ( 1 ) 1 f o r = 1 , 2 , … , , 2 = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 3 , = 2 2 | | | = ( 2 ) + 2 | | | = ( 3 ) + ( 4 ) + ( 2 ) f o r = 3 , 4 , … , − 2 , = 1 , 2 , … , , = 2 2 | | | = ( 2 ) , − + 2 | | | = ( 3 ) , − + ( 4 ) , − f o r = 3 , 4 , … , − 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , − 1 , = ( 1 ) , − f o r = 1 , 2 , … , , = 0 f o r = 1 , 2 , … , − 1 , = 1 , = 0 f o r = + 1 , + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 3 , 4 , … , − 2 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = + 1 , = 1 , 2 , … , , + 1 , + 1 = 1 , = 0 f o r = + 1 , = + 2 , + 3 , … , 3 , = 0 f o r = + 2 , = 1 , 2 , … , , = ( 1 ) 1 , − f o r = + 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = + 2 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 2 2 | | | = ( 2 ) − , + 2 | | | = ( 3 ) − , + ( 4 ) f o r = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = 1 , 2 , … , , = 2 2 | | | = ( 2 ) − , − + 2 | | | = ( 3 ) − , − + ( 4 ) − , − f o r = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = 2 − 1 , = 1 , 2 , … , , = ( 1 ) 1 , − f o r = 2 − 1 , = + 1 , + 2 , … , 2 , = 0 f o r = 2 − 1 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 2 + 1 , = 1 , 2 , … , 2 , = 1 f o r = 2 + 1 , = 2 + 1 , = 0 f o r = 2 + 1 , = 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 , = 1 , 2 , … , 2 , = − | | | = ( 1 ) − 2 , − 2 − ( 2 ) − 2 , − 2 f o r = 2 + 2 , 2 + 3 , … , 3 − 1 , = 2 + 1 , 2 + 2 , … , 3 , = 0 f o r = 3 , = 1 , 2 , … , 3 − 1 , = 1 f o r = 3 , = 3 , = 0 f o r = 1 , 2 , … , + 2 , = 0 2 2 ( + ( ) − 年代 我 n ( / ) 0 / 2 − ( ) ) 2 − ( ) f o r = + 3 , + 4 , … , 2 − 2 , = 0 f o r = 2 − 1 , 2 , … , 3 。 ( 1 7 ) 的动态响应microactuator使用威尔逊——解决 积分法。威尔逊- 积分法是一种有效的隐式时间积分过程的动态问题。逐步积分法,假定条件不同线性加速度之间的连续采样瞬间。一个静电力把悬臂式致动器向弯曲的电极。电压之间的差异所产生的静电力是应用于弯曲电极应用于致动器。这种静电压力大约是成正比的平方的倒数之间的差距。当电压超过临界电压时,惯性梁突然拉到电极。

4所示。数值结果与讨论

microactuator是多晶硅材料制作的。microactuator的几何参数和材料 = 1 5 0 G P 一个 , 米 一个 x = 3 0 米 , = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , = 0 , 0 = 5 米 , 0 = 2 米 , = 2 米 , = 5 0 0 米 。图2显示应用电压微光束具有不同的变形量。的结果表明,计算的结果提出了微分求积法很好地同意结果发现使用有限元方法。图3显示的频率静电惯性执行机构为各种长度的梁。再一次,结果发现使用微分求积方法类似于使用有限元方法结果发现。图4情节中间附近的变位静电惯性执行机构的各种残余应力。voltageis应用的价值 6 2 0 V 。形成的非线性动态方程的微分求积法解决威尔逊- 集成方法, = 1 。 4 和 Δ = 0 。 0 0 3 毫秒。的论文数量状态,威尔逊- 集成方法是无条件稳定的一个因素 ≥ 1 。 3 7 (35,36]。计算结果表明,较高的残余应力产生较小的变位中间附近的静电惯性执行机构。图5显示附近的压力中间静电惯性执行机构的各种残余应力。数值结果在这个例子表明,残余应力可以显著影响传动系统的动态行为,表明高残余应力产生较大的压力靠近中间的静电惯性执行机构。图6显示根附近的应力静电惯性执行机构的各种残余应力。结果表明,残余应力是一个非常敏感的参数microactuator的残余振动。在这个例子中数值实验,结果表明,驱动电压会影响显著机电致动器系统的行为。计算结果还显示,较高的残余应力引入较大的压力附近一个静电惯性执行机构的根源。应该考虑残余轴向加载的设计。数值结果表明,微分求积方法是一种可行和有效的方法来分析非线性同步引入一种惯性的静电微光束的行为。


图2
歪斜的静电惯性执行机构为各种应用电压。

图3
频率静电惯性执行机构的各种梁的长度。

图4
变位中间附近的静电惯性执行机构不同的残余应力。

图5
强调中间附近的静电惯性执行机构用于各种残余应力。

图6
强调根附近的静电惯性执行机构用于各种残余应力。

5。结论

微分求积方法非常适合于设计或分析一个静电microactuator。这个配方的简单性使其成为一个强有力的候选人的建模应用程序更为复杂。各层的残余应力影响的非线性同步引入现象也被调查采用提出的微分求积法的算法。

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