场方程和卡卢查能量动量张量的拉格朗日

抽象

我们提供的经典卡鲁扎场方程的源项的分析和陈述，考虑对应于通常在卡卢查理论推测的5D测地假设了5维（5D）能量 - 动量张量。通过提供5D事拉格朗日，这项工作完成了经典的卡卢查理论，开始通过建立独特的卡鲁扎场拉格朗日的适当形式的拉格朗日分析。这项工作由考虑在卡卢查源项的广义协变必要的改造性，树立正确的形式为场方程的源项，并建立5D此事拉格朗日对应于5D测地假设。除了标量场的其他标量张量或标量电磁理论，一个奇特克鲁札耦合系数预期产生针对其作用是在方式未知源强度变化，以常规物理带电物质的影响。我们简要评估暗示修改的场方程源项。我们发现重心高具体负责美国ADM样中和在高比荷质比中的磁场强度饱和。

1.介绍和先前的结果

卡鲁茨(1]认识到广义相对论的张量引力势，和电磁的向量电势，可被理解为一个5维（5D）张量引力势的部件。这意味着统一的额外15组件，相当于下4D变换的标量。克鲁札原本克鲁札标量场（KSF）设定为恒定;的确，当KSF去发生卡鲁扎拟设的4D极限。满场方程包括KSF经随后几十年的发展，并通过多个独立的研究小组，例如，[2-6]。Ref。7]提供了各种团体，在普林斯顿由谢勒在瑞士，Lichnerowicz在法国，约旦在德国和迪克领导的历史。我们也可以在普林斯顿在1930年代加入爱因斯坦的同事。

克莱因提出的第五维的紧凑，微观的解释[8，它为“卡鲁扎-克莱因”理论提供了依据。这个微观假设没有逻辑必然性[6]，它提出了许多困难，因为它解决。相反，我们在这里考虑纯粹的古典理论，与第五维允许是完全开放和宏观。

所述克鲁札拟设是编写爱因斯坦方程5种尺寸：在哪里一个5D的爱因斯坦张量是一个5D度规吗，是5D引力常数，是光的速度，和是一个5D能量动量源项。小罗马索引的范围超过5维。卡鲁扎用“圆柱体条件”加强了明显的第五维度的缺乏，，这意味着没有字段取决于第五坐标。如果没有这个条件，有更多的自由度的结果，并没有明确的映射到物理熟悉。

5D的度量标准的组件在4D指标的形式给出，电磁协变4矢量势，和标量场：其中希指数范围在4个维度时空和索引的表示第五个维度。我们允许用是不确定的现在。因为，逆量度由下式给出：

常量是克鲁札理论的特性电gravitic尺度参数，结合重力常数自由空间的介电常数，，或者说自由空间的磁导率，：

通常写入在CGS单位其他引用，所以电动依赖性有所遮蔽。这里我们使用MKS单位，这使得电的依赖明显。有在卡卢查理论上没有免费的参数，是唯一的特征常数。是一个经典的数量，密切相关的ADM质量[9]。注意没有单位。

四维场方程都包含在5D爱因斯坦张量：爱因斯坦方程与电磁和标量场的能量 - 动量都包含在 ;由标量场改性麦克斯韦方程是在 ;和提供了一种用于方程。

要在英文文献中发现表达式场方程中化解明显的矛盾，用张量代数软件[评价10]，和相关联的拉格朗日卡鲁扎从5D希尔伯特拉格朗日密度确定为在哪里是里奇张量，是电磁场强度张量，是的行列式，和引力场方程从变异对于所得。

文献的基础上[综述10]表明，少数作者恢复此拉格朗日，并且文献中充满了无论是在5D曲率张量代数错误或5D爱因斯坦张量。只有参考。[4]发现准确地捕捉的曲率和爱因斯坦张量分量，以及拉格朗日（五)。Ref。五]提供正确的爱因斯坦张量分量和拉格朗日但在曲率张量做了一些错误。参考文献。[3，6]具有正确的曲率张量。

表达式(五）通过考虑5D希尔伯特拉格朗日唯一地如下，。的形式(五)是很不寻常的，因为它只依赖于KSF。即使如此，我们将看到，在理论中仍然得到全标量场动力学。然而，其他作者自反地增加了一个额外的标准标量场动力学项，作为布兰斯 - 迪克理论[11];但在卡鲁扎理论中，一旦施加圆柱条件，这种自由度就不是自然的。

这是事实，一个保角变换可以从引力条款中删除了标量场（五），但代价是增加一个标量场的动能项拉格朗日的代价。用标量场的帧是“约旦帧”，并用标量场动力学术语共形变换的帧是“爱因斯坦帧”。该保角变换不会改变物理学，但是，仍然粒子在约旦河框架，而不是爱因斯坦框架[中短程线运动12]。在电磁项（五)在保角变换下不变[五]。

注意，KSF既充当可变引力常数，如[11]，和作为变量的介电常数，如[13]。这使得理论标张量理论中非常独特，和标量电磁理论中。教科书，4D极限。

在这项工作中，我们提供了源项分析（1）并且由此完成克鲁札场方程。我们发现，5D协方差约束源项的形式。然后，我们将继续考虑在电磁，标量这些源项，和引力场方程的影响。

2.电荷鉴别

除了在该领域方程的对应关系，克鲁札[1]还认识到5D短程线方程包含在4D短程线方程加电磁学的洛伦兹力，并确定了电荷沿着第五坐标运动。然而，许多作者，包括卡鲁扎，认为是弱只收取规定，以避免发生在高度充电系统的场方程的显而易见的修改。所有的充电状态的精确治疗将在这里提供。

不同的作者使电荷的不同标识在卡卢查理论参数方面。第一步是准确识别电荷在卡卢查理论参数方面，它涉及到其他作者所作的选择。因此，我们开始像克鲁札，与5D短程线方程用于与5D固有速度的颗粒：在哪里

从（2），它得出，4D和5D长度元素是相关的：在哪里是待定常数。

首先考虑方程的第五组分。以来，协变分量是运动的恒定：

值得注意的是，汽缸条件还远远没有简单化是很重要的。这意味着运动的意义和平凡不变。

加入(8）和（9)提供了一个关联的表达式到4D长度元件，这个表述仅取决于不变的幅度和标量场

关系（8），（9），以及（10)在卡鲁扎文学中很常见。

现在，我们评估5D测地线方程的时空组件（6），对于所述度量（2），并使用（9)。各种各样的对于（2)载于Ref. [10]。我们发现

这个方程是通过参考文献获得。[4，五，14]。四维引力，电磁和标力术语清楚分开。从根据条件的分组其显着的简单结果，代替。

在术语显然必须与洛伦兹力，并参考来确定。[14]这里停止分配在系数（11）作为电荷。我们继续来代替，因为（11）还没有涉及到4D适当的速度。

因此，我们使用(10）来转换（11）：其中颗粒的4D固有速度是在哪里

我们选择用(的系数来表示电荷。12)。因此，我们确定的电荷静止质量的主体：

识别（15）和运动的4D方程（12）通过参考文献也获得。[4]和[14]。虽然有一些不适，仍具有字段中输入电荷的定义（9），其在运动方程分组使得识别不可避免的。

请注意，这是一个经典理论，而15)并不严格适用于基本电荷。相反,(15）是电荷带电，大规模流体的宏观体积的质量的比率。假定了微分容积的元素可以由载流子的量的宏观的，和（15）可以被认为是具体负责。因此，电荷密度，还有电磁4-电流。

还有两件在标力（12），而这确实是预期的标力形式[15]。因此，术语（10）在对于四维标量力的恰当表示是至关重要的，尽管其他参考忽略了标量力的第二项。

标量力夫妇带电体，它在电荷这样做二次。这意味着标力只依赖于电荷，而不是它的标志的大小。标力消失的中立机构，以及场方程和运动外观的方程非常相似，他们4D同行中中性极限，因为和。标量场耦合的完全不同的性质使得其他标张量理论是想象中的标量场耦合到中性物质质能，如重力本身中是独一无二的KSF。

因为包括对，该理论预测会产生感应电荷对于看似中性的身体形态的电磁场移动。例如，它似乎表明在磁场中立机构的偏转，在特定情况下。同样的道理，似乎感应电荷也可以让中立机构耦合到标力。

让我们以另一种形式(10）：

现在放在一起（9），（14），以及（16）找到

表达式（10），（16），以及（17）输入作为场方程有效耦合系数，并且它们的行为不同，这取决于是否要么。系数（10)可识别为有效质量[4，14]。

3.5 d的能量-动量张量

卡鲁扎最初也考虑灰尘5D能量 - 动量张量，以及随后的作家也一样。他们通常认为形式，只有当密度指向一个共进制坐标系时，它才是协变的。此外，一些处理不精确或局限于弱电荷密度。在这里，我们提供了一个仔细的考虑转换性质必要的构造一个适当的能量动量张量。

像其他的作者，我们认为5D灰尘，一致（6)。这种选择对于张量是由我们之前测地线方程的考虑必要的能量 - 动量的形式，因为测地线方程（6）如下从施加到灰尘能量的节约相对论。由灰尘，我们指的是大量的液体微粒，没有内部的能量。它是微粒的集合。这个尘埃带电，没有量化的电荷载流子，但每单位质量的比电荷。

我们可以只写下一个协变灰尘能量 - 动量张量的形式，基于标准的结果[16]：在哪里。时间坐标挑选出来作为独立对其他4个坐标。

通过建设，是一个4D密度，每单位体积的质量的单位第五坐标。在5日的积分，每当一个不变积分被接管的空间坐标坐标是隐含的，。因为气缸条件的，所述积分没有功能依赖性，并且可以被设置为。因此我们可以折叠，和往常一样，单位是质量/体积。

因素在（18）是的5D协方差关键，从而匹配的5D协方差在（1），并使其成为一个张量。有一些混乱，因为灰尘标准说明，例如在宇宙学，引用了流体密度的共动帧，因子被忽略。然而，它的存在会影响这里的场方程，因为，正如参考文献中。[10] 。

回想一下，能量动量张量可以根据物质作用的变化来定义: 在哪里。因此，我们可以将物质的拉格朗日密度写成(18），并使用5D度量展开（3）：

此事拉格朗日（20.）补充了字段拉格朗日（五）提供了5D理论的完整描述。而场方程更容易地从场比从曲率张量的直接评价拉格朗日获得，源项可以用来自物质拉格朗日或从5D能量 - 动量张量等于努力来获得。

现在已经建立了从5D协方差原则源项的必要形式，我们来看看它的含义进行修改麦克斯韦和爱因斯坦方程收费问题。

4.场方程与源

许多卡鲁扎引用只考虑真空式，可以考虑在该领域拉格朗日的附加项，限制注意低电荷密度，或考虑的能量 - 动量张量仅在共动框架中有效。这里，我们提出了描述修改在爱因斯坦引力场方程的源项新的结果，和麦克斯韦电磁场方程，即从一个协变5D源项不可避免出现（18)，与5D测地线方程(6)。

4.1。引力场方程

首先考虑带协变导数的卡鲁扎引力场方程。有从KSF修改从真空方程预期，但是从物质源方面也有新的，意想不到的效果。在哪里是（谁）给的（10），并在是KSF能量 - 动量张量，并在是电磁能量 - 动量张量。有一个有效的可变引力常数，，在此事项（21)，正如Brans-Dicke理论所预期的那样。但这个词作为一个卡鲁扎耦合系数，在标准标量张量重力中是不预期的。

无论是KSF和电磁（EM）场的能量 - 动量（21）向4D度量的曲率。该KSF耦合是物质，电磁场和标量场，一个从标准标量张量理论出发之间代数不同。

该KSF能量 - 动量张量是无量纲（21);没有显式耦合常数。这与标准的标量张量理论不同。这里，KSF能量动量更类似于一个宇宙常数，它也没有任何尺度参数。

场方程的轨迹（21)产量

注意，与标准GR，利玛窦标不会消失消失，因为KSF还有助于。这也是不同的电磁场，由于跟踪消失，对…没有贡献。所述KSF行为就像不是像时空曲率的独立来源时空曲率的表达，因为它是重力场变形时空源是独立的。

4.2。电磁场方程

现在，我们提供修改后的麦克斯韦方程组，带源项，为EM场：

需要注意的是，在麦克斯韦方程的KSF的行为（25）等的介电常数，而在重力式，它的行为就像一个可变引力常数-从现场拉格朗日预期（五)。

在电流源（25）再现通常的麦克斯韦源项，与通常的电荷密度。

4.3。标量场方程

现在，我们所提供的卡鲁扎标量场方程，用源

这是物理学中一个相对较新的方程，除了卡鲁扎理论之外，还没有经过充分研究的类比。

在电场和磁场的方面，和，。

的形式(26）标量场方程的代数是在。然而,依赖于取决于通过（24）等的代数字段方程拥有自己的能量 - 动量作为源。这表示非线性行为作为自己的来源，非常像引力能量 - 动量非线性如何作为自己的来源。我们已经注意到，能量 - 动量不被调制在场方程（21），如其他形式的质能的。

方程（26)是物理学的新概念，，其转换为在电荷二次的。凡布兰斯 - 迪克标量场，发现其在中性物质来源，KSF认为在充电物质的来源。由于二次源项，正负电荷的来源产生相同的KSF。该KSF显然与电场并存，因为两者都是由带电物质产生。是KSF足够弱，这样的领域可能已经被发现？还是仅仅由于库仑电场强度淹没？事实上，这个问题是由参考解决。[4]，谁发现显著的理论修改库仑力。这个问题将在更详细的后续工作来解决。

5.在场方程饱和效应

我们现在可以把表达式组合起来(10），（16），以及（17），用于与前面的场方程的克鲁札耦合系数。我们发现在源项两种截然不同的界限，取决于带电物质的存在，并根据相对于临界电荷电荷上。

5.1。少量电荷来源的领域，

在低具体负责的限制，，然后和。下的电荷的标识（15），麦克斯韦方程具有它们的标准标量电磁形式无关的大小的：

引力场方程在此极限下采用标准标量张量形式:

标量场方程假定形式

这是很有意思的，这个理论在指定带电粒子及其电场的KSF不同来源。

5.2。强带电源的领域，

在高荷质比的限制，，我们必须使用的完整形式（10），（16），以及（17)。

现在考虑引力场方程（21）在这个限度。至于具体的收费增加，，所述克鲁札耦合系数（10），和它的行为，以中和所述源的引力作用，从而使物质术语变为零在重力场方程。

这不是卡卢查理论中的新效果。这是相当同一类的文献讨论静电能量的反引力作用。[9]和见于雷斯勒 - 诺斯特朗姆度规。对于高度带电粒子的重力效应变为零是ADM质量效应，我们可以从标准的4D理论独自预料。

麦克斯韦方程（25)的大小不变并具有相同的形式，如（27)。

现在考虑高收费上限为KSF（26)。现在的价值在（16）被驱动到一个较大的值，这取决于的大小。此外，该变化是成反比的，这意味着标量电荷饱和，并在高电荷值时变为线性电荷。

6.讨论和结论

这项工作已经考虑5D协方差的要求，构建了5D爱因斯坦方程一个5D的能量 - 动量源项（1)。能量 - 动量张量和相关物质拉格朗日（20.）建立。同场拉格朗日混合（五）由参考确立。[10]，现在提供了独特的卡卢查经典卡鲁扎理论的完整拉格朗日规范。

能量-动量张量的适当形式对于建立电磁和引力场方程的正确修正是很重要的。除了其他标量张量理论或标量电磁理论所期望的标量场效应外，一个特殊的卡鲁扎耦合系数(10）为产生作用，以改变源强度的方式未知的常规物理带电物质。

高比电荷的特殊效应包括重力质能的中和作用，以及电荷从二次态变为线性态的标量场源的饱和作用。以前的作者计算了洛伦兹力定律的重要修改[4]，以及一些在此描述的新的物理效应可以是在普通实验室电检测。

最后，我们注意到，饱和效应上面所讨论的依赖于电荷的标识（15)和固定的价值在（8)。这些参数的改变可以饱和效应转嫁到麦克斯韦方程组，但他们不能进行从理论完全消失。电荷的适当分配和，因此的饱和效应隔离，应该通过与4D物理对应的约束。这将在随后的工作中解决。

数据可用性

这是一个理论的论文，这并不经验数据回复。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

致谢

这项工作是由DARPA DSO奖AQD数D19AP00017下支持。

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数学物理学进展

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