分数微分方程的近似解析解非线性方程组的BPs操作矩阵

文摘

我们提出两种方法求解一个非线性分数微分方程组在卡普托的导数。首先,我们推导出操作卡普托分数导数矩阵和Riemann-Liouville分数积分用伯恩斯坦多项式(BPs)。在第一种方法中,我们使用的操作矩阵卡普托分数导数(OMCFD),在第二个,我们应用操作矩阵Riemann-Liouville分数积分(OMRLFI)。结果相互吻合较好,以及分析解决方案。我们表明,经典解决方案的解决方案方法的顺序部分衍生品方法1。

1。介绍

的分数阶微分方程已被许多研究由于其频繁的出现在各种应用程序在流体力学、粘弹性、生物学、物理学、工程学、等等。最近,大量的文献是关于分数微分方程在非线性动力学中的应用(见,例如,1- - - - - -11),在其中的引用)。因此,一个巨大的注意力都给了解决方案分数阶常微分方程,积分方程,部分偏微分方程的物理的兴趣。众所周知,收益率不存在方法分数微分方程的精确解。提出了各种方法为了解决分数微分方程。这些方法包括同伦摄动方法12- - - - - -15,Adomian的分解方法16- - - - - -20.迭代法[],变异12- - - - - -14,21- - - - - -23),同伦分析方法(24],微分变换方法[25)、操作矩阵(26- - - - - -28),和非标准的有限差分格式29日]。

在本文中,我们调查分数微分方程的非线性系统 和初始条件 在哪里和。同时,是多变量多项式函数。

后面给出了论文的结构。节2,我们现在一些分数微积分和伯恩斯坦多项式的预赛和属性。节3我们操作矩阵产品、电力、卡普托分数导数,并通过BPs Riemann-Liouville部分积分。节4,我们应用两种方法求解非线性分数微分方程组的基点。节5模拟,数值例子验证了该方法的高性能。结论提出了部分6。

2。基本的工具

在本节中,我们回忆起一些基本分数微积分和伯恩斯坦多项式的定义和性质。

定义1(见[2,7,10])。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序的一个函数,被定义为 和,,,的分数阶导数卡普托意义上被定义为 在我们有 同样,如果,,然后

定义2(见[30.])。伯恩斯坦多项式(BPs)程度上定义区间如下:

引理3。一个可以写,在那里是一个上三角矩阵,,。

证明。(见[26])。

定义4。我们可以定义双矩阵伯恩斯坦多项式的基础上的th程度如下: 在哪里

引理5。让是一个希尔伯特空间的内积和。然后,我们可以找到独特的向量这样是最好的近似的从太空。此外,你可以得到的这样。

证明。(见[31日])。

引理6。假设函数是次连续可微的。如果是最好的近似的,然后 在哪里。同样,如果,那么错误绑定就消失了。

证明。(见[32])。

3所示。操作伯恩斯坦多项式的矩阵

节3,我们回忆起操作矩阵产品,电力、卡普托分数阶导数和Riemann-Liouville分数积分个基点。

引理7。假设是一个任意的向量。产品的操作矩阵使用BPs可以给出如下:

证明。(见[27])。

推论8。假设,,是产品使用BPs的操作矩阵向量。一个人可以得到的近似函数使用BPs如下:

证明。利用引理7,很明显。

推论9。假设和是产品使用BPs的操作矩阵向量。一个人可以得到的近似函数,使用BPs如下: 在哪里。

证明。(见[26])。

定理10。一个操作矩阵可以得到个基点从订单卡普托的分数导数如下:

证明。参见[26详情)。

定理11。一个可以获得操作矩阵从订单为Riemann-Liouville分数积分BPs从订单的基础上作为

证明。参见[28详情)。

4所示。解决分数阶微分方程系统

在本节中,我们使用两种方法求解系统的分数微分方程。在第一种方法中,我们使用的操作矩阵卡普托分数导数(OMCFD),第二种方法,我们运用的操作矩阵Riemann-Liouville分数积分(OMRLFI)。

4.1。通过OMCFD解决问题

利用引理5,我们可以近似的函数如下: 在哪里。

从(17)和(15我们可以写 因此,问题(1)和(2)降低了以下问题: 和初始条件 现在,使用引理5我们可以近似系统中所有的已知函数(19)。然后,利用引理7和推论8和9,因为函数多项式,我们获得以下近似: 在哪里。

同时,对于每一个,通过使用τ方法(33我们可以生成代数方程(19)和(21),如下所示 从(23)我们组。

最后,问题(1)和(2)已经被简化为代数方程组 上述系统可以解决通过牛顿迭代法。然后,我们得到函数的近似值从(17)。

4.2。通过OMRLFI解决问题

这个方法包括两个步骤。

步骤1。初始条件是用来减少给定初值问题和零初始条件的问题。因此我们有一个修改的系统,包括初始值。

步骤2。的BPs操作矩阵Riemann-Liouville分数积分用于将问题转化为一个代数方程组。

现在,从(2我们定义 在哪里新的未知函数。

用(24)(1)和(2),我们有以下系统: 和初始条件 在哪里和是多变量多项式函数。我们使用以下近似: 在哪里是未知向量。从(7),(27),定理11,我们可以写 因此,通过(27)和(28),问题(25)和(26)降低了以下问题: 正如我们在前一节中看到的,我们可以获得以下近似: 在哪里。因此,从(29日)和(30.)我们有 因此,我们减少了问题(1)和(2)代数方程组如下: 这个系统可以解决吗通过牛顿迭代法。最后,我们获得的近似函数通过

5。例子

演示的适用性和验证数值计划,我们目前的方法申请下面的例子。

示例12。考虑下面的分数微分方程的线性系统24,25]: 与初始条件 对于这个问题我们有精确解的作为 我们解决了这个问题通过OMCFD OMRLFI。数据1和2显示的近似解和分别作为时间的函数为不同的值,。结果表明,数值解是在良好的协议,在这两种方法。同时,这些数据显示,方法接近1,数值方法解的解决方案像预期的那样。在数据3和4,我们看到两种方法的绝对误差,。在这些数据中,我们可以看到,结果使用了方法与解析解吻合较好。

示例13。让我们考虑下面的非线性部分系统(24)如下: 这样

这个系统的精确解,当,是 数据5和6显示的近似解和分别为不同的值,OMCFD和OMRLFI。我们得出这样的结论:,方法接近1,数值方法解的解决方案像预期的那样。此外,在这两种方法,结果相互吻合较好。数据7和8表明,获得结果的绝对误差和使用OMCFD OMRLFI是在良好的协议与精确解。

例14。考虑分数微分方程的非线性系统(24]: 的初始条件 这个系统的精确解,当,成为 我们可以看到的近似解和OMCFD和OMRLFI和不同的价值观,和在数据9,10,11。这些数据表明,当,,方法接近1,数值解的方法解决方案像预期的那样。在数据9- - - - - -11,我们观察到的结果OMCFD和OMRLFI重叠。在数据12,13,14,我们看到结果的绝对误差和在这两种方法。

6。结论

在这篇文章中,我们会操作的产品矩阵,卡普托分数导数,,伯恩斯坦多项式Riemann-Liouville部分积分。然后利用这些矩阵,我们提出两种方法,减少了分数微分方程的非线性系统两个代数方程组,可以轻松解决。最后,模拟算例验证了该方法的高性能。我们发现这两种方法的结果是在良好的协议,和经典的解决方案是恢复当分数导数的顺序为1。

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