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特殊的问题

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体积 2010年 |文章的ID 945460年 | https://doi.org/10.1155/2010/945460

安德烈·赫伦尼, ”两个版本的投影原理:从EPR论证单向量子计算和传送”,数学物理的发展, 卷。2010年, 文章的ID945460年, 11 页面, 2010年。 https://doi.org/10.1155/2010/945460

两个版本的投影原理:从EPR论证单向量子计算和传送

安德烈·赫伦尼1

1学院数学和系统工程、国际数学建模在物理和认知科学中心,Vaxjo大学,35195年,瑞典

学术编辑器:Shao-Ming范
收到了 2009年8月17日
接受 2009年12月29日
发表 2010年1月20日

文摘

现在几乎忘记了退化的可见光谱原始冯诺依曼投影假设至关重要的不同版本的投影假设后来Luders形式化。后者由于冯·诺依曼(而不是)扮演着至关重要的作用在量子信息理论的基本结构。我们开始本文的演示概念与投影假设有关。然后我们提醒的论点Einstein-Podolsky-Rosen对QM完整性是基于投影假设这是现在的版本称为Luders假设。我们回想一下,所有基本测量复合系统与简并谱由可见。这意味着不同配方的投影假设(由于冯·诺依曼和Luders)应该认真考虑在分析量子信息理论的基本结构。本文回顾致力于这样的分析。

1。介绍

我们回想一下,对于非简并的可见光谱投影原理的两个版本,看到冯·诺依曼(1]和Luders [2),一致。可见我们限制因素纯粹的离散谱。在这种情况下,每一个纯态预计测量到另一个纯态的结果,相应的特征向量。Luders假定情况没有改变甚至在简并谱;参见[2]。通过投射一个纯态我们再次获得纯粹的状态,相应的正交投影eigen-subspace。然而,冯·诺依曼指出,一般postmeasurement状态不是纯粹的,这是一个混合状态。区别是至关重要的!和令人惊讶的是,现在,很少有人注意到这个重要的问题。尤其令人惊讶如果考虑了一个基本角色扮演的投影原理在量子信息(气)理论。气正在接近的舞台技术验证和没有提到的问题的详细分析的基础是一个弱点。

本文致力于这样的分析。我们从一个简短的回忆基本事实的投影假设和条件概率在QM。然后我们分析QM的EPR反对完整性(3]。自从爱因斯坦等人进行残酷的物理层上,这是一个艰巨的任务提取从他们考虑使用哪个版本的投影原理。我们这样做的4,5]。现在我们回忆我们之前不久的EPR论证分析。我们将看到,他们真正应用Luders假设。他们使用一个测量复合系统将纯粹的状态转换成另一个纯态的正交投影的原始状态。最初的冯诺依曼假设块的正式申请EPR考虑完全。

我们分析了量子隐形传态方案。我们会再次看到它从根本上是基于使用Luders假设。冯·诺依曼的正式申请假定块传送类型方案;看到更多的细节6]。

最后,我们评论,“量子计算的一种方式”,例如,(7- - - - - -9(一个激动人心的替代传统的量子计算方案)是不能简化基于Luders公设的使用。

这个分析的结果应该是一个报警信号为人们在量子基础工作。如果一个假设冯诺依曼是正确的,但Luders以及爱因斯坦等人是错误的,那么所有气应该重新分析的基本方案。然而,更深层次的研究,冯·诺依曼的考虑投影原理(1)表明,事实上,在很自然的情况下冯·诺依曼假设意味着Luders假设。详细的(相当长和技术)的证明这个意想不到的结果可以发现在预印本10]。在本文中,我们只是制定上述条件和一个假设的定理在减少到另一个地方。因此基本气方案似乎是保存在他们吸引Luders版本的投影原理。然而,仍然需要以下额外的分析理解条件的充分性定理的减少一个假设的另一个原考虑冯诺依曼在他的书中(1]。他残酷的物理层上写道。做一个数学上严格的再形成他的论点并非易事!

本文的主要结论是,量子力学的基础研究和气远未完成;参见最近Jaeger的专著(11]。(我们也可以指向最近研究传送的浅野et al。12]。传送方案在无限维的希尔伯特空间,称为Kossakowski-Ohya方案。这将是有趣的分析这个方案理解的投影原理实现的作用。我们强调测量组合系统扮演气的关键。)我们备注QM的操作方法,看到的,例如,(13),不仅认为冯·诺依曼和Luders版本的投影原理,但postmeasurement状态的一般理论。正式,人们可能会说,从操作的角度方法也就不足为奇了,例如,冯·诺依曼假设可以违反了一些测量。它既不奇怪,甚至两种投影假设可以违反了。但这种观点是正确的只有在正式的数学水平考虑。如果我们把真实的物理状况,也就是说,实验中,我们应该仔细分析具体实验来了解哪些类型的postmeasurement状态生产。最后,我们提到的观点De Muynck [14,15)强调,所有投影类型假设仅仅是条件概率。原则上,我同意他的观点,与我最近的专著(16]。然而,实验者感兴趣不仅在测量结果的概率,而且postmeasurement州。我们可以提到量子隐形传态方案或单向的量子计算。

2。投影原理

2.1。非简并情况下

到处都是低于 表示一个复杂的希尔伯特空间。让 ∈ 是一个纯态, 为 为 2 = 1 。 我们的话,任何纯态密度算符 ̂ = ⊗ = , ( 2 。 1 )

在哪里 表示上的正交投影向量 。 这个操作符相同准备系统的描述了一个他们每个人在同一状态 。

对于一个可观察到的 由操作员 与非简并谱冯·诺依曼和Luders的投影假设一致。为简单起见我们限制考虑运营商纯粹的离散谱。在这种情况下,频谱由特征值 的 ∶ = 。非退化的频谱意味着不同的特征值所对应特征向量组成的子空间是一维的。下面的定义是由冯·诺依曼(1对于非简并谱。Luders之际的定义(我们仍再次Luders没有区分的情况下简并与非简并谱)。

页:让 所描述的是一个可观测的自共轭算子 纯粹的离散非简并谱。测量可见 在一个系统(纯)量子态 生产结果 = 诱发的过渡状态 到相应的特征向量 的运营商 。

如果我们只选择系统固定的测量结果 = , 然后我们获得一个整体所描述的密度算符 ̂ = ⊗ 。任何系统在这个乐团在同一状态 。如果我们不进行选择,我们获得一个整体所描述的密度算符 ̂ = | | ⟨ , ⟩ | | 2 = ̂ , = ̂ , ( 2 。 2 )

在哪里 特征向量上的投影吗 。

2.2。简并情况下

Luders广义这个假设的情况下运营商有简并谱。让我们考虑自共轭算子的谱分解 有纯粹的离散谱 = , ( 2 。 3 )

在哪里 ∈ 不同特征值的 (所以 ≠ ) 和 , = 1 , 2 , … , 在子空间投影吗 对应的特征向量 。

Luders的假设后测量的可观察到的 由操作员 出结果 最初的纯态 是又变成一个纯粹的状态,即 = 为 为 为 为 。 ( 2 。 4 )

因此,对于相应的密度算符 = ⊗ = ⊗ 为 为 为 为 2 = ̂ 为 为 为 为 2 。 ( 2 。 5 )

如果不做出选择相应的值 最后是由postmeasurement状态 ̂ = , = 为 为 为 为 2 , ( 2 。 6 ) 或者简单地 ̂ = ̂ , ̂ = 。 ( 2 。 7 ) 这是纯粹的统计混合状态 。 因此,Luders之间没有本质区别的测量可见简并与非简并谱。

冯·诺依曼对postmeasurement状态(有完全不同的观点1]。即使对于一个纯粹的状态 测量的postmeasurement状态(选择一个固定的结果 = ) 将不会再是一个纯态。如果 退化(离散)频谱,然后根据冯·诺依曼(1]。

一个可观察到的测量 给出的值 = 不诱导的投影 在子空间 。

结果将不是一个固定的纯态,特别是不Luders”状态 。此外,postmeasurement状态,说 ̂ , 不是唯一由QM的形式主义!只有一个可观测的后续计量 这样 = ( ) 和 与非简并谱操作员(细化测量)将决定最终的状态。

冯·诺依曼后,我们选择一组标准正交基 { 我 n } 在每一个 。让我们以一个实数序列 { 我 n } 所有的数字是不同的。我们定义相应的自共轭算子 在特征向量 { 我 n } 和特征值 { 我 n } : = 我 n 我 n 。 ( 2 。 8 )

测量可见 由操作员 可以被认为是可观测的测量 , 因为 = ( ) , 在哪里 一些功能吗 ( 我 n ) = 。的 测量(没有postmeasurement选择关于特征值)生产统计混合物 ; = | | ⟨ , 我 n ⟩ | | 2 我 n 。 ( 2 。 9 ) 由选择的价值 的 (细化的测量实现了通过测量观察 )我们获得统计混合物被规范化的操作符 , ; = | | ⟨ , 我 n ⟩ | | 2 我 n 。 ( 2 。 1 0 )

冯·诺依曼强调的QM无法描述的数学形式主义以独特的方式postmeasurement状态测量(没有细化)在简并的情况下可见。他没有直接讨论这些国家的性质,他说他们只能间接地通过改进测量。(对他来说,这种状态是一种隐藏的变量。它甚至可能是他所想要的,即“不存在,”。,它不能用密度算符描述。)我们希望继续通过考虑这个(隐藏)状态下的假设可以用密度算符描述说 ̂ 。我们形式化的隐藏的属性列表(postmeasurement)状态都可以从冯·诺依曼对改进测量的注意事项。最后,我们证明,看到定理5.3,这 ̂ 应该配合Luders postmeasurement状态假设的(2]。

考虑到 测量没有细化。冯·诺依曼,每个量子系统 在最初的纯净状态 , 的 测量与 选择转换的 在一个州 = ( ) 属于eigensubspace 。像Luders”的方法,这意味着,而不是一个固定的状态,也就是说, ∈ ,这样的一个实验单位球产生一个状态的概率分布的子空间 。

3所示。冯·诺依曼的观点在EPR实验

考虑任何复合系统 = ( 1 , 2 ) 。 考虑任何 1 = 2 = 2 ( 3 , ) 。 让 1 和 2 可见由运营商 ̂ 1 和 ̂ 2 与纯粹的离散非简并谱: ̂ = , = 1 , 2 。 ( 3 。 1 )

任何国家 ∈ = 1 ⊗ 2 可以表示成 = , 1 ⊗ 2 , ( 3 。 2 )

在哪里 ∑ , | | 2 = 1 。 爱因斯坦、Podolsky和罗森声称测量 1 给出的 1 = ̂ 1 ⊗ ( 3 。 3 )

诱发的投影 到一个国家 1 ⊗ , ∈ 2 。

特别是,表单的状态 = 1 ⊗ 2 , ( 3 。 4 )

州之一 1 ⊗ 2 被创建。

因此通过执行测量 1 结果 1 “现实”的元素 2 = 2 ( 3 。 5 )

被分配给 2 。这是关键的考虑爱因斯坦et al。3]。现在通过选择另一个可观测的 2 作用于 2 , 我们可以重复操作注意事项 ̂ 1 ⊗ ̂ 2 。这个操作符引发的另一个分解状态 。 现实的另一个元素可以分配给相同的系统 2 。如果运营商 ̂ 2 和 ̂ 2 不上班,那么可见 2 和 2 是不相容的。然而,EPR系统分配 2 现实的元素对应于这些obervables。这与假设的QM这样一项任务是不可能的(因为海森堡测不准关系)。解决这一悖论EPR提出QM是不完整的,也就是说,尽管海森堡测不准关系,现实的两个元素对应于不兼容的可见可以分配给一个系统。作为一个荒谬的选择不完备,他们认为距离行动的可能性。通过执行测量 1 我们改变的状态 2 并为其分配一个现实的新元素。

然而,EPR考虑不匹配冯诺依曼的投影原理,因为的光谱 1 是简并的。因此,冯·诺依曼获得现实的一个元素应该执行“非局部可观测”的测量 例如,给定的非局部细化 1 = ̂ 1 ⊗ 和 2 = ⊗ ̂ 2 。

最后,(在考虑运营商的离散谱)爱因斯坦等人认为运营商的位置和动量连续光谱。根据冯·诺依曼(1)每个人都应该进行近似运营商连续光谱通过运营商离散谱。

节5我们将表明,在很自然的情况下冯·诺依曼假设意味着Luders假设,即使对可见光谱退化。它将关闭“漏洞”的EPR的考虑。

4所示。冯·诺依曼的观点在规范化传送方案

我们将继续在量子隐形传态方案,看,例如,(11),并指向投影原理的应用。QI-tradition后在本节中,我们将使用狄拉克符号来表示系统的状态。有爱丽丝( )和鲍勃( ),和爱丽丝在任意一个量子位的量子状态 | ⟩ 。假设这个量子态不知道爱丽丝和鲍勃她想把这状态。爱丽丝有一个量子位假设她想传送鲍勃。这通常量子位可以写 | ⟩ = | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 。

量子隐形传态方案要求Alice和Bob份额最大纠缠态,例如,贝尔的四个州之一: | Φ + √ ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ) , | Φ − √ ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ) , | Ψ + √ ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) , | Ψ − √ ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ − | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ) 。爱丽丝需要一对的粒子,和鲍勃让另一个。我们将假设Alice和Bob共享纠缠态 | Φ + ⟩ 。所以,爱丽丝有两个粒子(一个她想要传送, 、一对纠缠的)和鲍勃有一个粒子, 。在总系统中,是由这三种粒子的状态 | | | | Φ ⟩ ⊗ + = | | | | ⊗ 1 0 ⟩ + 1 ⟩ √ 2 | | | | | | | | 0 ⟩ ⊗ 0 ⟩ + 1 ⟩ ⊗ 1 ⟩ 。 ( 4 。 1 )

爱丽丝会使部分测量在贝尔的基础上拥有两个量子位。明确测量的结果,我们将重写两个量子位的爱丽丝贝尔通过以下基础通用身份(这些可以很容易地验证): √ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | Φ + ⟩ + | Φ − ⟩ ) , √ | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | Ψ + ⟩ + | Ψ − ⟩ ) , √ | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | Ψ + ⟩ − | Ψ − ⟩ ) , √ | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ = ( 1 / 2 ) ( | Φ + ⟩ − | Φ − ⟩ ) 。显然她(当地)测量的结果的传递将会崩溃的四个州(有相等的概率获得): | Φ + ⟩ ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) , | Φ − ⟩ ⊗ ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) , | Ψ + ⟩ ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) , | Ψ − ⟩ ⊗ ( − | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) 。鲍勃的量子位的四种可能的状态是国家统一的图像传送。至关重要的一步,当地的测量由爱丽丝在贝尔的基础上,就完成了。显然如何进一步推进。爱丽丝现在有完整的知识状态的三个粒子;她的贝尔测量的结果告诉她这四个州的系统。她只是把结果通过经典信道鲍勃。两个经典比特可以沟通的四个结果她了。从爱丽丝鲍勃接收消息后,他就会知道这四个州的粒子。利用这些信息,他在粒子执行统一的操作,将其转换为所需的状态 | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 。

如果爱丽丝表明她的结果 | Φ + ⟩ ,鲍勃知道他量子位已经在所需的状态,什么也不做。这微不足道的幺正操作,标识符。

如果消息表明 | Φ − ⟩ ,鲍勃将派遣他的量子位的酉门泡利矩阵 3 = ( 1 0 0 − 1 ] 恢复状态。如果对应于爱丽丝的消息 | Ψ + ⟩ ,鲍勃适用于门 1 = ( 0 1 1 0 ] 他的量子位。最后,对于剩余的情况下,适当的门是由 3 1 = 2 = ( 0 1 − 1 0 ] 。因此传送。

主要的问题在于,爱丽丝的测量由3-qubit退化运营商表示空间。非简并对她2个量位,但不是在整个空间。因此,标准得到结论,例如, = 1 ,爱丽丝可以确定鲍勃获得正确的状态 | ⟩ 不匹配量子测量理论。根据冯·诺依曼,这个状态鲍勃应该执行细化测量。为了执行它,鲍勃应该知道 | ⟩ 。因此从冯·诺依曼的观点有一个漏洞在量子隐形传态方案。它将被关闭(在很自然的情况下)在接下来的部分。

5。减少冯诺依曼Luders”假设的假设

在本节中,我们试图形式化冯诺依曼的考虑测量退化的可见光谱。

考虑一个 测量没有细化。冯·诺依曼,每个量子系统 在最初的纯净状态 , 的 测量与 选择转换 在其中的一个州 = ( ) 属于eigensubspace 。这意味着,而不是一个固定的状态,也就是说, ∈ ,这样的一个实验单位球产生一个状态的概率分布的子空间 。

我们假设它是一个步骤在冯·诺依曼的规范化的考虑)。

做的事:对于任何价值 这样 ≠ 0 ,postmeasurement概率分布 可以用密度算符描述,说什么 Γ 。

在这里 Γ ∶ → 是这样的, Γ ≥ 0 和 Γ T r = 1 。现在考虑相应的密度算符 在 。它的限制 正值 Γ 。特别是这意味着其财产 ⊂ 。 ( 5 。 1 ) 我们的话, 是由 ,所以 ≡ ; 。

我们想要呈现的其他属性的列表 由冯诺依曼对优化的考虑。以来,对于每个细化测量 ,运营商 和 上下班,测量 以优化可以以两种方式进行。首先,我们执行 测量,然后我们得到 作为 = ( ) 。然而,我们也可以先执行 所描述的测量,获得postmeasurement状态密度算符 ,然后测量 最后,我们再次发现 = ( ) 。

把一个任意 ∈ 和考虑改进测量 这样 是一个特征向量 。因此 = 。的情况下——(直接测量 ]和[第一 然后 ] 我们得到概率耦合在一个简单的方法。在第一种情况下(通过波恩定则) = ∣ ̂ = | | | | ⟨ , ⟩ 2 。 ( 5 。 2 ) 在第二种情况下,后 测量时,我们获得的状态 的概率 = ∣ ̂ = 为 为 为 为 2 。 ( 5 。 3 )

执行 测量的状态 我们得到的值 的概率 = ∣ = T r 。 ( 5 。 4 ) (古典)贝叶斯规则,我们有 = ∣ ̂ = = ∣ ̂ = ∣ 。 ( 5 。 5 ) 最后,我们获得 = ∣ = T r = | | | | ⟨ , ⟩ 2 为 为 为 为 2 。 ( 5 。 6 ) 因此 T r = | | | | ⟨ , ⟩ 2 为 为 为 为 2 。 ( 5 。 7 ) 这是postmeasurement状态的基本特征之一 (对于 测量与 选择,但没有任何细化)。另一个基本平等我们在以下方式获得。把一个任意 ∈ ⟂ , 并考虑测量的观测所描述的正交投影 ′ 状态下 。 稍后将介绍一个概率分布集中 , 我们有 ′ = 1 ∣ = 0 。 ( 5 。 8 ) 因此 T r ; ′ = 0 。 ( 5 。 9 ) 这是第二个postmeasurement状态的基本特征。我们的目标是证明(5.7)和(5.9)暗示,事实上, = ̂ 为 为 为 为 2 ≡ ⊗ 为 为 为 为 2 , ( 5 。 1 0 ) 即获得Luders假定这是一个定理的方法。

引理5.1。postmeasurement密度算符 地图 成 。

证明。由(5.1这就足以证明 ( ⟂ ) ⊂ 。由(5.9我们获得 , = 0 ( 5 。 1 1 ) 对于任何 ∈ ⟂ 。这意味着立即 ⟨ 1 , 2 ⟩ = 0 对于任何两个向量 ⟂ 。后者意味着 ∈ 对于任何 ∈ ⟂ 。

考虑现在 测量没有细分和选择。postmeasurement状态 ̂ 可以表示成 ̂ = , = 为 为 为 为 2 。 ( 5 。 1 2 )

命题5.2。对于任何纯态 和自伴的运营商 与纯粹的离散(退化)光谱postmeasurement状态(在缺乏细化测量)可以表示为 ̂ = ̂ , ( 5 。 1 3 ) 在哪里 ̂ ∶ → , ̂ ≥ 0 ,对于任何 ∈ , ⟨ ̂ | | | | , ⟩ = ⟨ , ⟩ 2 。 ( 5 。 1 4 )

定理5.3。让 ̂ ≡ ̂ 由命题密度算符描述5.2。然后 ̂ = ⊗ 。 ( 5 。 1 5 )

6。结论

我们进行了两个版本的比较分析投影postulate-due冯·诺依曼和Luders。我们回忆说,可见与简并谱这些版本意味着至少正式不同的后果。对于一个复合系统任何测量单个子系统与简并谱由操作员。这样测量的基本作用在量子基础和量子信息:从原始EPR参数量子隐形传态和量子计算的闪。制定自然条件降低了冯·诺依曼投影假设Luders投影假设;看到这个定理。这个定理封闭在QI-schemes提到漏洞。然而,这个定理条件的进一步分析。

引用

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