d膜K-Theoretic配方的阿哈拉诺夫玻姆阶段

文摘

阿哈拉诺夫玻姆的拓扑计算阶段缺乏Neveu-Schwarz与区间B领域探索。K-theoretic Ramond-Ramond分类字段在II型和I型理论用于生产公式阿哈拉诺夫玻姆阶段扭转通量。拓扑结构表明,K-theoretic配对计算这样的阶段存在,是定义良好的。然后分析的角度来看,获得一种手段来确定通过减少eta-invariant阿哈拉诺夫玻姆阶段。这个角度是用来计算一个实验涉及的阶段(−1)−8系统I型理论和比较与先前的计算使用不同的方法执行。

1。介绍

众所周知,磁场的存在会影响阶段的带电粒子,粒子即使不通过包含磁场的区域。的一个典型示例是由阿哈罗诺夫和玻姆制定1),如图1。

首先,注意的存在领域产生一个连接,在那里是李代数的价值取决于一种形式。接下来,我们让。然后发现阶段获得一个粒子一起旅行是 实施的现实条件如果等价类的集合是有价值的。所以我们可以认为的一个元素。然后我们看到阿哈拉诺夫玻姆阶段是由一个配对定义为。

然而,当我们考虑区间,事情并不那么简单。在[2,3)结果表明,d膜费用和Ramond-Ramond (RR)字段类型活动花絮,IIB,我的理论是由k理论分类的。因此,阿哈拉诺夫玻姆阶段的计算区间必然会涉及一些K-theoretic配对。

摘要部分2.1- - - - - -2.4产生许多细节的拓扑公式d膜阿哈拉诺夫玻姆阶段IIA理论,构建了一个简短的投机讨论(4]。结果表明,[中概述的配对4存在,是定义良好的。部分2.5提供适应的配对IIB型和I型设置。节3的焦点就转移到使用减少eta-invariant K-theoretic计算配对。简要概述相关的数学技术提出了部分3.1然后利用部分3.2为系统在I型理论。结果表明,我们的结果同意计算中执行(5使用不同的方法)。

2。拓扑公式

让我们首先考虑IIA理论,假设我们有一个膜产生扭力通量。这个通量的定义了一个元素的扭子群,在那里。

2.1。漫长的确切顺序

我们下一个希望解除我们的元素一个元素的。在这样做之前,它是有用的考虑类似cohomological情况。从准确的系数序列 我们可能获得长期精确cohomological序列 那里的地图被称为“Bockstein同态。

自对于任何的内核扭力的元素的集合吗,表示。因此,我们可以写以下的序列, 因此对于任何扭转类有一个提升。这个电梯是一个积分上链,即关闭但不是在。简单diagram-chasing表明这种提升是定义良好的6]。

一个完全类似的论点是通过k理论。事实上,上面可以写很长具体序列相似,和所有随后的声明和行动延续。具体来说,漫长的精确序列 给出了精确的序列 在这里,陈省身性格和吗是健忘的地图。提升的因素通过Bockstein然后给一个元素。如cohomological情况下,diagram-chasing表明,这种提升是定义良好的。

2.2。k的产品

接下来,注意测试膜的定义了一个元素。我们将对这个元素通过k -产品(7- - - - - -9]。我们首先考虑到类似cohomological情况。在那里,一个始于一个映射 分配到每个上链和上链一个上链通过让采取行动前的脸,行动上的脸,然后相乘结果通过通常的产品操作发送来。由此可见,给出了一个明确的产品操作(6]

在k理论中,我们定义了一个类似的产品操作通过张量的产品包。外部k的产品是一组射分配到每个的元素,在那里和是投影算子。

当扩展到更高K-groups,本产品。看到这,我们开始配对 给出了张量的产品。接下来我们使用定义的关系,在那里是独立basepoint和粉碎的产品吗与。然后我们获得一个配对。

让然后用地图组成来由对角映射给出了产品 由此可见,配对 与如cohomological案例。

我们可能会因此对 通过与广义系数k的产品。因此,给定一个膜生产扭力和带电测试膜通量,我们获得的一个元素。

2.3。K-Homology

在无穷远处测量阿哈拉诺夫玻姆阶段,我们必须测试膜在一个封闭的路径。这条路径的定义了一个元素。为了对我们的路径,我们必须提升路径的一个元素的K-homology(10]。

我们可以用参数表示路径由一个函数。请注意,是一个紧凑廖没有边界,是通过定义一个连续映射。把一个复杂的矢量束是很容易的,因为每一个复杂的矢量包是微不足道的。它是自然的,那么,让K-cycle与我们的路径是由有关在哪里是琐碎复杂向量与纤维束。自奇维,我们定义了一个元素。

表明这电梯是独一无二的,我们使用bordism和直和关系。考虑到K-cycle。自直和的关系。让紧凑的二维廖如图2,把琐碎的1级复向量丛。

然后连续的合适的选择,我们有 因此 很明显,这K-cycle概括。因此我们的电梯从来是独一无二的。

2.4。十字路口的形式

在cohomological案中,有一个十字路口在面向紧凑的配对维管汇 定义为 也就是说,其次是集成在一个方向类杯产品。

我们使用这个定义另一个配对 在以下方式。因为任何扭类有一个定义良好的提升,我们可以定义所需的配对

回到K-theoretic情况下,回想一下,从我们的扭力变化,测试膜和路径测试膜的我们已经定义的元素和。我们现在想把这些元素和得到一个元素,阿哈拉诺夫玻姆的阶段。这是使用所谓的交叉形式(11]。

非简并配对交叉形式 (与表示紧凑支持)诱导的k -产品和直接的图像映射对应图。

庞加莱对偶和托姆同构给10,12] 看到这同构拓扑,首先表示的单位球包。也让投影。这是所示(13)的元素与稳定的自伴的同伦类一一对应符号。然后一个元素是一对在哪里是一个厄密共轭向量包和是一个自伴的自同构的。然后给出了分解在哪里是由特征向量张成的的特征值。

设置,请注意所以,它是奇维。此外,是一个廖自有一个结构与。然后三是一种元素的。如果我们定义,然后 是一种同构。

因此交叉形式是一个非简并配对K-homology和k理论之间, 这正是我们需要给阿哈拉诺夫玻姆阶段。

总结我们的配方对于IIA的情况,一个元素定义的扭力通量我们取消了通过漫长的精确序列K-groups与准确的系数序列。测试膜的定义了一个元素我们搭配的元素通过k -产品再次得到一个元素。我们的道路测试膜的定义了一个元素我们把一个元素的。十字路口然后带形式,我们称之为阿哈拉诺夫玻姆阶段。

2.5。IIB型和I型病例

现在我们已经给定的拓扑细节K-theoretic公式IIA阿哈拉诺夫玻姆阶段的情况下,我们想开发类似的语句IIB型和I型病例。

IIB型的情况下,扭转通量需要值,像以前一样。然后我们可以再次使用的系数序列给长精确K-groups序列和提升我们的元素来。现在我们的测试膜的定义了一个元素,我们再次使用k -产品对这些元素 我们再次测试膜的路径来并利用交叉形式

最后,我们可以做一个类似的提案我场景类型。在这里,扭力流量价值,测试膜的定义了一个元素。所有的属性复杂的k理论,我们采用KO-groups。这些理论之间唯一的区别是博特周期性的形式,但这并不严重影响我们的讨论。所以我们解除扭转通量,然后对测试膜电荷, 由KO-cup产品完全类似于k罩产品。我们可以复化获得的一个元素。现在我们测试膜的路径来。然后我们使用交叉形式 给我们阿哈拉诺夫玻姆阶段。

需要一些解释说明标签作为阿哈拉诺夫玻姆的阶段。问题是这个阶段发生在d膜的配分函数,参与一个阿哈拉诺夫玻姆的实验。对区间之间的交互参与这样的一个实验将由开放弦连接两个膜,并产生一个阿哈拉诺夫玻姆阶段必须敏感,他们的相对方向。只有费米子成为质量当膜能够检测它们的相对方向一致。而Neveu-Schwarz部门开弦零点能量有时大于0 (14],Ramond-sector开弦始终有一个零点能量等于零。因此,会有质量费米子的敏感性相对取向会影响配分函数,生成一个阿哈拉诺夫玻姆的阶段。

在I型的情况下,可以从这些开弦交互有效规范理论的角度定义的worldvolume 9-branes用于构建d膜系统。这两个区间对应于拓扑缺陷定义的规束9-brane系统,和上面的K-theoretic配对指定措施拓扑阶段的相对运动引起的缺陷。我们将回到这个规束角度后,在部分3.2。

3所示。分析方面

在这里,我们描述配对 从分析的角度来看。我们首先回顾相关材料(15]定义eta-invariant降低,并与部分的拓扑配对2。然后,我们使用eta-invariant来计算一个阿哈拉诺夫玻姆实验涉及的阶段膜系统的I型理论。

3.1。分析配方

首先,我们定义一个分级余圈在是四倍,在那里(我) 是一个梯度向量包上,(2) 是埃尔米特规,(3) 埃尔米特连接,(iv) 满足。

我们可以定义一个分级余圈在类似地,通过替换形容词“复杂”和“埃尔米特”与“真实”和“对称的,”。

接下来,回想一下,一个K-cycle是一个三与一个封闭的奇维多方面的,一个复杂的矢量包,一个连续的地图。我们实际上会让这里是平稳的。再次注意,有一个类似真正的配方。然而,本节剩下的时间,我们将限制我们的注意力到复杂情况。

自是的原则包上可能会减少到一个原则束,称之为。我们可以联想到埃尔米特线包在(16]。选择一个埃尔米特连接在、埃尔米特矩阵在、埃尔米特连接在。

让是封闭的形式表示。同时,让是封闭的形式表示。最后,让旋量束是。

然后给出一个分级闭上链,我们让表示的Dirac-type算子作用于部分。其减少eta-invariant [17] 然后eta-invariant降低是价值函数

最后,给出一个周期在和一个分级闭上链为,他们的重视结对是 证明这是事实上给出正确的配对(15),主要基于相应的证明(17]。我们声称这个收益率阿哈拉诺夫玻姆阶段

注意,我们可以使用d膜电荷相反的RR领域我们的处方。与RR-field可能相关的k理论类定义的方式映射到k理论通过同构与d膜电荷相关联的类 在哪里限制k理论类来。KO-theory的类似的同构。因此,如果需要我们可以开始改变我们的处方k理论课程与费用相关的区间。

3.2。计算在I型的情况下

我们现在考虑一个阿哈拉诺夫玻姆实验系统的I型区间。瞬子的路径定义了K-cycle正如上面所讨论的。我们使用所需的32 nine-branes蝌蚪取消构建我们的系统没有添加额外的膜/ antibranes。将方便工作的k理论类d膜电荷相反的RR字段。

8-brane决定的重要元素,我们认为紧凑的支持。这样一个元素是由一对在哪里是一个等级1包吗是微不足道的等级0包。我们通过Bockstein举起这一个元素。请注意,也是一个等级1包。

接下来,(−1)膜决定的因素。这是一对。以KO-cup产品。复杂化的这些包之后,然后我们获得分级闭上链在。

我们也有相关的狄拉克算子为闭上链的组件, 在哪里用参数表示8-brane之间的距离和上述(−1)膜,和+上标表示它对应组件。自是一个等级1包,该指数定理(17,18)说,有一个零模式确定手性对吗和(在数量重要的瞬子部门)。因此有特征值。

我们可以评估分析配对使用回调的从来。的特征值等于,我们得到。而且,由于和都是包,他们的连接和曲率形式价值,因此没有痕迹。复杂性并不能改变这一点,陈省身的特点是零。然后自和,我们得到和。最后,请注意,自。

然后我们发现我们的配对 因此,我们得到一个阿哈拉诺夫玻姆的阶段,单值。

这个结果同意执行的计算(5)的系统,它是由检查无质量变化的振幅随着瞬子费密子贡献感动。

4所示。总结

在本文中,我们开发了公式计算扭转Ramond-Ramond通量的阿哈拉诺夫玻姆阶段II型和I型弦理论基于K-theoretic Ramond-Ramond分类字段和d膜的指控。这些公式都是建立在两个不同的但是等价的时尚,一个是纯粹的拓扑和其他采用eta-invariant减少。拓扑配对被证明存在,是定义良好的。分析的角度是用来计算的阶段系统在I型理论中,允许我们测试公式相比独立计算。

承认

作者要感谢g·w·摩尔的有益的讨论。

引用

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