文摘

广义quasilinearization技术应用于获得一个单调迭代序列收敛匀,分成一个解决方案的第二和第四阶椭圆方程的耦合系统。

1。介绍

本文的目的是研究解的存在以下椭圆系统: 这个问题与耦合系统的第二个和第四个常微分方程: 从稳态产生下列Lazer-McKenna吊桥模型提出了(1]: 因为重要的背景下,在2],俄文和一个单个和多个正解的存在性的2 p-order和2 q-order非线性常微分系统利用锥扩张的定点定理和压缩类型由于Krasnosel 'skill;在[3),作者研究了存在多样性,和正解的不存在2 p-order和2 q-order系统积分奇异边值问题的边界条件;在[4),作者研究了存在,不存在,Ambrosetti-Prodi类型问题的多种解决方案系统第二和第四阶常微分方程的变分方法。此外,在[5),一个处理的最大原则第二和第四阶椭圆方程的耦合系统: 的功能,应该是负的,这样吗矩阵是合作。此外,利用不动点定理,作者获得解决方案的存在以下系统:

灵感来自上面的引用,这篇论文的目的是研究椭圆系统解决方案的存在(1)利用上下解的方法和广义quasilinearization技术的基础上最大线性椭圆系统原理(4)由一个在5]。由Bellaman开创和Kalaba quasilinearization方法6)和广义Lakshmikantham和瓦塞拉(7]。quasilinearization方法已被应用于各种各样的问题。我们提到的读者8- - - - - -12]。

本文组织如下。节2,我们给一些开场白。节3,我们获得一个单调序列近似解收敛一致和分成的溶液(1)。

2。预赛

让是一个有界光滑的域。表示希尔伯特空间 与内部生产。相应的规范;表示希尔伯特空间 与内部生产。相应的规范。

让积极的第一特征值的二阶特征值问题 然后首先是积极的四阶特征值问题的特征值 庞加莱的不平等,,接下去 在哪里。

引理1(见[5])。假设合作矩阵与,验证条件 然后(4)满足最大原则。由一个最大原则意味着,如果一个,然后(4)有一个非负解。

引理2。让,。然后(4)有一个解决方案。此外,存在一个常数这样

证明。让Ł表示算子矩阵 ,让表示的系数矩阵 因此,(4)可以写成 在哪里。从引理1由此可见,算子矩阵是可逆的,是一个紧凑的积极的算子。所以。此外,我们可以得到为一个常数。

3所示。主要结果

让,然后(1)等价于 我们介绍以下关系: 由通常的要求积极的锥吗,在那里表示巴拿赫空间。

定义3。一个函数是一个较低的解决方案(16如果它满足

定义4。一个函数是一个上层的解决方案(16如果它满足
为了方便起见,我们给一些假设如下。(A1)方程(16)有一对上下的解决方案,与。(A2) ,是quasimonotone不减少的在,凸统一在,存在,是连续的,在不减少的为。(A3)引理的假设1保持与,。(A4) 一些积极的矩阵。

定理5。假设(A1)——(A4)。还有两个单调序列存在,收敛一致的解决方案(1)或(16)和二次收敛性。

证明。(A2),我们有 在哪里,。定义一个函数如下: 在哪里,。可以清楚地看到这一点是quasimonotone不减少的在为每一个。
从引理1(A3),它遵循线性系统 分别有一个解决方案,。
让。然后,从(22),我们有 利用引理1(A3),它暗示;也就是说,。
让。然后,从(23),我们得到 利用引理1(A3),上面的不平等;也就是说,。
最后,让。然后,使用(20.),(22)和(23),我们可以获得 在哪里。利用引理1(A3),它的收益率;也就是说,。所以,从上面的讨论,我们可以得到。
继续这个过程先后,那么我们就可以获得两个单调序列,令人满意的 在哪里,分别是以下系统的解决方案:
从(27),可以清楚地看到这一点,一致有界的。此外,不减少的序列,因此存在一个子序列一致收敛的。控制收敛,很容易验证是一个解决方案(1在分配意义上)。同样的,融合的。
现在我们的收敛和是二次。为了这个目的,让,。然后,使用中值定理,我们有 通过(A3)和(A4),我们得到的不平等 在哪里。
让是唯一解的线性问题 从引理1,(30.)和(31日),我们知道。此外,我们有。从引理2,我们知道。此外,我们还可以获得。
类似地,我们也有 因此,证据就完成了。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项研究支持江苏省自然科学基金(批准号1014 - 51314411)。