文摘

本文提出了一种新的迭代方法计算近似满秩矩阵的逆。分析方法的讨论包括证明其收敛性行为。事实上,证明提出的方案具有十阶收敛。最后,通过数值例子说明了它的性能在不同的矩阵。

1。介绍

线性代数系统的形式的解决方案,在那里是一个矩阵(矩阵本文都是相同的尺寸,除非明确表示)是一个给定的向量,是中心许多数值模拟和往往是最耗时的计算的一部分。直接方法,工作本质上基于系数矩阵的逆,非常强大,它们往往需要一个可预测的资源数量的时间和存储。他们唯一的问题,事实上,在于需要大量的计算时间和内存,通常把他们的利益的情况下尤其如此是稀疏的。

在这个时候,迭代方法可以考虑。这种类型的放松和维子空间方法,可靠的解决大型稀疏系统(1]。另一方面,我们有另一种类型的迭代方法,在文献中称为Schulz-type迭代(见,例如,2])。这些技术都是基于发现健壮的近似给定矩阵的逆。

这种类型的最古老的技术是舒尔茨方法(3)定义为 在哪里是单位矩阵。在一般情况下,它是收敛的,在那里和表示谱半径。这种方案也适用于敏感性分析时需要精确的近似逆两个正方形和长方形矩阵。注意,对于矩形矩阵,他们可能获得一个广义逆使用这种迭代方法(4]。

这些解决方法的选择在某些领域如电路、电力系统网络和化工厂建模(5]。Schulz-type方法的实际应用,最近吸引了一些数值分析人士本身(6),在预处理。事实上,通过一个初始值(7),一个是能够产生任何近似逆预调节器所需的精度,然后尽快解决预处理算子的线性系统。

因此,我们感兴趣的是找到一个新的迭代方法属于类Schulz-type方法寻找近似逆在这工作。

备注1。我们在所有后续使用矩阵范数2推导和讨论,除非其他形式明确提出。

本文的其余部分被组织在下面。在下一节中,我们简要回顾一些现有的Schulz-type方法和提供了一个新的数学证明的一个未经证实的迭代方法。本文的另一个贡献是提出了部分3。这一部分也致力于分析收敛。部分4涵盖了数值模拟和一些笔记为了有最好的反馈的实际实现。最后,结束语部分所吸引5。

2。预赛

李等人在6]介绍了 并提出了寻找另一个三阶迭代法接下来(正确的产品形式):

李•李(george w . bush)和z (8)提出以下四阶迭代法:

事实上,一个家庭的方法开发的(8]。我们注意到,迭代方法(2)和(4)也可以发现在教科书里9]。此外,我们表明,迭代法(3)可以写成(left-product形式)

这种结构更容易由于使用Horner-like乘法,随后,降低舍入错误避免矩阵幂的计算,这是昂贵的。应该说,作者在6没有提供一个数学证明(3)或其他形式(5)。因此,这里我们首先证明其收敛到完成论文(6]。

定理2。假设与真实的或复杂的组件是一个可逆矩阵。如果初始值满足 然后,迭代(5)是收敛的体积。

证明。为了证明的融合(5),我们首先考虑,,。(5),我们得到 因此,我们获得。此外,由于和,我们得到 (在哪里8)趋于0时。也就是说,,当,因此(5),我们得到,因为。这显示了收敛。
现在,我们必须展示其第三个订单。为此,我们表示误差矩阵的迭代过程(5)。我们已经在[(使用类似的方法10]) 我们现在可以获得 方程(11)的结果 随后 收益率由双方通过规范 因此 这表明,迭代法(5)收敛于至少有三阶收敛。证明已经完成。

3所示。一个新颖的方法

让是单位矩阵。我们的目标是构建一个迭代法的迭代序列收敛于为一个适当的初始猜测。我们建议我们的方法如下: 而及其推导将指出的部分4。在数值数学,至关重要的是要知道理论的一种近似方法。在下面,我们证明了收敛的顺序(16)。

定理3。假设是一个可逆矩阵和真实的或复杂的条目。如果最初的猜测满足 然后,迭代(16)收敛于至少有十收敛阶。

证明。为了证明的融合(16),我们考虑相同的假设我们在定理的证明2。然后,我们有 因此,我们获得 此外,由于和,我们获得 (在哪里20.)趋于0时。也就是说,,当,因此(16),我们得到 我们现在必须说明十阶收敛(16)。这一目标,我们表示误差矩阵的迭代过程(16)。我们有(使用(18)) 方程(22)的收益率 使用(24),我们得到 简化,通过规范,如下: 因此 这表明,该方法(16)收敛于至少有十阶收敛。证据现在已经完成。

一个简单的定理的推论2和3是,使用相同的条件和初始条件,高阶方法到达收敛速度比低阶方法和阶段这减少了迭代次数。

注意顺序(16的先决条件)可能不仅适用于左线性系统而且正确的预处理算子线性系统,在那里,只有在初始矩阵满足。

迭代方法,讨论了目前选择初始猜测开始敏感的过程。事实上,这种类型的精度和效率高的迭代算法是保证只有在初始值满足适当的条件中给出定理2和3。

因此,为了保持收敛阶,我们提醒读者,高效的生产方式下(11)如下:。另一种自适应的方法是,在那里是单位矩阵,应该确定了吗。

备注4。新的迭代(16)达到10日订单通过使用8矩阵与矩阵的乘法,而计划(1),(2)和(5)及2日,3日和4日订单,分别通过使用2、3和4矩阵与矩阵的乘法。因此,贡献方法计算成本低于竞争对手。这个优势将澄清的部分4。还应该说,任何订单的融合生成满秩方阵在这本书的第二章第六节(12),而矩形矩阵的一般方式是第五章中讨论的9)和最近的一篇论文(13]。事实上,在这些结构收敛阶总是会实现矩阵乘法的次数,如(1),达到订单2使用两个矩阵与矩阵的乘法。

备注5。两个重要的问题必须提到这一刻放松的感觉为什么高阶(高效)方法如(16矩阵乘法)和8至少达到收敛阶10是可行的。首先,遵循信息效率的比较指数指数inverse-finders [14),定义为,其中和的收敛矩阵乘法的订单和数量,信息效率(16),也就是说,比其他竞争,(1),(2)和(4),(3)。第二,新方案的意义将显示在这些计划的实现。进一步说明,这样的迭代是完全依赖于初始矩阵。虽然有一些和寻找有效方法一般这些初始近似需要大量的迭代到达融合阶段。另一方面,每个周期的实现这种Schulz-type方法包括一个停止条件基于矩阵范数的使用,这将对进一步的负担和负载一般为低阶方法与高阶方法如(5)。因为矩阵范数的计算(通常密度矩阵和对于大型稀疏矩阵)需要一个合理的时间,因此更多的步骤/迭代(低阶方法的结果)将比他低数量的步骤/迭代。

注6。我们定义的指数是不同的古典定义效率指数(15]。特劳布(15]讨论了为什么信息效率指数是必要的。事实上,这种效率指数的用户应用取决于处理的情况。注意,每个迭代的成本(步骤)是由矩阵乘法的数量,订单,和计算的停止准则。因此,信息指数有意义在这种情况下,因为它每次措施获得了一个矩阵乘积的顺序和停止标准计算。

4所示。数字报告

在本节中,提出了一些实验证明提出的方法的能力。计算机代数系统ATHEMATICA8日(16]和[17),在这一节中使用。数值的比较,我们使用方法(1),(2),(5)和(16)。我们也将在我们的计算中使用双精度。电脑规格是微软Windows XP英特尔(R),奔腾(R) 4, CPU 3.20 GHz和4 GB的RAM。

实验1。在该测试中,2500稀疏随机复杂矩阵的维度考虑如下: ; - > , - > , - > ;

在该测试中,停止准则,允许的最大迭代次数设置为100。注意,在这个测试已经由最初的选择。我们还阴谋10测试矩阵的条件数在图1。

比较的结果的测试问题已经提出了数字2- - - - - -3。我们有杰出的各种符号,像圆的曲线三角形,等等,还有不同的颜色。reverify达到结果的鲁棒性,提出了迭代法(16)明显减少迭代次数花费的时间。注意,在本文的数据,舒尔茨,KSM,毫米,提出方法(PM)代表(1),(2),(5)和(16),分别。

一般来说,迭代Schulz-type方法是非常有用的对于大型稀疏矩阵的稀疏逆或者当只有一个近似逆是必要的。

经过一系列的迭代的方法,计算近似逆可能密集,因此整个过程可能是缓慢的。为了弥补这一点,可以实施一个阈值实现的算法。希望可以通过命令 。在实验1我们有设置来。这种技术的预处理的实现也将是富有成效的。

我们还指出,建设(16)是基于应用非线性方程解算器(类似的想法3]) 在矩阵方程,例如,是两点均差,它给了我们针对tenth-order方法(16)。

注7。正如之前所讨论的,解决的一个重要应用是提供解决线性系统的鲁棒预调节器方程。进一步说明,我们选择下面的示例,其中,在一个实际问题,解决gmr失败在解决由此产生的离散化系统,当步骤允许gmr的最大数量是2000。

实验2。我们认为解决边值问题(BVP)使用有限差分离散化。让我们解决BVP 在哪里,在我们的范围内,离散化的数量是。
找到解决方案的实现与宽容将(MATHEMATICA接下来环境): ; ^∧ ; ; - > ; - > - > - >
现在的系数矩阵和右边向量BVP寻找解决方案(29日)可以推导出稀疏的形式 ^∧ ;
就像其他问题,这是最耗费时间的一步,即解决稀疏系统。在此,我们选择gmr维子空间方法来解决系统,无需预处理和由迭代法(1),产生的迭代方法(2)和(5),产生的迭代方法(16)解决了预处理系统。
通过这种方式,该系统将表现好,我们希望找到的解决BVP (29日)在计算时间比nonpreconditioned gmr。消费时间为此给出的结果表1。我们应该注意,在这个测试被选为初始近似基础上(18),是th对角的。
从表是显而易见的12000年之后,nonpreconditioned gmr甚至无法收敛的迭代步骤,而所需的精度可以达到使用预处理。的最佳时间,打败所有其他方法来自新计划(16)。左边的预处理系统产生的(16),显示(16)-PGMRES可靠解决线性坏心肠的系统。
注意PGMRES报道的时间是整个构造初始矩阵,获取预调节器预先处理和解决系统gmr。

实验3。为了比较著名的预调节器从新方法获得预调节器的文学造成不完全LU分解(1),我们注意解决线性稀疏系统使用BiCGSTAB维度的841年。矩阵选择从MatrixMarket数据库一个= ExampleData["矩阵”、“YOUNG1C”),而右手边向量。的解决方案是。图4表示矩阵的情节。
左边的预处理系统使用舒尔茨,KSM,该方法的点以及著名的预处理技术ILU0,ILUT,和ILUTP已测试,而初始矢量选择命令的情况下自动的吗MATHEMATICA 8。消费时间比较的结果为不同的公差(残余规范)列在图5。
注意,经过一系列的迭代,计算预调节器Schulz-type方法可能是密集。像之前一样,我们必须选择一个策略来控制预调节器的稀疏。这可以通过设置完成 ,在我们获得近似逆。

5。结论

在这项工作中,我们开发了一个在inverse-finding复杂的矩阵迭代法属于知名Schulz-type方法的类。

我们提出了一个更简单的形式的最近发表的方法(3(形式)5)和分析证明了该方案具有三阶收敛性。

我们已经表明,提出的方法(16)达到十阶收敛。我们另外讨论(16)可以被认为是左派和右派在一定条件下预处理系统。新方案的功效说明使用计算机编程包MATHEMATICA数值。

一个可能会注意到,每一步获得的近似逆算法(5)或(16)也可以考虑作为预调节器,以减少系统的病态,让用户应用迭代方法如gmr或BiCGSTAB在解决大型稀疏线性代数方程组。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。