文摘
它表明中点迭代法与体积收敛速度可以应用寻找校长矩阵的平方根。使用一个单位矩阵符号函数和矩阵的平方根,我们构造一个中点方法的变体在附近渐近稳定的解决方案。最后,说明了提出方法的应用在解决矩阵微分方程。
1。入门笔记
让我们考虑一个标量函数和一个矩阵并指定是一个矩阵相同的尺寸的函数。海厄姆(1表明,如果光谱的定义,然后一个具有以下属性的矩阵函数:(我) 通勤与;(2) ;(3) ;(iv)的特征值是,在那里的特征值;(v)如果通勤与,然后通勤与。
在这篇文章中,我们感兴趣的是数值计算矩阵的平方根,这是最基本的矩阵与潜在的应用程序功能。一个例子涉及矩阵的平方根的计算出现在半定规划算法(2]。使用线搜索算法的步长计算,包括计算独特的对称正定(SPD)根社民党序列矩阵,其中每个矩阵的不同。也就是说,社民党和社民党平方根的,一个希望找到社民党平方根的,在那里很小。这是必须要做到的反复每次都略有变化。
众所周知,(3]有一个平方根当且仅当在提升的整数序列定义为 没有两个是相同的奇数。
在一个矩阵的平方根,校长平方根的有用性在理论和应用中都是杰出的。让没有特征值(封闭负实轴)。有一个独特的平方根的所有的特征值在于打开正确的半平面,这是一个基本矩阵的函数(4]。我们将作为校长的平方根和写。注意,如果是真实的,那么是真实的。
Bjorck和Hammarling5)开发了一种数值方法主要通过舒尔平方根形式。在所有可用的数值程序中,牛顿的矩阵方法和它的变体已经收到许多景点,以解决这个问题。更准确地说,著名的牛顿法应用于矩阵方程 将产生以下(简体)矩阵迭代法(4]: 为合适的初始值,其中矩阵的交换性和一直认为尽可能简化过程。不幸的是,这种迭代变得不稳定在大多数情况下所指出的海厄姆(4]。
为了补救,Denman和海狸(DB) (6)提出了一个收敛变形牛顿平方矩阵法(3),是数值稳定的在下面: 该方法生成的序列,这是收敛的。为进一步阅读,你可以参考(7,8]。
在下一节中,我们首先应用下列中点体积收敛方案Frontini和索尔(给标量非线性方程组9]) 获得一个新的迭代方案的数值计算。节2,我们理论上证明该方案是在一些适当的条件下收敛。中点的一种变体规则(5)提出了提供一个稳定的迭代寻找主要矩阵的平方根和校长逆矩阵的平方根。我们注意到我们的结果在这个工作有一些扩展(10]。为了得到一个高阶的新版本中点的方法计算平方根,我们使用的一些方法在文献中并获得一个新的方案。部分3致力于讨论矩阵的应用方法在解决一些例子。最后,部分4本文的结论。
2。中点的扩展方法
多点非线性动力学等(5)属于类非线性标量方程的最有效的方法。最近在研究和开发的利益出现这种类型的方法从他们的能力克服理论极限的一点关于融合顺序和计算效率的方法。
让我们应用(5)求解非线性矩阵方程(2)。我们得到以下方案: 考虑到初始近似是下面的形式: 或 在和是合适的阳性参数以保证收敛。的推导(6)可能还不清楚。因此,我们给出一个Mathematica编写的代码获取它尽快在一个符号的语言如下:
ClearAll(“全球“*”)
f(间):= X ^ 2 -;
Y = X - f (X) / (2 f (X)) / / FullSimplify;
FullSimplify [X - f (X) / f ' [Y]]
引理1。让是一个非奇异的复杂矩阵没有特征值。如果是有效的,那么的序列(6),一个人 持有,。
证明。用归纳法证明。让的初始值(7)或(8);那么很明显,。我们归纳假设和并显示 注意,从,我们获得。这就完成了证明。
让是一个度量空间。我们说一个序列点的收敛于一个点的如果 收敛性能将取决于距离的选择,但对于一个给定的距离序列的收敛速度特点是序列的收敛速度的非负数字(11]。接下来,我们调查的收敛速度(6)。
定理2。让没有特征值。如果初始近似是根据规则(7)或(8),然后迭代法(6)收敛于本金与当地三阶收敛(不考虑舍入误差)。
证明。使用的方法10),我们现在证明的收敛阶(6)。如果被认为是对角化的和非奇异的,然后呢
在哪里是一个满秩矩阵。除了假设。从迭代法(6),我们得到
是真正的块对角矩阵的顺序。注意,如果是一个对角矩阵,那么都是连续的吗也是对角。递归关系13)等价于标量方程如下:
序列是真的,很明显吗
然后这一事实收益率。因此,
使用转换的,我们有
规范(17),我们获得
因此,该方法(6)拥有当地的三阶收敛。方程(11)所示,在度量空间中,如何理解(收敛17)。此外,因为没有真正负的特征值,所以中点的方法计算主矩阵的平方根。
我们的话,所有迭代由(6当函数)是定义良好的不为零的所有非负数字吗。事实上,初始值确定一个独特的实数为每一个。一般来说,定义良好意味着一些对象被描述任意选择,但任意选择没有重大影响。因此,使用最初的选择和,序列是定义良好的。
假设下的定理2。(不考虑舍入误差),当非奇异的,倾向于。这意味着倾向于,也就是校长逆矩阵的平方根。
不幸的是,计划(6)已被证明是不稳定的,当输入矩阵的大小高或者是坏脾气的。类似的推理在[4可以揭示这一点上使用。因此,(6对称正定矩阵)只能用于与极端状态良好的结构。
Iannazzo (12)表明,如果是单位矩阵,矩阵的牛顿法收敛吗与模量特征值小于1,真正积极的部分。可以推导出类似的结果(6)。
以达到三阶收敛的中点的方法在解决(2)以及获得一个稳定的序列,我们使用一个事实(身份)在下面: 这表明一个重要的关系矩阵的平方根和矩阵符号函数。
我们的话,(19)有一个额外的重要优势是逆矩阵的平方根的计算和矩阵的平方根在同一时间。
应用(5解矩阵方程收益率互惠的形式 这种方法类似于哈雷的方法求解中的应用(见,例如,13,14)计算矩阵满秩矩阵的迹象 和融合阶段 很容易推断出下面的收敛定理(20.)。
定理3。让没有特征值。如果是(21),然后迭代法(20.)收敛于(22)。
证明。这个定理的证明是基于矩阵的对角化属性标志。它是因此省略。
证明。让被介绍的数值摄动th迭代(20.)。接下来,一个 在这里,我们执行一个一阶误差分析;也就是说,我们正式忽略二次等术语。我们有 (下面的身份将被用于满秩矩阵吗和矩阵): 进一步简化收益率 在哪里,,对于足够大,我们已经考虑了。经过一些代数操作和使用,我们得出这样的结论: 应用(27)递归和一些代数运算后, 从(28),我们可以得出结论,在迭代摄动是有界的。因此,序列由(20.)是渐近稳定的。
迭代(20.)要求每个计算步骤和获得一个矩阵求逆和在大多数实际问题的兴趣。的实现(20.)计算主要根需要一把锋利的关注以节省很多精力。自中间矩阵都是稀疏(至少一半的条目为零),那么可以直接使用稀疏近似技术来节省内存和时间。
2.1。小说的中点
的分析方法从应用中点的方法是有限的利益,因为它得到迭代方法,一般是不稳定的。立方收敛的方法推导出通过矩阵符号函数(20.)是更有用的。然而,这个方法有点不具有挑战性,因为它可能是一个特例家庭的迭代方法由于肯尼和到来15)和来自(显式)理性Pade逼近。这些方法在海厄姆(调查1,5.4节)和应用程序在6.7节讨论矩阵的平方根。一般的结果这个家庭的稳定性和收敛速度的方法给出了定理6.11和6.12的1]。
继续向前,我们回想一下,最近在[作者16)提出了一个高效和有趣的变体中点非线性方程组和扩展方法极分解,而作者的17发达,变异矩阵符号函数如下: 在哪里。
定理5。让没有特征值。如果一个人使用(21),然后迭代法(29日)收敛于(22)。
证明。这个定理的证明类似于定理的证明3。
证明。这个引理的证明类似于引理的证明4。
注意,在一般的满秩矩阵的逆 的形式 事实上,所有矩阵在(29日)的形式 这本身可能有助于减少矩阵求逆问题的计算时间。
的实现(29日)来计算和对于一个方阵没有特征值在数学编程方案,提出了如下:
sqrtMatrix2(现代、maxIterations_ tolerance_]
:=模块(k = {0}, {n, n} =维度[A];
Id = SparseArray [{{i_ (i_} - > 1。}, {n, n});
A1 = SparseArray@ArrayFlatten [{{0},
{Id, 0}});
Y (0)= A1; R (0]= 1;
Id2 = SparseArray [{{i_ (i_} - > 1。},
{2n, 2n}]; [k < maxIterations & & R [k]
> =宽容,
Y2 = SparseArray [Y [k] .Y [k]];
l1 = SparseArray [Y [k]。7Id2 + Y2)。(Id2 + 3Y2)];
l2 = SparseArray@ArrayFlatten [{{0,
Inverse@l1 [[n + 1;; 21;;n]]},
{Inverse@l1 [[1;; n, n + 1;; 2n]], 0}});
Y (k + 1) = SparseArray [(Id2 + 18Y2
+ 13Y2.Y2) .l2]; R (k + 1) =规范[Y [k + 1] - Y [k],
∞)/规范[Y (k + 1),
∞);k + +]; Y [k]];
上述three-argument函数sqrtMatrix2计算的主要矩阵及其逆平方根同时通过输入矩阵的三个参数”没有特征值”、“迭代的最大数量(29日)可能需要”,宽容停止终止的无穷范数。很明显sqrtMatrix2 [maxIterations,宽容][[1;;n, n + 1,, 2 n]]和sqrtMatrix2 [maxIterations,宽容][[n + 1,, 2 n 1;; n]]给和分别在输入矩阵的大小吗。
2.2。扩展矩阵th根
计算在某些计算矩阵会产生的根源。独特的矩阵这样,(段)和其特征值 被称为校长根和用。
许多作家研究的方法计算矩阵的根。方法通常是基于迭代或舒尔标准形式;见,例如,(18)和引用。一般来说,数量th根对于一个给定的矩阵可能是零,有限或无限。
在本节中,我们提供的组合算法7.9 (1和我们的方法(29日)计算主要矩阵在下面。
鉴于没有特征值在,计算,下面的行使用(29日):(1)计算由(29日)和组;(2)集,在那里任何上限吗(例如,);(3)使用牛顿迭代耦合(35),来计算 (4) ,在哪里 当,。
3所示。应用程序
我们测试了方法(29日)用PM1使用Mathematica 8机精度(19]。除了这些计划,几种迭代方法(3),(4),(20.)用点和煤泥最初开发的方法20.基于循环减少算法(CR)被认为是如下: 该方法生成的序列,这是收敛的。请注意,(36)只计算而(4),(20.)和(29日)生产和。
注意点等于哈雷的三阶方法(14]。
计算收敛的计算顺序主要矩阵的平方根矩阵迭代可以估计 在,,最后三个近似寻找吗在融合阶段。
例7。作为第一个例子,我们考虑一个矩阵 而它的特征值。校长矩阵的平方根是
我们比较不同的数值方法和报告结果的行为对于所有规范涉及停止准则 在表1。数值结果与理论相协调方面的部分2。
微分方程是一个未知的一个数学方程相关的一个或多个变量的函数的值函数本身及其衍生物的各种命令。一个矩阵微分方程包含不止一个函数叠加与一个矩阵向量形式功能相关的衍生品。我们现在展示的应用新的求解矩阵微分方程解算器。
示例8。在该测试中,我们比较的行为不同的方法求解矩阵微分方程如下:
它的精确解可以表示为在哪里
和稀疏的社民党矩阵在数学定义如下:
= SparseArray [{{i_ (i_} - > 10, {i_, j_} /;
Abs (i j) = = 1 - > 5。}, {n, n}];
有趣的点在这个例子中,我们都需要和同时,这为应用(29日)。我们比较不同的方法在图的行为1寻找校长矩阵的平方根。该方法的结果是有前途的迭代的数量。图1显示,最快的方法是(29日),而牛顿矩阵法是数值不稳定,这使得它第七个迭代发散。
请再次注意,DB的方法只有方法相比,我们的方法PM1能够找到同时富有成效的解决矩阵微分方程(41)。由于页面限制,我们无法呈现的最终解决方案(41)明确。显然,使用获得本金矩阵的平方根和校长逆矩阵的平方根产生最终的解决方案。
4所示。结论
在这篇文章中,我们已经开发和讨论了迭代root-finding中点的方法解决一些特殊和重要的矩阵问题。我们讨论了在什么条件下主要的获得方法是收敛矩阵的平方根,即当没有真正负的特征值。
此外,一个中间点的渐近稳定变体方法使用一个单位矩阵的平方根与矩阵符号函数派生。我们进行数值实验,报告结束时,显示了过程是一个可靠的工具,用于计算的主要矩阵及其逆平方根。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者想要记录他们诚挚的感谢他们的评论有很大帮助的裁判增强文章的可读性。