文摘

我们学习的规律准则3 d向列液晶流在各向异性的框架下勒贝格空间。更准确地说,我们证明了一些充分条件的速度和速度在一个方向上的分数阶导数。

1。介绍

本文致力于三维向列液晶流动的规律标准: 与初始数据 在哪里速度场,代表了向列液晶取向的宏观平均场,和是标量的压力。符号表示一个矩阵的给出的条目为;在这里。自粘性常数的大小不扮演重要角色在我们的证据,为简单起见,我们假设所有这些积极的常数之一。

液晶的流体动力学理论建立了修建和莱斯利1- - - - - -4];模型(1Ericksen-Leslie)是一个简化的系统模型,首次引入了林(5),和一个最重要的作品是由林和刘6];更准确地说,他们建立了全球存在弱经典解决方案和解决方案。最近,刘等人在7]建立了规律标准(1)如下: 你可以参考一些有趣的和重要的规律性的标准向列液晶流由许多作者研究(见,例如,8- - - - - -13),在其中的引用)。当是常数,系统(1)成为了知名的n - s方程。解决3 d NS方程的规律已经被广泛的研究在过去的五十年;见,例如,(14- - - - - -22)等等。本文的目的是建立一个新的规律准则提供了充分条件的速度或速度的分数阶导数的框架在一个方向上各向异性勒贝格空间。

在整个论文中,勒贝格的规范空间用并表示函数的方向导数通过,象征,,,属于置换群。表示

定理1。让与初始数据,让两人是液晶的稀溶液流(1)- (2)对于一些。如果满足 然后可以超越。

定理2。让与初始数据,让两人是液晶的稀溶液流(1)- (2)对于一些。如果满足 然后可以超越。

推论3。假设下的定理2如果我们解决,那么的充分条件

备注4。与相应的结果(7),很明显,推论的结论3是一个改进版的定理1.1 (7在某种意义上。

2。定理的证明1和2

在本节中,我们将证明定理1和2。为了方便起见,我们首先回忆以下三维水列夫和Ladyzhenskaya不等式在整个空间(见,例如,(23- - - - - -25])。

引理5。让,,,。有认为

定理的证明1。假设的最大间隔局部光滑解的存在。如果,然后没有证明;另一方面,,我们的策略是显示 在假设(5)。因此,时间间隔不能最大间隔的存在,导致矛盾。
我们乘(1)₁通过和积分同样,用(1)₂通过和积分然后通过添加两个以上结果和使用这一事实,我们获得 在这里我们使用div的事实和;在这里表示一般的内积,这意味着
此外,我们用(1)₂通过和积分并获得 这意味着
第一个方程(相乘1)和集成。同样,通过在双方的第二个方程(1),通过得到的方程乘以,通过整合上面,然后通过添加两个结果,div divergence-free条件考虑,我们获得
在下面,我们建立的界限第一项;由于引理5和使用年轻的不平等,我们有 对于第二项,类似的估计,我们有 的术语,使用持有人不等式,年轻的不等式,(13),有 替代上面的估计(15)- (17)(14),我们得到 积分(18)从0到,使用持有人不等式和年轻的不平等,一个
最后,应用Gronwall不等式和使用条件(5),然后可以超越。这就完成了定理的证明1。

定理的证明2。当结合定理1和使用以下嵌入定理,我们可以得到的结论 当,我们的策略是显示 是一个充分条件。我们可以验证积分项满足条件的定理1与。应用引理5、持有人不等式和插值定理,可以得出这样的结论:, 在哪里与和我们使用的事实意味着。使用夹的不平等,一个 在哪里。
根据这一事实和,我们有 这与定理1提供所需的定理的结果2。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的部分NNSFC(批准号11271381)、中国、973项目(批准号2011 cb808002),中国广东省育苗(没有。2013 lym0081),中国广东省NSF(没有。S2012010010069),韶关(没有科学和技术基础。313140546),韶关大学的科学基金会。