文摘
本研究致力于研究规律的微极流体方程弱解的判据。微极流体方程的弱解证明是光滑的当压力满足以下增长条件的乘数空间,。洛伦兹空间和前面结果Morrey空间明显改善。
1。介绍
考虑柯西问题的三维(3 d)微极流体方程和单元粘度 与初始条件有关: 在哪里,是未知的速度矢量场和microrotation向量场。是未知的标量场的压力。和代表规定的初始数据速度和microrotation字段。
微极流体方程引入Eringen [1)是一种特殊的非牛顿流体模型(见[2- - - - - -6])与粘性不可压缩n - s模型耦合,microrotational效果,microrotational惯性。当microrotation被忽视或影响微极流体方程(1。1)减少不可压缩n - s流动(见,例如,7,8): 也就是说,n - s方程被视为微极流体方程的一个子类。
在数学上,有一个大文学存在,独特性和微极流体方程解的大时间行为(见[9- - - - - -15)和引用其中);不过,全球弱解的规律在三维情况下仍然是一个大的开放问题。因此它是有趣和重要的考虑弱的规律性的标准解决方案一定增长的一些假设条件下的速度和压力。
一方面,至于速度规律标准,通过Littlewood-Paley分解方法,董和陈16]证明弱解速度条件下的规律: 与 此外,结果是进一步提高了董、张(17在保证金的情况下:
另一方面,对于压力规律标准,元(18)调查了规律性的微极流体方程弱解的判据勒贝格空间和洛伦兹空间: 在哪里是Lorents空间(参见下一节的定义)。
最近,越南盾等。19)提高了微极流体的压力规律方程Morrey空间: 在哪里 此外,贾庆林等。20.)精制的规律性Morrey空间Besov空间: 与 也指一些有趣的结果牛顿和非牛顿流体方程的正则性条件(见[21- - - - - -27)和引用)。
本研究的目的是探讨压力规律准则的三维微极流体方程比勒贝格的乘数空间空间,洛伦兹空间,和Morrey空间。
2。预赛和主要结果
在本文中,我们使用的常量来表示可能会改变的。与表示一般的勒贝格空间和索伯列夫空间。表示的部分水列夫空间
考虑可测函数和定义勒贝格测度的 的设置。洛伦兹空间被定义为当且仅当
我们定义,齐次Morrey空间与规范有关
我们现在回忆的定义和乘子空间的一些性质。
定义2.1(见Lemarie-Rieusset [28])。为,空间被定义为的空间吗这样
根据上述定义的乘数空间,不难验证同质性属性。对所有
当,很明显,(见Lemarie-Rieusset [28]) 在哪里表示有界的同质空间意味着振荡与规范
特别是,以下嵌入(见Lemarie-Rieusset [28]) 适用。
为了国家我们的主要结果,我们回忆起微极流的弱解的定义(见,例如,Łukaszewicz [9])。
定义2.2。让,,。称为弱解的三维微极流(1。1)和(1。2),如果满足以下属性:(我) ;(2)方程(1。1)和(1。2)是有效的分布。
现在我们的主要结果如下。
定理2.3。假设,,的分布。假设是一个弱解的三维微极流体流(1。1)和(1。2)。如果压力满足对数生长条件: 那么弱解是常规的。
多亏了 很容易推断出以下标准压力规律的三维微极方程(1。1)和(1。2)。
推论2.4。的替代压力条件(2.10)下列条件: 定理的结论2。3适用。
2.5的话。根据嵌入关系(2。9),我们的结果显然很大程度上改善之前的结果(1。7)和(1。8)。此外,它似乎与Besov无与伦比的空间(1.10)。
2.6的话。此外,由于我们没有额外的增长条件microrotation向量场,定理2。3也是有效压力规律问题的三维n - s方程(见,例如,周29日,30.])。
3所示。定理的证明2。3
为了证明我们的主要结果,我们首先回忆以下地方存在性定理的三维微极流体方程1。1)和(1。2)。
引理3.1(见董et al。19])。假设和与的分布。那么存在一个常数和一个独特的强大的解决方案3 d微极流体方程(1。1)和(1。2),这样
通过当地存在的结果,(1。1)和(1。2),承认一个独特的强有力的解决方案最大时间间隔。符号的简单,我们可以假设最大时间间隔。因此,证明定理2。3,它仍然显示 这将导致下面的估计是派生的矛盾。我们现在开始按照这些参数。
第二个方程的内积(1。1),第三个方程(1。1),分别和分部积分,由此可见, 我们使用下面的身份由于速度场的散度自由属性:
此外,应用年轻的不平等,持有人不平等,和分部积分,我们有
结合上面的不平等,它遵循
为了估计的右边的上学期(3所示。6),散度算子第一个方程(1。1产生压力的表达式: 采用Calderon-Zygmund不平等和散度自由条件下的速度估计的压力:
因此,我们估计压力项 现在我们估计积分 右边的3所示。9)。年轻持有人不平等和不平等 我们使用以下插值不平等:
因此,结合上面的不平等,我们推导
此外,我们有右边的第二项(3.13)重写为 插入(3.14)(3.13应用Gronwall)和不平等,一个显示 这意味着
因此我们完成定理的证明2。3。