文摘

我们提出两个定理描述所有常规的集合点的结构和所有不规则的点的集合了这同胚可嵌入在一个流。结构定理证明的定理是同行的丑行和Terasaka。获得我们的结果,我们使用codivergence关系的属性。

1。介绍

在整个论文,表示一个这同胚飞机,取向保持同胚上本身没有固定的点。

对于任何序列子集飞机,我们定义莱姆比 所有点的集合这样,任何地段有共同点的无穷多元素序列。对于任何一个子集飞机,我们定义积极的限制设置 的上极限迭代的序列和消极的限制设置 的上极限序列。在假设下紧凑,Nakayama [1)证明

一个点被称为积极的不规则如果对于每一个约旦域包含在其内部,消极的不规则如果对于每一个约旦域包含在其内部,由约旦域我们指的是乔丹曲线的结合和约旦地区由(即。,the bounded component of)。一点不积极不规则据说积极定期。同样的,一个点不是消极的不规则消极的常规。这是积极的还是消极的不规则的点不规则的,否则它是常规的。

我们说一套是不变的如果。一个不变的地区据说是可平行的如果存在一个同胚这样 在哪里由公式给出。这翻译的定理,为每一个,存在一个并行的地区包含(见[2])。这意味着,这同胚看起来就像一个地方翻译。然而,其全球行为可能非常复杂(cf。3,4])。

对于任何,我们可以构造一个弧与端点和这样(见[5])。这样一个弧称为翻译弧。说,如果这引理翻译是一个弧,然后呢是一条直线的同胚的图像(见[2])。一组被称为翻译行。翻译不需要是一个拓扑线,由一个地方拓扑线我们的意思是一个闭集是一个同胚的形象的一条直线。

本和Terasaka6]证明了两个定理描述的结构这同胚。定理可以以下列方式制定。

定理1.1(见[6),第一个结构定理)。让成为了这同胚。然后,飞机最多分为三种两两不相交的集:,在那里或对于一个正整数,和。的集和组件的所有常规的集合点,这样每个是一个可平行的无限单连通区域,每个是一个单连通区域上满足条件为。一组是不变的,关闭,包括所有不规则的点。

定理1.2(见[6),第二个结构定理)。让成为了这同胚。然后,飞机最多分为三种两两不相交的集:,在那里或对于一个正整数,和。的集和组件的所有负面常规点的集合,每个是一个不变的单连通区域,可以装满一个家庭封闭集的翻译行吗,每个是一个单连通区域上满足条件为。一组是不变的,关闭,包括所有消极的不规则的点。

一组发生在上面的定理是集的结合单一的行和集群集。本和Terasaka [6显示许多属性描述奇异线之间的相互关系。此外,他们证明了所有奇异行至多可数。但是一组发生在上面的定理也可以包含集群点奇异线不属于任何奇异线。因此,获得的完整描述,这些集群的设置点的研究是必要的。对于任意这同胚,问题仍然是开放的。

在本文中,我们证明了同行的假设下的结构定理流是可嵌入的。由一个流,我们的意思是平面上的一组同胚本身的操作下作文满足下列条件:(1)这个函数是连续的,(2) 为,(3) 为,。我们说是可嵌入在一个流如果存在一个流这样。

2。Codivergence关系

在本节中,我们描述的规则和不规则的点集这同胚可嵌入在一个流使用codivergence关系由安德里亚(7]。

对于任何这同胚,codivergence关系定义在以下方式: 由一个弧 与端点和,我们的意思是一个同胚的形象令人满意的条件,,那里的拓扑诱导的拓扑。

事实证明,上面定义的关系是一种等价关系和假设可嵌入在一个流的每个等价类的关系是一个不变的单连通组(见[7,8])。

命题2.1。让成为了这同胚可嵌入在一个流。然后,所有常规的集合点等于工会内部的所有等价类的codivergence关系。

证明。首先,我们证明每一个点属于一个等价类的内部是常规的。通过室内的定义,存在一个约旦曲线包含在这样的观点属于约旦地区谁的边界=。在的主要定理的证明8约旦],它已经表明,对每一个领域一个等价类中包含不包含一个轨道作为。因此,和。
相反,如果一个点是常规的,那么存在一个约旦地区包含这样作为。自是弧连通,为每一个存在一个弧与端点,包含在。因此,满足条件作为。因此,约旦地区的每一个点属于同一等价类。因此,属于这个等价类的内部。
从上面的命题,我们立即获得以下。

推论2.2。让成为了这同胚可嵌入在一个流。然后,所有不规则的集合点等于联盟的所有等价类的边界codivergence关系。

3所示。结构的常规的集合点

在本节中,我们显示一个应用程序的属性codivergence关系来描述所有常规的集合点了这同胚在一个流是可嵌入的。

命题3.1。让成为了这同胚可嵌入在一个流。让是一个常规的观点。然后,每个点的轨迹是一个常规的观点。

证明。让是一个常规的观点。表示由包含的等价类。由命题2。1,我们有。因此,轨迹包含在,因为每个等价类的内部是不变量在任何元素的流动(见[9])。使用命题2。1再一次,我们获得每个元素的轨迹是一个常规的点。
在定理1.1描述的结构这同胚,有三种类型的设置:,,。在假设这同胚可嵌入在一个流,我们只有两种类型的设置:和。然而,组类型不能发生。

定理3.2。让成为了这同胚可嵌入在一个流。然后,飞机最多分为两种两两不相交的集:,在那里或对于一个正整数,。的集组件的所有常规的集合点,这样每个是一个可平行的无限单连通区域。一组关闭,由所有不规则的点。

证明。相反,假设存在一个单连通区域的家庭发生在定理1.1。让我们解决一个点对于一些。然后,通过定理1.1,是一个常规点和存在一个吗,这样。
由命题3.1,每个点的轨迹是常规的。特别是,所有分属于弧的端点和包含在这个轨迹是常规。另一方面,弧必须包含一个不规则的点,因为和属于不同的组件和集的所有常规的点。
在本节中,我们注意到所有不规则的集合点的不变性(和所有普通的集合点)的每个元素流这样还可以获得的关系吗(见[10])。

4所示。结构的不规则的点的集合

在本节中,我们继续研究的结构的所有不规则点了这同胚可嵌入在一个流。

对于任何不规则的点,一组被定义为所有的十字路口和一组所有的交集,在那里是约旦域包含在其内部。一个不规则的点是强烈积极不规则如果,否则它是弱积极不规则。同样的,是强烈的负面不规则如果,否则它是弱负不规则。我们说是强烈的不规则如果它是强烈积极的不规则或强烈的消极的不规则。否则,一个不规则的点据说是弱不规则。

Nakayama [10)已经证明,对于任何这同胚的子集包括所有强烈的不规则的点没有内部点。的情况下可嵌入在一个流程中,准备好了吗不变的拓扑线是一个家庭的结合,因为每个等价类的边界是工会的轨迹流(见[9])。但这些轨迹并不奇异的丑行和Terasaka行。工会的奇异行等于所有强烈的不规则的集合点,,此外,集群的奇异点行不属于任何奇异线弱不规则点(见[6])。

描述的集合,第一个prolongational极限集的概念可以被使用。对于任何一个点,我们定义第一个prolongational限制设置的作为,在那里

对于一个,我们把 (见[11])。从上面的定义,我们获得 对所有。因此,

命题4.1。让成为了这同胚可嵌入在一个流。让是一个强烈的不规则的点。然后,。

证明。不失一般性,我们假设。我们将显示。让。对于每一个正整数,我们表示球中心和半径并通过球中心和半径。解决一个。然后,。的定义,存在序列和这样,,,作为。因此,存在一个这样和。把和。因此,我们建造序列和这样 对于每一个。因此,,和作为。因此,。

从上面的命题,我们获得以下。

推论4.2。让成为了这同胚可嵌入在一个流。然后,所有不规则的集合点等于第一个prolongational极限集的闭包。

证明。由命题4.1,如果是一个强烈的不规则的点呢。如果是一个弱不规则的点,那么它属于关闭所有强烈的不规则的点的集合(见[6])。因此,。关闭第一个prolongational极限集的飞机不能包含任何常规点,因为每个属于我们内部的一个等价类(见[12])。
使用的主要定理[13),我们更换区域发生在定理3.2通过大可平行的无限单连通区域这样的结合所有这些地区包含所有弱不规则的点的集合。强烈的不规则的点可以属于一个地区或一组。此外,对于每一个单一的行中包含的边界区域,最多只能存在一个单一的行包含在该地区(见[14])。因此,第二个结构的对应定理可以按照以下方式。

定理4.3。让成为了这同胚可嵌入在一个流。然后,飞机最多分为两种两两不相交的集:,在那里或对于一个正整数,。的集是并行的无界单连通区域。一组是封闭的,包含在吗,至多可数的联合家庭流动的轨迹。每一个轨迹包含的边界地区。

使用上面所描述的分解定理,我们可以获得关于啤酒的结果概括同胚由Beguin和Le Roux [15]。

5。最后的评论

让我们考虑一个平面的一点紧化到球体。然后,我们可以扩展任何这同胚通过把一个同胚的球体。让我们假设流是可嵌入的。然后,飞机上的所有轨迹是闭集,因为我们有作为(见[7])。因为关闭每个轨迹包含驻点的流,流的相图限制在约旦地区包含分为部门(见[16),页161 - 174)。

指数等于 在哪里是椭圆的数量行业和是双曲行业的数量(表达式给出了整数,因为椭圆的数量的不同部门和双曲领域甚至)的数量。Lefschetz-Hopf定理应用到我们的例子中,我们获得的指数平稳点= 2,因为球的欧拉示性数= 2。的情况下是一个翻译,有两个椭圆两个部门和抛物型行业。的情况下是啤酒同胚,有三个椭圆,双曲线部门和四个抛物线行业。

如果一个约旦域包含在一个椭圆的部门,然后对于每一个都包含在这个领域。然而,这个属性并不保持抛物线和双曲线部门。的情况下是一个翻译,为每个约旦地区包含和每个约旦域包含在一个抛物线领域,存在一个这样不包含在。因此,即使在情况下是一个翻译,定点不稳定的以下定义:一组不变被称为李雅普诺夫稳定如果乔丹域包含有一个约旦域包含这样对所有(见,例如,17])。

的一个子集所有同胚的度量空间配备的一致收敛拓扑子集紧凑,我们说是结构稳定如果存在一个社区的在这样,每个是拓扑共轭。如果和是所有的集合了这同胚,然后没有这是结构稳定。此外,每个拓扑共轭性类的密度(见[18])。

Le Roux [19]给出一个分类的拓扑共轭性类流动的轨道的叶子给定啤酒叶理的飞机。它可能是有趣的研究这流动的结构稳定性同胚。一个流据说是结构稳定如果对任何流在附近的有一个同胚发送的轨道的轨道保持轨道的方向。这意味着相流动的画像是同胚的。