2.1。Subspace-Based方法
考虑以下<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
阶离散时间线性状态空间系统<我nl我ne- - - - - -formula>
k米米l:米我>
=米米l:米o>
0 1米米l:米n>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
N米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
(
21]:
(1)米米l:米text>
x米米l:米我>
k米米l:米我>
+米米l:米o>
1米米l:米n>
=米米l:米o>
一个米米l:米我>
x米米l:米我>
k米米l:米我>
+米米l:米o>
w米米l:米我>
k米米l:米我>
,米米l:米o>
y米米l:米我>
k米米l:米我>
=米米l:米o>
C米米l:米我>
x米米l:米我>
k米米l:米我>
+米米l:米o>
v米米l:米我>
k米米l:米我>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
x米米l:米我>
k米米l:米我>
是一个<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
1米米l:米n>
在离散时间状态向量的定义<我nl我ne- - - - - -formula>
t米米l:米我>
k米米l:米我>
(<我nl我ne- - - - - -formula>
k米米l:米我>
=米米l:米o>
1、2米米l:米n>
,米米l:米o>
…米米l:米o>
,米米l:米o>
N米米l:米我>
);<我nl我ne- - - - - -formula>
y米米l:米我>
k米米l:米我>
是一个<我nl我ne- - - - - -formula>
l米米l:米我>
×米米l:米o>
1米米l:米n>
输出数据的向量;同时,<我nl我ne- - - - - -formula>
一个米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
B米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
C米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
D米米l:米我>
系统矩阵的大小吗<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
米米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
l米米l:米我>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
,<我nl我ne- - - - - -formula>
l米米l:米我>
×米米l:米o>
米米米l:米我>
。除此之外,<我nl我ne- - - - - -formula>
v米米l:米我>
k米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
w米米l:米我>
k米米l:米我>
是<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
1米米l:米n>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
l米米l:米我>
×米米l:米o>
1米米l:米n>
向量的过程和测量噪声,分别应该是白色与零均值高斯分布和联合协方差矩阵
22]
(2)米米l:米text>
E米米l:米我>
w米米l:米我>
p米米l:米我>
v米米l:米我>
p米米l:米我>
w米米l:米我>
问米米l:米我>
T米米l:米我>
v米米l:米我>
问米米l:米我>
T米米l:米我>
=米米l:米o>
问米米l:米我>
年代米米l:米我>
年代米米l:米我>
T米米l:米我>
R米米l:米我>
δ米米l:米我>
p米米l:米我>
问米米l:米我>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
E米米l:米我>
·米米l:米o>
是期望算子,而<我nl我ne- - - - - -formula>
δ米米l:米我>
p米米l:米我>
问米米l:米我>
克罗内克符号。
这里介绍一些符号用于子空间算法。一块汉克尔矩阵输出数据是第一考虑,可以划分为(<我nl我ne- - - - - -formula>
p米米l:米我>
)和未来(<我nl我ne- - - - - -formula>
f米米l:米我>
)输出如下:
(3)米米l:米text>
Y米米l:米我>
0米米l:米n>
∣米米l:米o>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
y米米l:米我>
0米米l:米n>
y米米l:米我>
1米米l:米n>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
2米米l:米n>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
j米米l:米我>
⋮米米l:米o>
⋮米米l:米o>
⋮米米l:米o>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
2米米l:米n>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
1米米l:米n>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
2米米l:米n>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
j米米l:米我>
⋮米米l:米o>
⋮米米l:米o>
⋮米米l:米o>
y米米l:米我>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
y米米l:米我>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
⋯米米l:米o>
y米米l:米我>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
2米米l:米n>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
0米米l:米n>
∣米米l:米o>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
Y米米l:米我>
我米米l:米我>
∣米米l:米o>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
。米米l:米o>
在这里,<我nl我ne- - - - - -formula>
我米米l:米我>
块的行<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
应该大于系统的顺序是,<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
——以识别系统;同时,数量<我nl我ne- - - - - -formula>
j米米l:米我>
列通常是选择=<我nl我ne- - - - - -formula>
N米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
1米米l:米n>
,在那里<我nl我ne- - - - - -formula>
N米米l:米我>
是时间样本的数量。以同样的方式(
3),块汉克尔矩阵测量噪声可以定义如下:
(4)米米l:米text>
V米米l:米我>
0米米l:米n>
∣米米l:米o>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
V米米l:米我>
p米米l:米我>
V米米l:米我>
f米米l:米我>
,米米l:米o>
W米米l:米我>
0米米l:米n>
∣米米l:米o>
2米米l:米n>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
W米米l:米我>
p米米l:米我>
W米米l:米我>
f米米l:米我>
。米米l:米o>
同时,<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
j米米l:米我>
矩阵的状态序列<我nl我ne- - - - - -formula>
X米米l:米我>
p米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
可以定义如下:
(5)米米l:米text>
X米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
x米米l:米我>
0米米l:米n>
x米米l:米我>
1米米l:米n>
⋯米米l:米o>
x米米l:米我>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
,米米l:米o>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
x米米l:米我>
我米米l:米我>
x米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
1米米l:米n>
⋯米米l:米o>
x米米l:米我>
我米米l:米我>
+米米l:米o>
j米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
。米米l:米o>
现在考虑以下<我nl我ne- - - - - -formula>
(米米l:米o>
l米米l:米我>
我米米l:米我>
)米米l:米o>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
所谓扩展可观测性矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
(米米l:米o>
l米米l:米我>
我米米l:米我>
)米米l:米o>
×米米l:米o>
(米米l:米o>
l米米l:米我>
我米米l:米我>
)米米l:米o>
块托普利兹矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
H米米l:米我>
我米米l:米我>
w米米l:米我>
:
(6)米米l:米text>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
C米米l:米我>
C米米l:米我>
一个米米l:米我>
C米米l:米我>
一个米米l:米我>
2米米l:米n>
⋮米米l:米o>
C米米l:米我>
一个米米l:米我>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
1米米l:米n>
,米米l:米o>
H米米l:米我>
我米米l:米我>
w米米l:米我>
=米米l:米o>
d米米l:米我>
e米米l:米我>
f米米l:米我>
0米米l:米n>
0米米l:米n>
C米米l:米我>
0米米l:米n>
⋮米米l:米o>
⋱米米l:米o>
⋱米米l:米o>
C米米l:米我>
一个米米l:米我>
我米米l:米我>
- - - - - -米米l:米o>
2米米l:米n>
⋯米米l:米o>
C米米l:米我>
0米米l:米n>
。米米l:米o>
通过考虑(
1)和(
3)- (
6),下面的矩阵方程可以推导出过去和未来的部分,分别是(
16]:
(7)米米l:米text>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
p米米l:米我>
+米米l:米o>
H米米l:米我>
我米米l:米我>
w米米l:米我>
W米米l:米我>
p米米l:米我>
+米米l:米o>
V米米l:米我>
p米米l:米我>
,米米l:米o>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
=米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
+米米l:米o>
H米米l:米我>
我米米l:米我>
w米米l:米我>
W米米l:米我>
f米米l:米我>
+米米l:米o>
V米米l:米我>
f米米l:米我>
。米米l:米o>
子空间方法背后的关键思想是确定扩展的可观测性矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
,进一步系统矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
一个米米l:米我>
。该策略在于预测未来输出的行空间<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
在过去的行空间输出<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
,如下所示:
(8)米米l:米text>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
T米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
T米米l:米我>
+米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
(米米l:米o>
·米米l:米o>
)米米l:米o>
+米米l:米o>
表示Moore-Penrose伪逆。通过考虑(
7),该收益率
(9)米米l:米text>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
+米米l:米o>
H米米l:米我>
我米米l:米我>
w米米l:米我>
W米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
+米米l:米o>
V米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
。米米l:米o>
程序能使人消除噪音的规定;据悉,的行空间<我nl我ne- - - - - -formula>
W米米l:米我>
f米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
V米米l:米我>
f米米l:米我>
垂直的行空间吗<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
当样本数量的增加无穷。证明这句话是在考虑(
2)[
22]。因此,状态向量序列<我nl我ne- - - - - -formula>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
属于联合行空间<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
;也就是说,
(10)米米l:米text>
lim米米l:米我>
N米米l:米我>
→米米l:米o>
∞米米l:米我>
米米l:米o>
1米米l:米n>
N米米l:米我>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
。米米l:米o>
因此,一个
(11)米米l:米text>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
≈米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
。米米l:米o>
换句话说,存在一些扩展的可观测性矩阵之间的直接连接<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
和矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
这应该是众所周知的测量输出信号(
23]。为了实用的目的,一个奇异值分解)<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
/米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
通常被认为是如下:
(12)米米l:米text>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
=米米l:米o>
U米米l:米我>
1米米l:米n>
U米米l:米我>
2米米l:米n>
年代米米l:米我>
1米米l:米n>
0米米l:米n>
0米米l:米n>
0米米l:米n>
V米米l:米我>
1米米l:米n>
T米米l:米我>
V米米l:米我>
2米米l:米n>
T米米l:米我>
≃米米l:米o>
U米米l:米我>
1米米l:米n>
年代米米l:米我>
1米米l:米n>
V米米l:米我>
1米米l:米n>
T米米l:米我>
,米米l:米o>
在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
年代米米l:米我>
1米米l:米n>
是一个<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
对角矩阵的组件<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
最大的奇异值<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
/米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
,而<我nl我ne- - - - - -formula>
U米米l:米我>
1米米l:米n>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
V米米l:米我>
1米米l:米n>
是<我nl我ne- - - - - -formula>
(米米l:米o>
l米米l:米我>
我米米l:米我>
)米米l:米o>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
和<我nl我ne- - - - - -formula>
j米米l:米我>
×米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
正交向量的矩阵。换句话说,它是假定在这里<我nl我ne- - - - - -formula>
r米米l:米我>
一个米米l:米我>
n米米l:米我>
k米米l:米我>
(米米l:米o>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
/米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
)米米l:米o>
=米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
。假设矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
满列秩;也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula>
r米米l:米我>
一个米米l:米我>
n米米l:米我>
k米米l:米我>
(米米l:米o>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
)米米l:米o>
=米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
当然,这是正确的因为<我nl我ne- - - - - -formula>
N米米l:米我>
≫米米l:米o>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
。因此原来的列空间<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
几乎是由第一个张成的空间的一样吗<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
左奇异向量矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
Y米米l:米我>
f米米l:米我>
/米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
,也就是那些与它有关<我nl我ne- - - - - -formula>
2米米l:米n>
n米米l:米我>
最大奇异值。
从(
11)和(
12),有<我nl我ne- - - - - -formula>
Γ米米l:米我>
我米米l:米我>
X米米l:米我>
f米米l:米我>
/米米l:米o>
Y米米l:米我>
p米米l:米我>
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。因此估计的扩展可以被定义为可观测性矩阵<我nl我ne- - - - - -formula>
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在哪里<我nl我ne- - - - - -formula>
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满秩矩阵,<我nl我ne- - - - - -formula>
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是所谓的实验扩展可观测性矩阵,由输出测量值。