SP. 科学规划 1875-919x. 1058 - 9244 后维 10.1155 / 2020/6458576 6458576 研究文章 一种新的聚类算法及其在地下水水质评价中的应用 Vo-Van T. 1 nguyen-hai. 一个。 2 泰红 M. V. 2 https://orcid.org/0000-0003-2635-5371 Nguyen-Trang T. 3. 4 Gomariz 弗朗西斯科 1 自然科学学院 大学可以 芹苴市 越南 2 环境与资源研究所 越南国立大学 胡志明市 越南 vnu.edu.vn 3. 计算数学与工程分工 计算科学研究所 敦德敦大学 胡志明市 越南 tdtu.edu.vn 4 数学与统计学院 敦德敦大学 胡志明市 越南 tdtu.edu.vn 2020 7 3. 2020 2020 09. 10. 2019 07. 01. 2020 04. 02. 2020 7 3. 2020 2020 版权所有©2020 T. VO-Van等。 这是在Creative Commons归因许可下分发的开放式访问文章，其允许在任何介质中不受限制地使用，分发和再现，只要正确引用了原始工作。

群集分析，它是将数据集分为组，使得类似的元件被分配给同一组，并且相同的元素被分配给不同的元件，已经广泛研究和应用于各种领域。聚类中的两个具有挑战性的任务是确定合适数量的簇和产生任意形状的簇。本文提出了一种新的“epsilon半径邻居”的新概念，其在簇形成过程中起着重要作用，从而自动地确定簇的数量和簇的形状。基于“epsilon半径邻居”，提出了一种新的聚类算法，其中epsilon半径值适应于当前分区中的每个簇的特征。最近，聚类已广泛应用于环境应用，包括地下水质量监测。然而，现有的研究简单地应用了传统的聚类技术，其中上述了两个具有挑战性的任务已经尚未解决。因此，本文采用了拟议的聚类算法，评估了越南巴里亚 - 王省Phu My Town的地下水质量。基准数据集的实验结果证明了所提出的算法的有效性。对于地下水的质量，新算法导致具有不同特性的四个集群。通过本申请，我们发现新算法可以为地下水管理提供有价值的参考信息。

 越南国立大学胡志明市（VNU-HCM） C2018-24-01 1.介绍

聚类分析是通过对数据进行分组，将相似的元素分配到同一组，将不同的元素分配到不同的组，从而发现数据集的底层结构[ 1- - - - - - 5］.近年来，随着大数据的发展，聚类分析已被广泛研究，并在各个领域，如物理学，生物学，经济学，工程学，社会学和数据挖掘的广泛应用。[ 6］.为了解决聚类问题，文献中已经提出了几种方法，包括：非主体聚类（<我talic> k则,<我talic> k-means ++，等。 7， 8[其他差异），分层聚类[ 9]，用于概率函数的聚类[ 1，或模糊聚类[ 10.］.在上述方法中，<我talic> k- 模拟是在各个领域中最着名和广泛应用的。然而<我talic> k-means算法及其扩展通常需要用户定义的集群数量，在实践中通常是未知的。(我)此外,<我talic> k-means算法构造球形簇，它是不适合于任意形簇。（二）上述两个问题迄今一直聚类的主要缺点，这导致了许多困难和挑战，在解决这个问题[ 6］.

对于（i）中，以确定簇的合适数量的，最常用的方法是运行聚类算法几次，每次用不同数目的簇，并且基于许多的内部效度的措施，如S-指数评估它们，F-指数，唐恩指数，以及解-贝尼指数[ 11.- - - - - - 14.］.根据[ 6］.此外，上述评估指标是基于距离的措施;因此，它们只能评估球面簇的质量，不能用于任意形状的簇。在[ 15.]，Mavridis等。提出的算法PFClust（参数免费聚类）。术语“参数不含”是指，该算法可以自动确定的簇的数目，而不需要任何用户定义的参数。为了这个目的，PFClust执行对许多子数据集被随机取样几次的凝聚算法。给定一个内部效度度量和对应于群集，合适的阈值，然后根据给定的内部措施的所有可能的聚类结果的分布中选择的数量设定的阈值的。相比于其它常规聚类算法，PFClust可以导致稍微更好的性能;然而，它重复采样和在几次评估给定的阈值的内部措施的处理。因此，PFClust更趋于费时和昂贵的比其他的聚类方法。参考 [ 16.- - - - - - 18.]通过组合荟萃统计优化方法和聚类来发现最佳分区。这些研究使用上述内部有效性措施作为需要优化以找到最佳聚类解决方案的客观函数。众所周知，遗传优化方法，例如遗传算法，导致极端计算成本，这降低了算法的效率。此外，尽管自动输出群集数量和分区，但成群质型优化方法需要一些自己的用户定义参数，这些参数对最佳解决方案产生影响。因此，避免指定群集数量的挑战，<我talic> k导致了指定许多其他参数的挑战。在[ 19.]，利用力的函数来控制物体的运动，实现自动聚类算法。距离越远，两个物体之间的力就越弱。最后，每个对象都收敛到它所属集群的中心。由于力的计算也需要一个用户定义的参数表示<我nline-formula> λ 的价值<我nline-formula> λ 也对集群的数量产生影响，试图克服[ 16.- - - - - - 18.]的意义不大。

对于（ii）中，DBSCAN [ 20.]，基于密度的算法，是最公知的方法来构建任意的形簇。该算法利用称为密度可达和密度连接的2个连接功能，并且每个数据实例被表示为任一核心点或边界点。该算法扩大核心点，形成自己周围的集群。DBSCAN的一个缺点是，当存在不同密度的群集，仅特定种噪声点被捕获[ 21.］.此外，需要仔细调整两个用户自定义参数，即簇的最小尺寸和半径。其他的方法，如内核<我talic> k——( 22.]和光谱聚类[ 23.]可以构建任意形状的集群;然而，这些方法还需要预定义的集群数量。

由于上述缺陷，有必要研究一种能够自动确定聚类个数和聚类形状的聚类新方法。本文提出了一种新的聚类方法，该方法基于一个新的定义，称为<我nline-formula> ε -半径邻居”<我nline-formula> x 0 ．<我nline-formula> ε -Radius邻居在构造具有任意形状的集群方面发挥着关键作用。什么时候新的<我nline-formula> ε -radius邻居未找到，算法停止处理当前集群，自动确定集群数量。此外,半径<我nline-formula> ε 可以适应特定的聚类密度，这是与DBSCAN相比的所提出的方法的优点。

地下水的质量取决于各种因素，如气候，含水层，pH，碱度，氧化还原潜力的地质环境，初期源，由于人类活动的污染，以及生物过程。评估地下水质量的常规方法通常基于比较代表水质的参数，该参数由传感器收集，允许的标准。聚类可以帮助解释复杂的数据矩阵，分析水质特征的相似之处，并将它们分组成簇，从而显示其一般特征，以及影响水质的原因。因此，聚类已广泛应用于环境应用，包括地下水质量监测。例如，一些研究[ 24.- - - - - - 28.]，应用聚类方法对整个区域的水质进行分类，并以最优方式设计未来的空间采样策略，从而减少采样站的数量和相关成本。然而，上述研究只是简单地采用了传统的聚类方法，如带Ward距离的层次聚类，以及<我talic> k- eans集群。通常，这些方法遇到了前一个部分中提到的缺点。因此，本文采用了拟议的聚类算法，评估了越南巴里亚 - 王省Phu My Town的地下水质量。预计此申请将产生更可靠和有价值的信息，以便管理员可以监控地下水行为。

本文的其余部分安排如下。部分 2呈现研究区，数据收集和所提出的方法。结果和讨论在部分中提出 3.在这部分 3．1对于不同的数据集和科所提出的算法的验证 3．2是评估Phu My Town，Ba Ria-Vung Tau Province，越南的地下水质量的应用。最后，部分 4是结论。

 2.材料和方法 2.1。建议的聚类方法

让<我nline-formula> X ＝ x 1 ， x 2 ， ．．. ， x n ，<我nline-formula> x 我 ∈ R d set<我talic> n点，<我nline-formula> x 0 ∈ R d 是一个特定的点，和<我nline-formula> ε 是一个任意正整数。一组<我nline-formula> 年代 ⊆ X 被称为<我nline-formula> ε 半径的邻居<我nline-formula> x 0 如果 (1） 年代 ＝ x 我 ∈ X ： d x 我 ， x 0 ≤. ε ， 在哪里<我nline-formula> d x 我 ， x 0 是欧几里德之间的距离<我nline-formula> x 我 和<我nline-formula> x 0 ．

很明显,<我nline-formula> ε 半径的邻居<我nline-formula> x 0 位于半径的一个边缘<我nline-formula> ε 大约<我nline-formula> x 0 ．因此，可以通过在数据集上搜索并添加与任何半径超球相关的新对象来扩展聚类<我nline-formula> ε 在当前的物体周围。这个过程仍然取决于价值<我nline-formula> ε ．该参数的作用与该参数相同<我nline-formula> ε 在众所周知的DBSCAN算法中。此参数的选择对群集结果具有影响。固定值<我nline-formula> ε 具有较低的泛化能力，因为数据集中不同密度的数据集和聚类可能需要不同的<我nline-formula> ε ．一个很自然的策略就是适应<我nline-formula> ε 使用当前的簇密度。为了便于表示，当前集群中的成对距离集称为“历史扩展”集。基于当前集群(样本)的“历史延伸”集合，我们可以估计整个集群(人口)的最大“延伸”。在这种情况下，有两个基本原则:

我们知道，如果数据具有平均值的正常分布<我nline-formula> μ 和标准偏差<我nline-formula> σ ，然后95％的数据值属于间隔<我nline-formula> μ ± 2 σ ． 如果上述两个参数是未知的，且数据足够大，我们可以从样本数据中估计它们。例如，可以选择样本的平均值和调整后的标准偏差作为替代<我nline-formula> μ 和<我nline-formula> σ ， 分别。因此，估计群集的最大扩展（人口），我们可以使用以下公式： (2） ε ＝ 马克斯 D ＝ d ¯ + 2 年代 d ，

在哪里<我nline-formula> d ¯ 和<我nline-formula> 年代 d 为电流处理集群(样本)中“历史速度”的平均值和调整后的标准偏差。显然，与真实集群(人口)相关的扩展约97.5%必须小于公式( 2)，因此可以用这个公式来近似真实聚类(种群)的最大扩展。

让<我talic> n是当前处理集群中的样本大小或对象数量<我nline-formula> d ¯ 和<我nline-formula> 年代 d 分别是样本平均值和调整的标准差。假设价值<我talic> n足够大还是<我talic> d具有平均值的正态分布<我nline-formula> μ d 和方差<我nline-formula> 年代 d 2 / n ．因此，具有0.05的显着水平，平均值<我talic> d属于间隔<我nline-formula> d ¯ ± 1.96 年代 d / n ． 结果，可以使用以下公式直接估计平均延伸的最大值： （3） ε ＝ d ¯ + 1.96 年代 d n ．

然后用置信区间的最大值作为聚类扩展的代表。

它可以从公式中观察到（ 2)和( 3.)，即在处理初期，当样本量过小时，标准差和自适应扩展必须较大。因此，当当前样本不能很好地代表总体时，我们可以避免在处理的早期阶段进行不合理的扩展。同时，在后期，电流处理集群中的对象数量或样本量足够大，可以保持稳定的自适应扩展。

根据公式（ 2)和( 3.)，提出了一种自适应半径聚类算法，用于自动确定聚类数量和聚类形状。让<我nline-formula> X ＝ x 1 ， x 2 ， ．．. ， x n ，<我nline-formula> x 我 ∈ R d 是一个原始数据集<我talic> N对象。新的聚类算法被呈现为以下伪码和图中 1．

所提出的算法的流程图，其中<我talic> 我为迭代次数。

初始化<我nline-formula> C 1 老的 ＝ ∅ ，<我nline-formula> C 1 新的 ＝ ∅ ,<我nline-formula> 封面 新的 ＝ ∅ ,在那里<我nline-formula> C 1 老的 和<我nline-formula> C 1 新的 分别在更新之前和之后获得的当前处理集群。

第1步。

使用以下公式获取群集的前三个对象： (4） v 1 ＝ arg 闵 x 我 ∈ X σ. j ＝ 1 n d x 我 ， x j ， (5） v 2 ＝ arg 闵 x 我 ∈ X / v 1 d x 我 ， v 1 ， （6) v 3. ＝ arg 闵 x 我 ∈ X / v 1 ， v 2 d x 我 ， v 1 ， 这话题 （7) d v 2 ， v 1 ≤. d v 3. ， v 1 < 2 n - 1 σ. 我 ≠ j d x 我 ， x j ．

更新 （8) C 1 老的 ＝ v 1 ， v 2 ， v 3. ； C 1 新的 ＝ v 1 ， v 2 ， v 3. ．

在公式中（ 4), ( 5)和( 6)，函数的参数“arg”是获得函数结果时必须提供的值;因此<我nline-formula> v 1 ＝ arg 闵 x 我 ∈ X σ. j ＝ 1 n d x 我 ， x j 是一个点<我nline-formula> x 我 在<我talic> X使它与其他点之间的距离之和为最小值。换句话说,<我nline-formula> v 1 为当前数据集的质心。同样的,<我nline-formula> v 2 是最接近的点<我nline-formula> v 1 和<我nline-formula> v 3. 是最接近的点<我nline-formula> v 1 排除时<我nline-formula> v 2 ．公式( 7)，以克服初始化错误的问题。例如,如果<我nline-formula> v 2 和<我nline-formula> v 3. 是两个最近的邻居<我nline-formula> v 1 ，但相应的距离是在当前的数据集的点之间比平均成对距离的大，则<我nline-formula> v 1 将被视为单个集群，当前的扩展进程将停止。

在上述公式中，<我talic> d两者之间的欧几里得距离是多少<我talic> d维点。在下面的一些插图中，为了直观起见， x将被选为二维点（ x1和 x2)，这样我们就可以画出数据的散点图。事实上, x1和 x2不仅可以是坐标，还可以是其他信息，比如高度，重量，Ca<年代up>2+，mg.<年代up>2+和钠<年代up>+．此外, x可以是一个<我talic> d维向量，一般。当然，我们可以计算出两者之间的欧氏距离<我talic> d- 一致的积分 x和 y使用以下公式: （9) d x ， y ＝ σ. 我 ＝ 1 d x 我 - y 我 2 ．

另外，由于在不同尺度下测量的变量在计算距离时不同时贡献，所以使用以下公式将数据标准化为[0,1]间隔： (10） z 我 j ＝ x 我 j - 闵 我 x 我 j 闵 我 x 我 j - 闵 我 x 我 j ， 在哪里<我nline-formula> x 我 j 是变量的值<我talic> j（<我nline-formula> j ＝ 1 ， d ¯ ）在这一点上<我talic> 我（<我nline-formula> 我 ＝ 1 ， n ¯ )，<我nline-formula> z 我 j 变量的归一化值是多少<我talic> j点<我talic> 我和<我nline-formula> 闵 我 x 我 j 和<我nline-formula> 马克斯 我 x 我 j 最小值和最大值是否可变<我talic> j， 分别。

 第2步。

为每一个<我nline-formula> v 我 ∈ C 1 新的 ，计算自适应<我nline-formula> ε -radius和相应的<我nline-formula> ε -Radius邻居<我nline-formula> 年代 我 使用定义1和任一公式（ 2）或式（ 3.）;更新<我nline-formula> C 1 新的 和<我nline-formula> 封面 新的 按下列公式计算: (11） C 1 新的 ：= C 1 新的 ∪ 年代 我 ， 封面 新的 ：= 封面 新的 v 我 ．

在此步骤中，式（ 2)和( 3.)来计算自适应<我nline-formula> ε -radius和相应的<我nline-formula> ε -Radius邻居<我nline-formula> 年代 我 ．注意，上面提到的两个公式现在只是一些需要测试的选项。在数值结果中，两者同时应用后，将在应用中选择最佳方案。

 第3步。

如果<我nline-formula> C 1 新的 / C 1 老的 ≠ ∅ ,然后<我nline-formula> C 1 老的 ： ＝ C 1 新的 和<我nline-formula> 封面 新的 ： ＝ 封面 新的 ∪ C 1 新的 / C 1 老的 ．重复步骤 2和步骤 3.直到<我nline-formula> 封面 新的 ＝ ∅ ，然后停止当前处理群集。

 第四步。

重复上面的三个步骤，直到将所有对象分配给其群集。

所提出的算法的主要思想是，从使用公式初始化的多个点（ 4), ( 5)和( 6）除（ 7），群集可以根据公式自动扩展（ 2） 或者 （ 3.)．当集群不再扩展时，上述过程将在其余数据上重复，直到数据中的所有点都分配给特定的集群。与公式( 2） 或者 （ 3.）， 这<我nline-formula> ε -Radius邻居可以适应不同的群集密度;因此，所提出的算法可以确定簇的数量，并在平衡和不平衡群集密度的情况下找到任意形状的簇。与传统方法相比，这是所提出的算法的优点，例如<我talic> k则,<我talic> k-medoids和dbscan。

 2.2。研究区和数据使用

上面提出的聚类方法将在评估富美镇，巴地头顿省，越南地下水质被应用。所使用的研究区域和数据描述如下。

2.2.1。研究区域

Phu My Town的自然面积33,825公顷，人口137,334人。向东，IT毗邻洲地区，巴里亚 - 王省。向西方，它毗邻Gio区，胡志明市，博士市武岩市，巴里亚 - 王省省。到南方，它毗邻巴里亚城市，巴里亚 - 武隆省，北北部是董宁省长距离。Phu My Town位于越南南三角洲的气候区，拥有热带气候，主要受到东北和西南季风的影响。一年中有两个独特的季节，旱季和雨季。从12月到4月的第一个持续持续年度温度为26.3摄氏度，第二个是5月至11月之间，平均年降雨量为1356.5毫米。

Phu My Town是最集中的工业区，是越南Ba Ria-vung Tau省最发达的地区之一。为了服务经济发展，该领域对水的需求相当高，但河流和湖泊的地表水源不符合需求。根据BA RIA-Vung Tau省自然资源与环境部的2012年调查数据，这个城镇的地下水开采总量占18,608,430米<年代up>3./年（主要是从富美 - 我的玄水站和TOC田水厂）。地下水开采已报告主要是在更新世含水层，它是由古芝形成，守德的形成，和庄汜的形成与主要矿物的粗粒土：萤石，磷灰石，长石，石膏，电气石，蒙脱石，钛铁矿，和其他一些杂质。

 2.2.2。数据使用

数据集由巴里亚翁头省自然资源和环境司提供。中上更新世(qp .<年代ub>2-3)含水层和上更新世(qp .<年代ub>3.)的含水层，包括11个变量，从17口监测井中收集。17口监测井的位置如图所示 2，详细数据集显示在表中 1．

井的位置。

井中采集的化学参数浓度(mg/l)。

ID NA.<年代up>+ K<年代up>+ Ca<年代up>2+ 米<年代up>2+ NH. 4 + 艾尔<年代up>3+ HCO 3. - Cl<年代up>- 所以 4 2 - 不 3. - 不 2 -
NB3A 4.19 1.47 17.03 0.61 0．00 0．00 54.92 8.15 2.40 1.20 0．00
NB3B 6.56 3.85 2．00 0.49 0．00 0．00 6.10 17.73 2.40 0.64 0．00
QT5B 6.57 4.07 17.03 0.61 0．00 0．08 54.92 10.64 9.61 1.49 0．00
QT7B 192.73 9.00 22.04 19.46 2.31 8.51 0．00 375.77 81.65 1.15 0．00
NB2C 8.29 2.90 35.07 1.82 0．00 0．00 103.73 17.73 7.20 11.24 0．00
NB1B 4.14 2.32 1.60 0．24 0．00 0．00 12.20 7.80 2.40 0.41 0．00
VT4B. 277.65 17.60 26.05 31.62 2．24 1.67 0．00 514.03 115.27 1.44 0．00
VT6 33.79 7.25 10.02 0.61 0．00 0．00 24.41 49.63 19.21 2.88 7.77
NB4 11.00 1.44 21.04 0.61 0．24 0．00 67.12 14.18 9.61 0.91 0．01
QT5A 10.43 1.22 1.40 0.36 0．00 0．00 6.10 16.66 2.40 7.91 0．00
QT7A 644.44 57.90 100.20 118.56 36.10 0．00 494.26 946.52 528.33 6.23 7.28
NB1A 5.00 5.38 2．00 0.49 0．00 0．00 18.31 8.86 2.40 ０．５９ 0．00
NB2A 3.86 3.61 11.02 0.97 3.72 0．00 48.82 7.09 3.84 0.85 0.32
vt4a. 82.73 5.76 54.11 21.89 3.65 0．00 85.43 223.34 31.22 0.81 0．00
QT11 4.89 1.65 1.00 0．24 0．00 0．00 12.20 7.80 0.96 1.32 0．00
VT2B. 6.88 1.94 9.02 0.61 0．11 0．00 24.41 12.41 2.40 15.14 0．01
vt2a. 4.33 2.14 5.61 1.09 0.04 0．00 18.31 8.15 3.36 11.34 0．01

在本研究中，计算距离时变量的贡献是相同的，即所提方法对各化学参数的重要性是相同的。在某些化学参数比其他参数更重要的情况下，该方法可以用加权欧氏距离代替标准欧氏距离。此外，需要注意的是，在本应用中，井的位置不作为变量，也就是说，井只根据其化学参数进行分组。因此，算法将不会过于关注位置，而是更多地关注化学性质。当然，如果同一地区的井具有相同的化学性质，它们将被分配到同一簇。因此，我们有按地点分类的井。相比之下，通过聚类结果，我们仍然可以识别出位于同一区域但化学性质不同的井，或者位于不同区域但化学性质相似的井。在这种情况下，也将提供相应的解释。

 3.结果与讨论 3．1.数值例子

在本节中，将使用一个简单的数据集来详细说明所提出的算法。数据集由20个二元变量点组成，见表 2；归一化数据点如图所示 3.．

画报数据。

数据 X1 X2 数据 X1 X2
1 42. 72. 11. 41. 58.
2 44. 71. 12. 41.5 59.
3. 46. 73. 13. 42.5 59.
4 47. 72. 14. 43. 60.
5 49. 71. 15. 45. 61.
6 51. 71. 16. 45.5 61.
7 52. 70 17. 47. 61.
8 54. 69. 18. 48. 61.
9 55. 68. 19. 49. 61.
10. 57. 67. 20. 50. 60.

说明数据点。

使用公式( 4), ( 5)和( 6），我们发现三个初始点 v1， v2, v3.第一个群集，由图中的红色表示 4．从图中可以看出 4这三个点之间的距离与所有点之间的距离相比非常小;因此,条件( 7）满意，我们可以使用这三个点来扩展群集。

最初的原型。

现在，我们用点处理集群中建立集群本身。例如，在图 5，从绿点开始， v2，使用公式( 3.)，计算自适应半径，确定三个新的<我nline-formula> ε -邻居，根据形成的圆圈。之后，处理集群将通过添加这三个新点和点进行扩展 v2将不再用于在接下来的步骤中扩展集群。使用处理集群中的另一个点，例如图中的绿色点 6，计算了自适应半径，确定了新半径<我nline-formula> ε -邻居，根据形成的圆圈。

确定自适应半径和新邻居。

处理群集在绿点延长。

重复上述过程，直到处理群集不能更扩展，也就是处理集群中所有的点都被用于扩展的过程，我们无法找到与他们有关的任何新的点，如图 7．

确定第一个聚类。

数字 7完全确定第一簇;我们可以对数据集的其余部分重复上述过程，并获得最终分区，如图所示 8．

确定两个集群。

 ３．２．基准数据集的实验

部分 3．1逐步说明了所提出的算法。在本节中，要测试所提出的算法的分区性能并将其与其他方法进行比较，并且所提出的算法在具有不同特征的不同数据集上实现。

测试数据集可从( https://cs.joensuu.fi/sipu/datasets/）， 其中包括

螺旋:具有螺旋状簇的数据集

聚合：具有不同群集形状的数据集

化合物：具有不同簇形状和密度的复合数据集

高斯:在[ 6]有三个高斯群

测试的算法包括

ARC1:提出的方法，自适应半径根据公式( 3.)．

ARC2:提出的方法，自适应半径根据公式( 4)．

k-mean，DBSCAN：两个流行的聚类算法。这<我talic> k-means需要初始簇数，结果是球形簇，而DBSCAN是一种基于密度的簇算法，适用于任意形状的簇。

SU:最近由[ 19.]用于自动确定群集数量。

在本文中，调整后的兰特指数，ARI [ 29.， 30.]，用于评估五种比较方法的性能。ARI是一种外部措施，可以在聚类算法产生的分区之间进行比较（<我talic> P)和实际分区(<我talic> 问），其中“地面真理”标记是已知的。特别是，给予<我talic> P和<我talic> 问， ARI的公式定义如下: （12） ari. ＝ 一个 - 一个 + c 一个 + b / 一个 + b + c + d 一个 + c + 一个 + b / 2 - 一个 + c 一个 + b / 一个 + b + c + d ， 在哪里<我talic> 一个同一簇中元素对的数目是多少<我talic> P和<我talic> 问，<我talic> b同一簇中元素对的数目是多少<我talic> P，但在不同的集群<我talic> 问，<我talic> c不同星系团中元素对的数目是多少<我talic> P，但在相同的群集中<我talic> 问,<我talic> d不同星系团中的元素对的数目是否在两个星系团中<我talic> P和<我talic> 问．ARI越接近1，聚类结果越好(由公式( 12.),当<我talic> P和<我talic> 问是相同的，<我talic> b = <我talic> c = 0 and ARI = 1).

桌子 3.直观地展示了5种测试算法在4个使用的数据集上的聚类结果。

经过测试的算法形成了聚类。

螺旋 聚合 化合物 高斯
研究进展
ARC2
k则
苏
DBSCAN

四个数据集的比较方法的ARI。

螺旋 聚合 化合物 高斯
研究进展 1.0000 0.8089 0.9438 1.0000
ARC2 0.9253 0.8035 0.9438 0.7034
k则 0.0924 0.5906 0.5890 0.6968
苏 0.0000 0.5638 0.7257 1.0000
DBSCAN 1.0000 0.7338 0.7568 1.0000

评论：

对于非球形簇，DBSCAN的性能优于SU和<我talic> k- eans算法。该结果是合理的，因为DBSCAN可以根据密度和连接而不是它们之间的距离，将数据点容易地将数据点分组到任意形状群集中。通常，Arc2算法在ARI方面非常有效，并且在三个数据集中的两个中优于DBSCAN。同时，Arc1实现了最大的ARI值，这表明在聚类精度方面的最佳性能。

对于球形或高斯集群，大多数方法呈现良好的性能，其中ARC1，SU和DBSCAN是正确的方法。这<我talic> k-means算法也提供了最好的结果，为<我talic> k = 3; however, when<我talic> k是随机改变而不满足吗<我talic> k = 3, this method shows poor performance. Tables 3.和 4还表明Arc2的表现优于<我talic> k则;然而，对于高斯簇来说，它还不够好。

综上所述，可以说ARC1是一种有效的算法。具体来说，ARC1可以自动确定聚类的数量，并且对于任何给定的数据集具有明显较大的ARI值或明显较好的聚类结果。

３．３．地下水水质评价应用

在本节中，我们聚集了Ba Ria-Vung Tau省自然资源和环境部提供的地下水质量参数样本。使用的研究区域和数据已在一节中介绍 2．聚类结果在图 9结果表明，根据水质特征将17口监测井分为4组:

集群1:NB3A, QT5B, NB4

第二组:NB3B, NB1B, NB1A, QT11

集群3：QT7B，NB2C，VT4B，VT6，QT5A，NB2A，VT4A，VT2B，VT2A

集群4：QT7a

17口井的聚类结果。

集群之间的一些参数的比较显示在图 10.．我们有以下评论:

Cluster 4只有一个well, QT7A，参数值很高。这一结果表明，与其他井簇相比，该井的水质非常差。另外，从表中可以看出 1和图 10（a）QT7A有更多的盐离子(Mg<年代up>2+，na<年代up>+，K<年代up>+，加利福尼亚州<年代up>2+，<我nline-formula> HCO 3. - ，<我nline-formula> NH. 4 + ，cl.<年代up>-，<我nline-formula> 所以 4 2 - 和亚硝酸盐)相比，其余的集群。根据越南国家地下水水质技术规程，氯离子的允许标准<年代up>-是250毫克/升吗<我nline-formula> 所以 4 2 - 是400毫克/升。因此，cl<年代up>-和<我nline-formula> 所以 4 2 - QT7A超标3.78倍和1.3倍。这说明由于QT7A井位于盐水边界附近，可能受到盐水侵入的过度影响。另外，如图所示 9QT7A井和QT7B井位于同一区域，但属于不同的井簇。实际上，它们都是受污染的井，但它们的深度不同，代表了不同的含水层。因此，QT7A的污染程度高于QT7B。

对于三个剩余的集群，可以从图中看到它 9和 10（b）那个集群1由三个井组成，具有高HCO<年代ub>3.-价值观。据我们所知，两个井，NB3A和QT5B，位于我的Xuan B1工业区附近，NB4井位于ToC Tien填埋场附近。结果，这些井可能被上述工业区和垃圾填埋场的废弃过程污染。

Cluster 2由4口质量相对较好的井组成。在该集群中，大多数参数值都低于其他集群，且在安全范围内。可以看出，组2井不受农业活动和盐水入侵的影响。

聚类3由8口井组成，Mg值较高<年代up>2+，na<年代up>+，K<年代up>+，加利福尼亚州<年代up>2+，cl.<年代up>-,<我nline-formula> 所以 4 2 - 与集群1和集群2相比。特别是,Cl<年代up>-在2/8口井中，该值超过了允许标准。这表明，在靠近海岸和盐度边界的3组井中，有许多井可能受到盐度入侵的影响。另外，如图所示 10（b）的平均值<我nline-formula> 不 3. - 高于集群1和群集2.这表明围绕监测区域发生的农业活动作为该集群地下水量的大贡献者。特别是，NB2C，VT2B和VT2A靠近工业种植区。同时，位于水产养殖区附近的VT6可能受到残留饲料的有机物影响的严重影响;因此，这是<我nline-formula> 不 3. - 值达到了允许标准的7.77倍。

比较集群之间的参数。（a）群集4和剩余的簇。（b）群集1，群集2和群集3。

 4。结论

基于半径邻域的定义，本文提出了一种新的聚类算法，该算法可以自动确定聚类的数量，并可以找到不同大小、形状和密度的聚类。该算法的半径或扩展与当前处理集群相适应，具有良好的泛化能力。在基准数据集上对该算法进行了测试，并将其应用于越南巴里翁头省富美镇地下水水质评价。在多数据集的实验中，ARC1算法在调整后的Rand指数方面表现出了比其他测试算法更好的性能。在非球形聚类的情况下，ARC2算法的性能优于传统聚类算法，而在球形聚类的情况下性能较差。在对越南巴里翁头省富美镇地下水水质评价中，提出的算法表明，存在4个代表不同来源贡献的水质聚类。

 数据可用性

用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。

 利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

 致谢

本研究由越南国立胡志明市大学(VNU-HCM)资助。C2018-24-01。

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